Meccanica quantistica

Materie:Appunti
Categoria:Chimica

Voto:

1 (2)
Download:271
Data:03.11.2008
Numero di pagine:10
Formato di file:.doc (Microsoft Word)
Download   Anteprima
meccanica-quantistica_4.zip (Dimensione: 67.58 Kb)
trucheck.it_meccanica-quantistica.doc     123 Kb
readme.txt     59 Bytes


Testo

CENNI DI MECCANICA QUANTISTICA (MQ)
Il modello atomico di Bor viene solitamente definito” semi-classico”.Questo perché utilizza ampiamente la fisica classica,introducendo però l’innovativa idea della quantizzazione dell’energia proposta da Plunk.come vedremo per descrivere esaurientemente la struttura degli atomi e delle m olecole è necessario abbandonare completamente la fisica classica e utilizzare quella che viene chiamata meccanica quantistica. Questa disciplina è una branchia della fisica moderna che venne sviluppata essenzialmente nei primi 30 anni del ‘900.
Essa è costituita dai principi, dalle leggi e dalle tecniche di calcolo in grado di descrivere il comportamento dei sistemi fisici e microscopici che come vedremo si comportano in maniera molto diversa dai sistemi macroscopici(per i quali vale la fisica classica).
Attualmente la meccanica quantistica è una disciplina altamente finalizzata che fa uso di una matematica piuttosto complessa.. Noi ci limiteremo a illustrare alcuni concetti base necessari per comprendere l’attuale descrizione della struttura dell’atomo e delle molecole.
- DUALISMO ONDA-PARTICELLA
Nella fisica classica vi era una netta separazione tra i cosidetti fenomeni particellari(o corpuscolari) da una parte e i fenomeni ondulatori dall’altra.
I cosiddetti fenomeni particellari sono quelli che riguardano corpi in movimento e quindi il trasferimento di materia nello spazio ( ad esempio una palla da biliardo che si muove, un auto che si muove in autostrada).
I fenomeni ondulatori invece sono quelli che riguardano le onde, cioè perturbazioni di varia natura ( meccanica o elettromagnetica) che si propagano nello spazio senza trasferimento di materia(ad esempio onde sulla superficie di un liquido, onde sonore, onde elettromagnetiche).
Come abbiamo visto, l’ipotesi di Plunk cominciò a mettere in discussione questa distinzione, attribuendo un certo carattere corpuscolare alle radizioni elettromagnetiche, che erano considerate tipici fenomeni ondulatori (il “ quanto” di Plunck infatti poteva essere in qualche modo considerato una “particella” di energia).
Nel 1921 il fisico francese Louis De Broghe propose l’ipotesi inversa secondo la quale a un corpo in movimento poteva essere associata un’onda.Tale ipotesi metteva quindi ulteriormente in discussione la distinzione tra fenomeni particellari e ondulatori.
In particolare De Broghe propose una relazione che permetteva di calcolare la lunghezza dell’onda associata a un corpo in movimento:
λ = h/(m* v)
λ = lunghezza d’onda (amda)
h = costante di Plunck
m = massa della particella
v = velocità della particella
La lunghezza d’onda è lo spazio che c’è fra due creste.
La relazione di De Broghe ha un carattere generale e può essere applicata indifferentemente a corpi macroscopici e microscopici: le conclusioni sono però ben diverse nei due casi.
Se consideriamo un corpo macroscopico in movimento, la sua massa è molto elevata e quindi il denominatore m*v della relazione è anch’esso molto elevato.
La lunghezza d’onda risulta quindi estremamente piccola ( h ≈ 6 * 10-34 J/s ).
In pratica è talmente piccola che nessuno strumento è in grado di rilevarla.
Le cose cambiano profondamente se consideriamo una particella microscopica , quale ad esempio l’elettrone. In questo caso la massa , e quindi il prodotto m*v , assume un valore molto piccolo, comparabile con quello di h. Di conseguenza il valore della lunghezza d’onda risulta essere apprezzabile ( e quindi misurabile). In pratica quindi per le particelle microscopiche in movimento non possiamo più ignorare il loro carattere ondulatorio, cioè il fatto che si comportino in maniera analoga alle onde.
L’ipotesi di De Broghe, per quanto controintuitiva, nel 1926 ottenne un’importante conferma sperimentale. I figli Davisson e Germe osservarono infatti che un fascio di elettroni sparato contro un cristallo subiva il fenomeno della “difrazione”, che è un fenomeno tipico delle onde.
PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI HEISENBERG
Nella dinamica classica la descrizione del moto di un corpo presuppone la possibilità di conoscere istante per istante la posizione e la velocità del corpo. Nella dinamica classica non esiste nessuna limitazione teorica alla precisione con la quale noi possiamo conoscere la posizione e la velocità.
Nel 1926 il fisico tedesco Werner Heisenberg formulò un principio (chiamato di indeterminazione) che stabilisce invece delle limitazioni alla possibilità diconoscere contemporaneamente la posizione e la velocità di una particella microscopica.
Tale principio è una conseguenza diretta del dualismo onda-particella e può essere formulato affermando che: “ non è possibile determinare contemporaneamente e con precisione qualsiasi posizione e quantità di moto (m*v) di una particella microscopica”.
Dal punto di vista formale il principio di Heisenberg può essere espresso dalla seguente relazione:
∆P *∆q ≥ (h/2π)
∆P = incertezza con la quale conosciamo la posizione p della particella (errore)
∆q = incertezza con la quale conosciamo la quantità di moto q della particella (errore).
h = costante di Plunck
La relazione precedente stabilisce che il prodotto delle due incertezzw non può essere minore di una certa quantità costante.Questo significa che se io cerco di diminuire l’incertezza su una delle due grandezze( cosa che è possibile fare) inevitabilmente aumenta l’incertezza su l’altra grandezza.Quindi non è possibile conoscere contemporaneamente e con precisione qualsiasi, le due grandezze.
Il principio di Heisenberg, è stato ampiamente dimostrato, non deriva da limitatezza dell’osservatore, ma è legato alla natura intrinseca della realtà.Esso stabilisce pesanti limitazioni alla possibilità di descrivere il mondo microscopico in modo deterministico, cioè determinando esattamente la posizione e la velocità di tutte le particelle e quindi la loro evoluzione futura.
Come vedremo in alternativa la meccanica quantistica formerà una descrizione probabilistica.
EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER E CONCETTO DI ORBITALE.
Nel 1926 il fisico austriaco Erwin Schrödinger elaborò un’equazione(chiamata equazione d’onda) che consentiva di descrivere dal punto di vista ondulatorio un qualsiasi sistema fisico microscopico.
La risoluzione matematica di questa equazione consente di ricavare la forma esplicita delle funzioni che descrivono l’onda associata alle varie particelle costituenti il sistema8prevista dall’ipotesi di De Broghe).
Queste funzioni vengono chiamate “FUNZIONI D’ONDA” e vengono solitamente indicate con la lettera greca “Ψ” ( PSI).
Di per sé le singole funzioni d’onda non hanno un significato fisico, ma esclusivamente matematico.Tutta via si può dimostrare che il quadrato del modulo di queste funzioni cioè |Ψ|2, rappresenta la probabilità di trovare la singola particella nei vari punti dello spazio.
L’equazione di Schrödinger può essere applicata alla descrizione del moto di un elettrone intorno al nucleo di un atomo se consideriamo per esempio l’atomo di idrogeno, l’equazione può essere risolta e possiamo ricavare le funzioni d’onda che descrivono il moto degli elettroni.
Il quadrato del modulo di ciascuna reazione d’onda può essere calcolato nei vari punti dello spazio circostante il nucleo. I valori ottenuti possono essere riportati in un grafico tridimensionale che viene cosi a descrivere la distribuzione di probabilità di trovare l’elettrone nei vari punti dello spazio. Questo grafico tridimensionale prende il nome di ORBITALE.
NUMERI QUANTICI E DIVERSI TIPI DI ORBITALE
Durante la risoluzione matematica dell’equazione di Schrödinger nasce l’esigenza di introdurre dei numeri, che vengono chiamati numeri quantici.
Complessivamente essi sono 4. I primi 3, come vedremo, sono legati ai diversi tipi di orbitale che un atomo può possedere. Il quarto numero invece è legato a una caratteristica intrinseca dell’elettrone.
I numeri quantici sono i seguenti:
1) Numero quantico principale (n).
Questo numero può assumere tutti i valori interi positivi a cominciare da 1.(n=1,2,3,………).
Si può dimostrare che il valore di “n” è legato all’energia che l’elettrone possiede quando è descritto da un dato orbitale. In particolare l’energia dipende dall’inverso del quadrato di “n”: Tale dipendenza e l’esistenza stessa di “n” era già stata prevista dal modello di Bohr.

2) Numero quantico secondario (o azintale) “L” .
Questo numero può assumere tutti i valori interi compresi fra 0 e n-1
[l=0,1,2,….(n-1)]
Il valore assunto da “L” è legato alla forma dell’orbitale.
Orbitali con lo stesso valore di “L” avranno quindi la stessa forma, indipendentemente dal valore degli altri numeri quantici.
3) Numero quantico magnetico “m”
Questo numero può assumere tutti i valori interi compresi fra –“L”e +”L”, incluso lo 0.
[m= -L,……,0,……..+L]
Il valore di “m” è legato alla diversa orientazione spaziale che un orbitale può assumere.
4) Numero quantico di “spin” “s”
I tre precedenti numeri quantici sono legati al tipo di orbitale.Si può dimostrare che esiste però un 4° numero quantico che non è legato al tipo di orbitale, ma descrive invece una caratteristica intrinseca dell’elettrone. Si può dimostrare anche sperimentalmente che l’elettrone si comporta come un minuscolo ago magnetico. Questa proprietà in fisica viene espressa da una grandezza chiamata “momento magnetico”.
Il numero quantico di SPIN è legato al momento magnetico intrinseco dall’elettrone. I valori che esso può assumere sono solamente 2.
S= ± 2
A livello intuitivo possiamo considerare l’elettrone come una carica elettrica che ruota su se stessa. Tale rotazione può giustificare l’esistenza del momento magnetico (SPIN in inglese significa “ rotazione” o “ trottola”).
Poiché i sensi di rotazione sono solamente 2 (orario e antiorario) anche il numero quantico di SPIN può assumere soltanto 2 valori.
n=1,2,3,………
L=0,1,2,…….(n-1)
M= -L,…….,0,……..+L
n=1 L=0 m=0 → “orbitale 1s”
n=2 L={n=0 → orbitale “2s”
-1 →orbitale “2px”
m 0 → orbitale “2py”
1 → orbitale “2pz”

n = 3

n =4

CONFIGURAZIONE ELETTRONICA DI UN ELEMENTO
Da quello che abbiamo detto fin ora dovrebbe apparire chiaro che il concetto di orbitale è legato a quello di elettrone: in altre parole se non c’è l’elettrone non c’è neanche l’orbitale. Tuttavia è estremamente comodo considerare gli orbitali come se fossero dei contenitori all’interno dei quali possiamo distribuire gli elettroni che un atomo possiede.
Da questo punto di vista quindi ha anche senso parlare di “orbitale vuoto”.
Si definisce configurazione elettronica di un elemento una motivazione simbolica che mostra in che modo gli elettroni dell’atomo di un elemento sono distribuiti nei vari orbitali.
Per costruire la configurazione elettronica di un qualsiasi elemento è necessario applicare un insieme di regole (codificate nell’ambito della meccanica quantistica) che nel loro insieme prendono il nome di “principio di AUFBAU (aufbau= costruzione).
1) La prima regola stabilisce semplicemente che gli orbitali di un atomo devono essere riempiti con elettroni seguendo il loro ordine crescente di energia.
Per ricordare l’ordine crescente di energia degli orbitali può essere utile la cosiddetta regola della diagonale.
le p si suddividono in x-y-z
1s 2s 2p(xyz) 3s 3p(xyz) 4s 3d 4p(xyz) 5s………..
---------------------------------------------------------->
Energia crescente
2) Principio di esclusione di Pauli
Questo principio enunciato dal fisico svizzero Pauli può essere enunciato nel modo seguente: “ un dato orbitale può contenere al Massimo 2 elettroni e I loro numeri quantici di SPIN devono essere opposti”
ESEMPIO
Una seconda possibile formulazione del principio di Pauli può essere la seguente:” in uno stesso atomo non possono esistere 2 elettroni che abbiano i valori di tutti e 4 i numeri quantici uguali”.
Si mostra facilmente che le due formulazioni sono equivalenti.
Infatti dato un certo orbitale sono automaticamente stabiliti i valori dei primi tre numeri quantici (m, l, m) se noi mettessimo 3 elettroni nello stesso orbitale, necessariamente 2 di questi avrebbero uguali il numero di SPIN, quindi vi sarebbero 2 elettroni con tutti e 4 i numeri quantici uguali.
3) Regola della massima molteplicità (di HUND)
Questa regola viene applicata quando dobbiamo distribuire più elettroni su orbitali che abbiano la stessa energia (ORBITALI DEGENERI). La regola afferma che gli elettroni in questo caso tendono a occupare il massimo numero possibile di orbitali. In altre parole gli elettroni in questo caso tendono a rimanere quanto più possibile “spaiati”, cioè a rimanere da soli su un dato orbitale.

NOTAZIONE SIMBOLICA
3s1= 1 e- nell’orbitale 3s
2p2x= 2 e- nell’orbitale 2px
Configurazioni elettroniche dei primi elementi del sistema periodico
*= gas nobili
CONFIGURAZIONI ELETTRONICHE DEI GAS NOBILI
He z= 2 1s2
Ne z=10 1s2 2s2 2px2 2py22pz2
Ar z=18 ……………………….3s23px2 3py23pz2
Kr z=36 . .…………………………………………4s24px24py24pz2
Xe z=54 …………………………………………………………5s2 5px25py25pz2
Rn z=86 ……………………………………………………………………………
6s2 6px2 6py2 6pz2
Come si può vedere le configurazioni elettroniche dei gas nobili hanno una particolarità: tutti gli orbitali corrispondenti al valore più alto del numero quantico principale n contengono il numero massimo di elettroni, sono cioè completamente riempiti. Questo tipo di configurazione viene pertanto chiamata “configurazione satura”.
Si può dimostrare che questo tipo di configurazione è caratterizzata da un’energia particolarmente bassa e quindi dà una elevata stabilità.
Questa stabilità ci consente di capire le caratteristiche dei gas nobili.
I gas nobili infatti sono cosi chiamati perché praticamente non si combinano con nessun altro elemento solo in condizioni estremamente drastiche possono originare alcuni composti per altro molto instabili.
L’energia chimica dei gas nobili può essere interpretata proprio in termini di configurazioni elettroniche.
La formazione di un legame chimico infatti comporta una modificazione della configurazione elettronica esterna. I gas nobili non hanno alcun motivo di modificare la proprio configurazione elettronica perché essa è già altamente stabile. Questo spiega quindi perché gli atomi dei gas nobili non si combinano con nessun altro atomo ( ricordiamo anche che essi sono mono atomici).
Come vedremo tutti gli altri elementi che non sono gas nobili tenderanno invece ad unirsi ad altri atomi per modificare la propria configurazione elettronica cercando di raggiungere una uguale a quella dei gas nobili.
Hi z=1 1s1
Li z=3 1s2 2s1
Na z=11 1s2 2s2 2px2 2py2 2pz2 3s1
K z=19 …………………………. 4s1
Rb z=37 ……………………………..5s1
C z=55 ………………………………...6s1
Fr z=87 ……………………………………7s1
Se si considera un qualunque gruppo della tavola periodica si può facilmente constatare che tutti gli elementi del gruppo presentano una configurazione elettronica esterna praticamente uguale (per configurazione esterna si intendono quegli orbitali che presentano il più alto valore di n 8numero quantico principale)).
L’unica differenza è che passando da un elemento al successivo ( e quindi da un periodo all’altro) aumenta di una unità il valore di n: il numero degli elettroni e gli orbitali coinvolti sono esattamente gli stessi.
Questa somiglianza della configurazione elettronica esterna consente di spiegare perché gli elementi di uno stesso gruppo presentano proprietà chimiche molto simili ( questa somiglianza era già stata notata da Mendeleev il quale però non era riuscito a fornire un’interpretazione teorica)

Esempio