Magnitudine

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Categoria:	Astronomia
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Data:	12.03.2007
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Magnitudine ed albedo planetaria
(modello elementare)
Ipotizziamo che il Pianeta si comporti come un disco di raggio R perfettamente riflettente. Per tener eventualmente conto della forma ellissoidale del Pianeta possiamo usare il raggio di un cerchio avente la stessa aerea dell’ellisse planetario. L’area di un ellisse è pari a eab, con a semiasse maggiore (raggio equatoriale) e b semiasse minore (raggio polare). Per cui il raggio del cerchio avente la stessa area è pari a e, ricordando che , avremo anche 1.
Rapporto flusso luminoso Sole/Pianeta
Calcoliamo ora il rapporto tra il flusso luminoso proveniente dal Pianeta ed il flusso luminoso proveniente dal Sole.
Il flusso luminoso che colpisce la Terra proveniente da una sorgente estesa (il disco planetario o il disco solare) è direttamente proporzionale al flusso emesso per unità di superficie e all’angolo solido sotto il quale viene vista la superficie da un osservatore posto sulla Terra.
Un Pianeta di raggio R posto a distanza D dal Sole intercetta una frazione di energia solare () pari all’area del suo disco planetario )R2 fratto l’area totale della superficie sferica 4 D2 investita dal flusso solare.
Se il Pianeta si comporta come uno specchio piano perfettamente riflettente (albedo A =1) la sua luminosità totale sarà e la luminosità unitaria. La luminosità unitaria della superficie solare sarà invece pari alla luminosità totale del Sole () diviso la sua superficie Il rapporto tra luminosità intrinseca unitaria Pianeta/Sole sarà dunque pari a
L’angolo solido (in steradianti2) sotto il quale osserviamo la superficie del disco planetario è , dove DTP è la distanza Terra-Pianeta. In modo analogo l’angolo solido sotto il quale osserviamo il disco solare è , dove è l’unità astronomica pari a circa 149,6 milioni di km.
Nel caso dei pianeti interni (Mercurio e Venere) e di Marte è necessario tener conto delle fasi, cioè del fatto che, come avviene per la Luna, il disco planetario osservabile dalla Terra non è sempre completamente illuminato. Il circolo di illuminazione (perpendicolare alla direzione Sole-Pianeta), proiettato sul disco planetario osservabile dalla Terra, traccia su di esso una semiellisse di semiassi a = R e b = R cos l, dove , è l’angolo di fase, cioè l’angolo Sole-Terra visto dal Pianeta.
La distanza angolare del Pianeta dal Sole (vista dalla Terra) si definisce invece elongazione .
L’area illuminata del disco planetario osservabile dalla Terra sarà dunque pari all’area del semidisco planetario () più l’area della semiellisse ()
dove rappresenta la frazione illuminata del disco planetario in funzione dell’angolo di fase .
In definitiva, per un pianeta che presenti il fenomeno delle fasi, il rapporto tra l’angolo solido Pianeta/Sole sarà pari a
Il rapporto tra il flusso luminoso Pianeta/Sole in arrivo sulla Terra sarà allora pari a
Poiché il Pianeta non riflette integralmente la radiazione proveniente dal Sole, ma solo una frazione di essa, definita albedo A del pianeta, il rapporto tra i flussi in arrivo deve essere moltiplicato per tale frazione
Possiamo ora calcolare la magnitudine apparente del pianeta utilizzando la relazione di Pogson che lega la differenza di magnitudine tra due corpi celesti al rapporto dei loro flussi luminosi ricevuti sulla Terra
Sapendo che la magnitudine apparente del Sole , la relazione diventa
Pianeti interni (Mercurio e Venere)
Durante una rivoluzione sinodica dei pianeti interni l’angolo di fase può assumere tutti i valori compresi tra 0 e 2D. Possiamo considerare, in prima approssimazione, costante la distanza Terra-Sole e la distanza Pianeta-Sole, ma non la distanza tra La Terra ed il Pianeta.
Scriviamo allora la distanza Terra-Pianeta in funzione dell’angolo di fase usando il teorema di Carnot
da cui
la magnitudine del Pianeta diventa così
A – Mercurio
Usiamo
tale rapporto con il rapporto effettivamente misurato a partire dalla differenza di magnitudine Sole/Pianeta (con ). Il rapporto effettivo dei flussi è pari a . Facendo ora il rapporto tra il valore effettivo e quello teorico (calcolato nell’ipotesi che A fosse uguale ad 1) si ottiene una stima dell’albedo del pianeta
1 Spesso nelle tabelle che riportano i dati planetari compare il raggio medio di un pianeta. In genere si tratta del raggio della sfera che presenta lo stesso volume dell’ellissoide planetario e pari quindi a
2 1 steradiante è l’angolo solido sotto il quale un osservatore posto al centro di una sfera osserva una calotta sferica avente una superficie pari al quadrato del raggio. L’intera superficie sferica misura dunque 4 steradianti.
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