Il derivatore e l'integratore

Materie:	Appunti
Categoria:	Tecnologia Meccanica
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Data:	12.09.2001
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Il derivatore e l’integratore con amplificatore operazionale
Un derivatore è un circuito che calcola istante per istante la pendenza del segnale applicato all’ingresso, mentre l’integratore calcola l’area sottesa in un determinato intervallo di tempo dal segnale all’ingresso.
Tali circuiti possono essere realizzati attraverso un amplificatore operazionale, che per agire per funzioni differenziali, necessita che nella rete di retroazione vi siano parametri non solo resistivi, ma in grado di operare dinamicamente, quali induttore e condensatore. Nella nostra esperienza utilizziamo solo il condensatore.
Abbiamo realizzato il seguente circuito, considerando un amplificatore operazionale 741 pilotato all’ingresso invertente da un segnale triangolare Vin , di ampiezza 1Vp-p e con frequenza di 400Hz,attraverso una resistenza Rs e un condensatore Cs, e avente sul ramo di retroazione una resistenza Rf.
Rf 33KΩ
La scala di lettura dell’oscilloscopio era predisposta come segue:
canale 1: 0,5 V/divisione
canale 2: 0,05 V/divisione
base dei tempi : 0,5 ms/divisione
Il segnale di uscita è un’ onda quadra, positiva quando il segnale di ingresso è decrescente, e negativa, quando è decrescente.
Considerando una tensione di ingresso di ampiezza 1Vp-p e con frequenza di 5KHz otteniamo le seguenti forme d’onda, con il segnale di uscita di ampiezza 3Vp-p

Cambiando la frequenza del segnale di ingresso a 10KHz :
Cambiando la frequenza del segnale di ingresso a 20KHz :

Il segnale di uscita è un segnale triangolare con polarità opposta a quella del segnale di ingresso perché si è superata la frequenza di taglio inferiore (1/(2πRsC)), il circuito cessa di funzionare da derivatore e assume il comportamento tipico di un amplificatore invertente con guadagno di tensione –Rf/Rs. Matematicamente la dimostrazione che la tensione di uscita è proporzionale alla derivata della tensione d’ingresso( istantanea) è:
Vo=-VRf =-R*i sapendo che i = C* dVin/dt allora Vo=-Rf*C *dVin/dt
Il segno negativo tiene conto dell’inversione di fase del segnale in uscita rispetto a quello di ingresso.
Per realizzare un circuito integratore, abbiamo considerato un amplificatore operazionale 741 pilotato all’ingresso invertente da un segnale ad onda quadra Vin , di ampiezza 1Vp-p e con frequenza di 10KHz,attraverso una resistenza Rs e avente sul ramo di retroazione una resistenza Rf e un condensatore Cf.
Predisponiamo l’oscilloscopio con la seguente scala di lettura:
canale 1 e 2 a 0,5V/divisione
base dei tempi a 0,5V/divisione
In uscita avremo un segnale triangolare a pendenza negativa quando l’ingresso è positivo, e viceversa.
Misuriamo la tensione picco negativo dell’onda triangolare e l’intervallo di tempo per cui tale onda è negativa.

Riportiamo i valori nella tabella Tab2.

Frequenza
all’ingresso
Valore di picco dell’uscita
(misurato)
Valore di picco all’uscita
(previsto)
Errore %

Il valore di picco del segnale triangolare, risultante dall’integrazione di un’onda quadra, è data da:
Vo(picco) = - Vm(t)/Rs*C
Variando la base dei tempi a 50 ms/divisione , la scala del canale 2 a 1V/divisione e regolando la frequenza del segnale all’ingresso a 4Hz, rileviamo nuovamente il Vp dell’uscita, notando che quest’ultimo valore aumenta.
Infine abbiamo cambiato la frequenza del segnale di ingresso a 100Hz con base dei tempi a 2ms/divisione e la scala del canale 2 a 5V/divisione, il segnale di uscita è un onda quadra con polarità opposta a quella del segnale di ingresso perché si è la frequenza ha assunto un valore inferiore a quella di taglio inferiore (1/(2πRsC) ), il circuito cessa di funzionare da integratore e assume il comportamento tipico di un amplificatore invertente con guadagno di tensione –Rf/Rs.
Per dimostrare che la tensione di uscita è proporzionale all’integrale della tensione d’ingresso
( istantanea) bisogna considerare che il generatore Vin determina in Rs lo scorrimento di una corrente di valore istantaneo:
i = Vin / Rs
Tale corrente, dovendo interessare anche il condensatore, deve rispettare la relazione generale:
i= C dVc/dt.
Poiché Vo=-Vc, si ottiene:
Vin/Rs=- C dVu/dt
Da cui esplicitando Vu :
Vu=-(1/RsC)*∫Vin dt
Il segno negativo tiene conto dell’inversione di fase.
Sapendo che, la derivazione e l’integrazione sono l’una l’operazione inversa dell’altra, allora se si integra una data forma d’onda e successivamente si deriva il segnale risultante, si ottiene di nuovo la forma d’onda di partenza.