Reti di code chiuse

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Data:	27.06.2001
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RETI DI CODE CHIUSE
Le reti di code chiuse sono caratterizzate da un numero fisso di clienti presenti nella rete.
Tipicamente ciт che circola и l’attrezzaggio (pixtures) che presenta il pezzo alle macchine .Dato un numero di utenti ed un numero di macchine, il numero di stati del sistema и dato da:

Proposizioni:
(1)Per le reti di code chiuse valgono tutte le proposizioni giа enunciate per le reti di code aperte.
(2)Una rete di code chiuse и sempre ergodica.
(3)Una rete di code chiuse Markoviane и sempre riconducibile ad un processo di nascita/morte finito.
Metodi di risoluzione
Anche per le reti di code chiuse, sotto condizioni analoghe a quelle delle reti di code aperte, и verificata la proprietа della forma-prodotto.Questo risultato и dovuto a Gordon e Newell, che offrono una variante del teorema di Jackson per le reti di code chiuse.
I tassi medi di ingresso (e quindi di uscita) alle macchine si calcolano risolvendo il seguente sistema lineare di equazioni, in questo caso omogeneo:

La soluzione, ameno di un fattore di proporzionalitа h, fornisce i tassi di ingresso a ciascun servizio. Le intensitа di traffico delle stazioni risultano :

Dai risultati dei processi di nascita e morte, le probabilitа marginali per ogni coda sono per i servizi multiservente:

La densitа di probabilitа congiunta nel caso monoservente risulta:

dove G и una costante di normalizzazione che garantisce la consistenza delle espressioni precedenti con una funzione di probabilitа:

Bilanciamento dei flussi
Si rappresenta una rete con un automa e si determinano le condizioni di equilibrio mediante il bilanciamento dei flussi.
Considerato un generico stato il flusso totale uscente da tale stato и dato dalla somma dei contributi di tutti i servizi che hanno numero di utenti diverso da 0:

mentre il flusso entrante dagli stati contigui и:

e per il principio del bilanciamento dei flussi le due espressioni devono essere uguali.
Si veda l’applicazione dei 2 metodi di risoluzione ad un semplice caso di reti di code chiuse caratterizzato dalla presenza di 2 servizi in cascata con 2 utenti:

La rete и Markoviana, in quanto i tassi di servizio hanno distribuzione esponenziale, gli arrivi seguono processi di Poisson e gli instradamenti sono casuali: gode della forma prodotto
Il numero di utenti del sistema и 3 ;risolvendo con il metodo di bilanciamento dei flussi si ottiene:

Il tasso di produzione dei pezzi lavorati sarа:
Applicando, invece, il metodo risolutivo della forma prodotto:

Le probabilitа di stato coincidono, perciт, con quelle valutate con il bilanciamento dei flussi,
Il tasso di produzione sarа anche in questo caso:

Essendo la rete perfettamente Markoviana dovremmo ottenere dalla simulazione lo stesso valore di.