Lo Studio dei limiti

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	24.01.2002
Numero di pagine:	3
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

- Lo Studio dei limiti -

Inseriti un valore X ed un valore epsilon verificare che andamento hanno i due limiti seguenti:

Lim sen(x)/x
x->0

Lim sen(1/x)
x->0

PARTE TEORICA

Cosa и il limite?

Se f(x) una funzione reale, e c ed l sono dei numeri reali, dire che:
>, equivale a dire che:
>

Questo fatto si esprime con la scrittura:
lim f(x) = l.
x->c

La definizione esatta di limite и la seguente:

Si dice che la funzione f(x), per x tendente a c, ha per limite il numero l, e si scrive:

lim f(x) = l,
x->c

quando in corrispondenza ad un arbitrario numero positivo E ( epsilon ), si puт sempre determinare un intorno completo I del punto c, tale che, per ogni x appartenente a tale intorno, escluso eventualmente c, risulti sempre soddisfatta la disequazione:

| f(x)-l | < E.

cioи le disequazioni:

l - E < f(x) < l + E.

In pratica volendo verificare se un dato numero l и o no il limite di una data funzione f(x), al tendere della varibile x ad un certo numero c, si dovrа procedere nel modo seguente.
Si scriverа la disequazione, ove la lettera E indicherа un numero positivo qualsiasi, e poi si risolverа la disequazione. Se le soluzioni di questa formeranno, qualunque sia il numero positvo che si pensa attribuito alla lettera E, un intorno completo del punto c, escluso al piщ c, allora in base alla definizione data di limite, si potrа asserire che il numero l и proprio il limite della funzione per x tendente a c. Se invece la disequazione non ammette soluzioni, oppure se ne ammette, queste non formano, almeno per E abbastanza piccolo, un intorno completo del punto c, allora si dirа che l non и il limite di f(x) per x tendente a c.
Esempio:
Verificare che risulta:
lim ( 5x-1 ) = 9.
x->2

Per verificare ciт, dobbiamo provare che in corrispondenza ad un numero E>0, arbitrario e comunque piccolo, la seguente disequazione:
| 5x-1-9 | < E,

sia soddisfatta per tutti i valori della x che formano un intorno completo del punto 2.
La disequazione che si puт anche scrivere: | 5x-10 | < E, equivale a:

10 - E < 5x < 10 + E, che и risolta per: 2 - E/5 < x < 2 + E/5,

che forma un intorno del punto 2.
Abbiamo provato quindi che, in corrispondenza al numero fissato E, esiste un intorno I del numero 2, di estremi
2 - E/5, 2 + E/5, per ogni x del quale risulta soddisfatta la disequazione | 5x-1-9 | < E. Ciт vuol dire che il limite della f(x)
и 9. Per capire il programma bisogna dare una definizione importante realiva alle funzioni: LA FUNZIONE CONTINUA.

Si dice funzione continua una funzione che verifica questi tre punti:
• esiste il valore della funzione nel punto c,
• esiste il limite della funzione per x -> c,
• il limite coincide con il valore della funzione nel punto c.

Visto che il limite coincide con il valore della funzione nel punto c per trovare il limite basta sostituire alle x della funzione il valore di c
Esempio:

lim 2x - 4 =
x->3

lim 2 ( 3 ) - 4 =
x->3

lim 6 - 4 = 2
x->3

DESCRIZIONE DEL PROGRAMMA

Per cominciare il programma chiede di scegliere quale tra le 2 funzioni, lim sen(x)/x e lim sen(1/x) con x tendente a 0, studiare.
Dopo bisogna inserire il valore della x e il valore della E ( Si consiglia di utilizzare una epsilon molto piccola ). Il programma poi visualizzerа il valore di x e il suo corrispondente valore della f(x) dimezzando ogni volta il valore della x finquando esso и maggiore di epsilon.

LISTATO DEL PROGRAMMA

#include
#include
#include
#include
#include

void dividi(float X, float eps)

{
float lim;

for(;X>=eps;X/=2)
{
cout