Le omotetie

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	14.12.2005
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LE OMOTETIE

Oltre alle trasformazioni isometriche, esistono anche delle trasformazioni che non conservano le lunghezze dei segmenti.
Una di queste trasformazioni è l’omotetia, dove, pur variando la lunghezza dei segmenti che si corrispondono, si mantiene costante il loro rapporto.
Un’omotetia è una trasformazione in cui tutte le lunghezze s’ingrandiscono o si rimpiccioliscono nello stesso rapporto in tutte le direzioni.
Ogni omotetia è caratterizzata da un punto O, ossia il centro dell’omotetia, e da un numero reale k, cioè il rapporto dell’omotetia.
L’omotetia può essere spiegata nel seguente modo:

• Fissiamo un punto O in un piano α;
• Fissiamo un altro punto P nello stesso piano;
• Tracciamo la retta che passa per i punti OP.

A questo punto fissiamo un numero reale k, sappiamo che esiste un solo punto P' α per cui vale la relazione OP'/OP = k.

• Se è k > 0 allora il punto P' ed il punto P si trovano dalla stessa parte rispetto ad O;
• Se è k < 0 allora il punto P' si trova dalla parte opposta di P rispetto ad O;
• Se è k = 0 allora il segmento OP' è nullo e quindi qualunque punto P ha come corrispondente il punto O.

L’omotetia escludendo il caso in cui k = 0 è una corrispondente biunivoca fra i punti di α.
Ora possiamo passare alla rappresentazione dell’omotetia sul piano cartesiano.
Dato il punto P (x, y), il suo corrispondente in tale trasformazione deve appartenere alla retta OP e deve essere tale che OP'/OP = k.
La relazione che c’è tra P e P' è la stessa che c’è tra le coordinate. Indichiamo allora con (x', y') le coordinate del punto P' ed otteniamo che:

x' = kx
y' = ky

Queste sono le equazioni della trasformazione in cui moltiplico entrambe le coordinate del punto P per il rapporto d’omotetia k.
Ora vediamo come si trasforma un grafico di una funzione in un’omotetia ed otteniamo le seguenti equazioni:

x = (1/k) x' x → x/k
y = (1/k) y' y → y/k

Possiamo anche dire che:

• Se è k > 1 allora si ha un ingrandimento ;
• Se è k < 1 allora si ha una riduzione.