Le linee di livello e gli estremanti di funzione

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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MATEMATICA
LE LINEE DI LIVELLO e GLI ESTREMANTI

Questo argomento matematico viene applicato alla meteorologia in quanto, nella costruzione di mappe meteorologiche, le linee/curve di livello vengono disegnate per collegare, per esempio, i vari punti di uguale pressione (isobare) o di uguale temperatura (isoterme). In generale le curve di livello vengono utilizzate per rappresentare le funzioni di due o più variabili. Prima di soffermarci sull'argomento principale, è meglio definire il significato di "funzione a due o più variabili".
Funzione di due variabili è una relazione che associa ad ogni coppia ordinata di numeri reali (x, y) F D uno ed un solo numero reale (ovviamente il tutto lo si può ampliare anche alle funzioni a più variabili):

f: Df R dove D R2 ;
(x, y)( z = f (x, y)
IL DOMINIO DI FUNZIONI DI DUE VARIABILI

In questa esemplificazione appare il dominio, che è un sottoinsieme del prodotto cartesiano RxR=R2. Ciò vuol dire che il dominio è formato da una coppia di numeri reali e z, perciò, corrisponde a valori del sottoinsieme f(D) di numeri reali, chiamato codominio della funzione. Di seguito ecco qualche esempio di dominio:

z = x2+y2+4; D = R2
In quanto a qualsiasi coppia di valori reali (x, y) corrisponde un valore reale.

z = (2x+y)/(x-y+2); D= {(x, y) / R2 | x-y+2 0}
Ossia, tutti i punti del piano cartesiano esclusi quelli appartenenti alla retta di equazione x-y+2=0 in quanto una frazione con a determinatore il valore zero non rappresenta un valore reale.
_____
z = z x+y-1; D = {(x, y) R2 | x+y-1 0}
La disequazione x+y-1L 0 risulta verificata da tutti i punti del semipiano individuato dalla retta di equazione x+y-1=0 nei quali l'espressione x+y-1 risulta positiva o nulla. Nel grafico è il semipiano evidenziato dalle frecce.

Infine è da specificare che la variabile z viene chiamata variabile dipendente da x e y, mentre x e y vengono denominate variabili indipendenti, in quanto la prima dipende dai valori che assumono le seconde.
Possiamo definire le curve di livello, come la proiezione ortogonale (perpendicolare) sul piano (x, y) dell'insieme E dei punti della superficie aventi lo stesso valore z = k, cioè con la stessa quota.

Un esempio: rappresentazione mediante linee di livello della funzione

z = 2x-y+1
le linee di livello sono rette di equazione: 2x-y+1=k che risultano parallele fra loro, in quanto hanno ovviamente lo stesso coefficiente angolare, in questo caso pari a 2.

La funzione avente la retta che passa per l'origine, avrà valore pari a 1, perché sostituendo a x e y della funzione i valori zero (coordinate dell'origine), si troverà 1.

f(0, 0) 2(0)-0+1 = 1
f(0, 2) 2(0)-2+1 = -1
f(3, 0) 2(3)-0+1 = 7

La funzione rappresenta un piano dello spazio che è intersecato dai piani z = k paralleli al piano xy secondo un fascio improprio di rette (è detto fascio improprio una serie di linee con direzione uguale) che è proiettato perpendicolarmente sul piano xy nel fascio di rette improprie di rette di equazione: mx+ny+p=k.
La rappresentazione mediante linee di livello viene utilizzata per la ricerca e la determinazione dei punti di minimo e massimo (relativi o vincolati). Si pensi, ad esempio, alle isoipse (le linee che congiungono le varie zone di uguale altezza) di una carta topografica o, nel caso di mappe meteorologiche, delle isobare, delle isoterme...
Ma come si possono classificare i massimi (e minimi)? Una prima classificazione si può ottenere individuando gli estremanti (massimi e minimi) liberi e quelli vincolati. Entrambi possono essere poi divisi in relativi o assoluti. La differenza tra liberi e vincolati viene riposta nel fatto che esista o no una funzione vincolante (vincolo, appunto) che limiti la funzione obbiettivo. La definizione, invece, di un estremante relativo può essere soddisfatta dalla seguente frase.
La funzione f(P) ha un massimo, o minimo, relativo in P0 (punto appartenente al dominio), se esiste un intorno di P0 (appartenente al domino della funzione), tale che per ogni punto P dell'intorno sia f(P)>= f(P0) nel caso di un minimo o f(P)0 massimo vincolato
se H