Le integrazioni

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
Download:	74
Data:	19.01.2001
Numero di pagine:	2
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

Integrazioni immediate
Proprietà integrazioni
Integrazione per sostituzione
Talvolta risulta necessario sostituire in modo opportuno alcune “variabili” dell’equazione integrando per giungere alla soluzione.
Se poniamo , da cui ne consegue che si ha che:
e supponendo che sappiamo risolvere il secondo integrale, abbiamo risolto il problema (sempre in termini di t, il che è intuitivo sostituire ed il gioco è fatto.
Vediamo alcuni esempi:
ESEMPIO 1:

Inoltre si possono dimostrare altri due integrali immediati:
La prima è facilmente dimostrabile ponendo .
La seconda invece si pone .
Integrazioni delle funzioni razionali fratte
In questo caso risolveremo integrazioni di questo tipo:
e
Sapendo che si possono presentare tre casi differenti.
Delta maggiore di zero
Sapendo che si possa scomporre un polinomio di secondo grado nel seguente modo:
la funzione integrando si può scomporre nel seguente modo:
Dove A e B sono dei termini noti, quindi facilmente integrabili.
Il problema è determinare questi valori:
Delta uguale a zero
Sapendo che x1 e x2 sono coincidenti il polinomio si può scomporre nel seguente modo:
Avendo una funzione integranda del genere:
Oppure una funzione integrando come la seguente:
e integrabile con il metodo illustrato precedentemente.
Delta minore di zero
In questo caso non esistono radici reali del trinomio.
Quindi l’espressione può essere come somma di due quadrati:
dove e .
Avendo una funzione integrando fratta come la seguente è possibile utilizzare l’integrato immediato :
oppure avendo una funzione integrando di questo tipo e possibile scomporre il numeratore raccogliendo opportunamente facendo in modo che il numeratore sia la derivata del denominatore, e quindi ricondurlo all’integrale di una derivata di una funzione fratto funzione, mentre le altre scomposizioni comporteranno uno sviluppo analogo a quello sopra descritto:
Integrazione per parti
A volte tutti i metodi spiegati precedentemente non sono necessari per la soluzione di un equazione integrando.
Seguendo la questa dimostrazione:
possiamo concludere che:
1
ESEMPI:
1 Le due scritture sono equivalenti
---------------
------------------------------------------------------------
---------------
------------------------------------------------------------