La trigonometria

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
Voto:	1.5 (2)
Download:	845
Data:	09.02.2001
Numero di pagine:	6
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

La trigonometria
Osservazioni sui triangoli rettangoli
Le origini di questo ramo della matematica, che letteralmente significa "misura dei triangoli", sono difficili da collocare nella storia della scienza anche se è dei greci il primo studio sistematico sulle relazioni tra gli angoli in un cerchio e le lunghezze delle corde che li sottendono. Inoltre, come già detto, la leggenda narra di come Talete sbalordiva i sacerdoti egizi calcolando l'altezza delle maestose piramidi con un bastoncino, grazie alle proiezioni della sua ombra e di quelle delle piramidi. Si ripercorra il procedimento usato dal matematico greco per determinare l'altezza di un muro perfettamente verticale rispetto al suolo: fissato nel terreno un bastoncino, in modo che anch'esso fosse perfettamente verticale rispetto al terreno, Talete attendeva che il Sole proiettasse un'ombra di lunghezza uguale a quella del bastoncino, quindi deduceva che l'altezza del muro era uguale alla lunghezza della propria ombra.
Il problema della piramide o del muro risolto da Talete conduce a un'importante considerazione geometrica: in tutti i triangoli rettangoli aventi gli angoli acuti ampi 45° i lati stanno nello stesso rapporto.Si può dimostrare che il rapporto tra i cateti è 1 e il rapporto tra un cateto e l'ipotenusa è
L'invariabilità dei rapporti tra coppie di lati corrispondenti è una proprietà che si estende ad altri triangoli rettangoli. Si consideri un triangolo rettangolo avente gli angoli acuti l'uno ampio 30° e l'altro, conseguentemente, 60°.
Osservando la figura possiamo notare che il triangolo ABC è la metà di un triangolo equilatero, per cui se il lato BC ha misura 1, l'ipotenusa AC (uguale al lato CC', doppio del lato BC) ha misura 2 e il cateto AB ha misura:

I rapporti fra le misure dei lati sono:

e questo vale per tutti i triangoli rettangoli aventi questi angoli .
Nomenclatura trigonometrica
Dato un angolo acuto di ampiezza i triangoli ABO, CDO, EFO, ... sono simili e quindi passando da un triangolo all'altro si conservano i rapporti:

In trigonometria questi rapporti assumono particolari denominazioni. Dato un triangolo rettangolo e considerando uno degli angoli acuti  sono detti:
-seno di  (in simboli sen ) il rapporto tra il cateto opposto ad  e l'ipotenusa;
-coseno di (in simboli cos ) il rapporto tra il cateto adiacente ad  e l'ipotenusa;
-tangente di (in simboli tg ) il rapporto tra il cateto opposto e quello adiacente ad;
-cotangente di (in simboli cotgil rapporto tra il cateto adiacente e quello opposto ad ;
-secante di (in simboli sec ) il rapporto tra l'ipotenusa e il cateto adiacente ad ;
-cosecante di  (in simboli cosec ) il rapporto tra l'ipotenusa e il cateto opposto ad .
Per completezza si è voluto dare l'elenco esaustivo di tutti i possibili rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo ma in questa sede tratteremo solo di seno, coseno e tangente giacché, specie nelle fasi preliminari dello studio di questo particolare settore della matematica, si incontrano molto più frequentemente.
Nel caso degli angoli di 45° e 30° si hanno i seguenti valori:

sen 45° = ; cos 45° = ; tg 45° = = 1

sen 30° = ; cos 30° = ; tg 30° = =
Altezza di una rupe
A questo punto è utile vedere qualche applicazione del calcolo trigonometrico dopo aver segnalato che fin dall'antichità astronomi come Tolomeo e Ipparco, e gli stessi matematici indiani, ritennero di estrema utilità la compilazione di tabelle, dove sono riportati alcuni dei valori relativi ad angoli inferiori a 90°.
Si voglia misurare l'altezza AH di una rupe nel caso in cui questa non cada verticalmente, per cui il punto H è inaccessibile.
Fissati sul piano del terreno, supposto orizzontale, due punti B e C a una distanza qualunque, per esempio = 40 m, sia A un punto di riferimento in cima alla rupe e visibile dal basso. Opportuni strumenti ottici, detti teodoliti, il cui funzionamento per mezzo di un cannocchiale mobile è schematizzato in figura, consentono di misurare gli angoli ABC e ACH.
Supponendo ABC = 15°, ACH = 45° si ha:
ACB = 180°- 45° = 135°
BAC = 180°- (15° + 135°) = 30°
Nel triangolo rettangolo CLB, il cateto LC ha per misura il prodotto della lunghezza dell'ipotenusa per il seno di 15°. Consultando una tabella trigonometrica si vede che:
sen 15° =
quindi:

Nel triangolo rettangolo ALC, l'ipotenusa AC ha misura uguale al rapporto tra la misura del cateto LC e il numero 0,5 che è il seno dell'angolo LAC = 30°. Cioè:

Concludendo, nel triangolo rettangolo AHC, il cateto AH, che è l'altezza della rupe, si ottiene dal prodotto di per il seno di AHC= 45°:

Distanza dalla terra di un corpo celeste
Un'altra applicazione di natura astronomica riguarda la determinazione della distanza dalla Terra di un corpo celeste, per esempio la Luna. Si considerino sulla superficie della Terra due osservatori in B e in A , in modo che quello posto in B veda la Luna allo zenit, cioè sulla perpendicolare al punto in cui egli si trova (per essere più rigorosi bisognerebbe dire sulla perpendicolare, passante per B, alla retta tangente alla circonferenza terrestre in B) e quello posto in A la osservi nello stesso momento sulla linea dell'orizzonte (cioè sulla retta tangente alla circonferenza in A). Puntando in A e in B due cannocchiali verso la Luna, è possibile misurare l'angolo determinato dalle due direzioni AL e BL.

Nel triangolo rettangolo TAL sono note le misure del cateto AT, che è il raggio r della Terra, e dell'angolo opposto  per cui la distanza d tra il centro T della Terra e quello L della Luna si trova dividendo r per il seno di  dato che d = TL è l'ipotenusa di ATL. Considerando il valore medio dell'angolo  (parallasse orizzontale) in 0°57'30" e quello del raggio medio della Terra in 6371,229 km, si trova per la distanza che intercorre fra la Terra e la Luna il valore di circa 384 400 km.
Astronomi greci e matematici
Il procedimento prima descritto fu usato nel II secolo a.C. dall'astronomo greco Ipparco che arrivò a una misura abbastanza vicina a quella esatta, con un margine di errore trascurabile se si pensa alla scarsa precisione degli strumenti di quel tempo. I risultati ottenuti da Ipparco, che determinò, sempre per via trigonometrica, il diametro della Luna, così come quelli di Eratostene, che calcolò il diametro del pianeta terrestre, lasciano stupefatti e ammirati nel constatare lo straordinario ingegno con il quale i matematici antichi affrontavano i problemi in un mondo in cui la tecnologia scientifica era praticamente inesistente.

Notevoli sviluppi della trigonometria si devono ai matematici indiani e arabi dal VI all'XI secolo; in Europa le prime trattazioni appaiono tra il 1300 e il 1500. Gli studi si perfezionano con il matematico francese Viète (1540-1603) e lo scozzese Napier (1550-1617) e trovano in Eulero (1707-1783) una sistemazione definitiva. Le relazioni tra i lati e gli angoli dei triangoli rettangoli trovano una generalizzazione nei triangoli qualunque, con la scoperta di nuove proprietà. La compilazione sempre più perfezionata di tavole trigonometriche contribuisce a fare di questo ramo della matematica un fondamentale strumento nell'affrontare e nel risolvere problemi di astronomia, di meccanica, di topografia, di geografia.
Di seguito si accenna a una proprietà che, riferita a triangoli non necessariamente rettangoli, apre la strada a quella particolare disciplina chiamata trigonometria dei triangoli qualunque.
Teorema dei seni
Dalla geometria è noto che se un triangolo ha due lati di uguale lunghezza, gli angoli opposti hanno la stessa ampiezza e viceversa. Ma se due lati non sono uguali, il rapporto tra le loro lunghezze non è uguale a quello fra le ampiezze dei rispettivi angoli opposti.
Prendendo per esempio il triangolo in figura, si nota che l'angolo A è 1/3 dell'angolo B, mentre il lato BC risulta essere 1/2 del lato AC.

Analogamente, mentre il rapporto tra le ampiezze degli angoli A e C è 1/2, quello tra le misure dei lati BC e AB è 1/ e non 1/2. La proprietà che collega i lati agli angoli opposti è sancita da un teorema, cosiddetto "teorema dei seni":
in un triangolo il rapporto fra le misure di due lati è uguale al rapporto fra i seni degli angoli opposti, ossia le misure dei lati di un triangolo sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.

In un triangolo, se a, b, c sono le misure dei tre lati e a, b, g quelle dei relativi angoli opposti, si ha:

Applicazione del teorema dei seni
Un'applicazione pratica: un osservatore posto in A vuole determinare la distanza dal punto C visibile ma inaccessibile, essendo i due punti separati da un fiume che costituisce un evidente ostacolo alla misurazione diretta del segmento AC. Fissato il punto B a una distanza qualunque da A, per esempio 20 m, si misurano con il teodolite gli angoli BAC e ABC: BAC = 60°, ABC = 45°. Tenendo presente che la somma degli angoli di un triangolo è un angolo piatto, si può facilmente dedurre la misura dell'angolo ACB:
ACB = 180° - 60°- 45° = 75°
Per il teorema dei seni il rapporto tra le misure dei lati AB e AC è uguale al rapporto tra i seni dei rispettivi angoli opposti. Consultando le tavole si trova che:

Poiché AB = 20 m, segue che:

Il procedimento descritto per la determinazione della distanza AC è applicabile in altri casi pratici, come la rilevazione di terreni e la misura di grandi distanze terrestri o astronomiche.
Queste brevi annotazioni non esauriscono certo la trigonometria che, trasferita dal piano alla superficie sferica, diventa la trigonometria dei triangoli sferici , strumento indispensabile in astronomia e in geografia matematica.