L'equazione esponenziale: tesina di matematica

Materie:	Tesina
Categoria:	Matematica
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Data:	06.06.2005
Numero di pagine:	4
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Matematica
L’equazione esponenziale
Dati due numeri reali positivi a e N, esiste qualche numero reale x, che, dato per esponente ad a, riproduce il numero N?
aˣ = N
che dicesi equazione esponenziale, poiché l’incognita si trova all’esponente.
Questa equazione è risolvibile graficamente, quando sia tracciata la curva esponenziale di equazione y = aˣ. Tracciata la curva esponenziale di equazione y = aˣ e la retta y=N parallela all’asse delle ascisse, il valore richiesto della x è l’ascissa del punto P in cui la retta incontra la curva.
I. L’equazione esponenziale non ammette soluzioni quando è N1 0 1 è x > 0
Dalla fig. 2, per 0 < a < 1:
- se 0 < N < 1 è x > 0
- se N = 1 è x = 0
- se N > 1 è x < 0.
Logaritmi
Si è dunque dimostrato che l’equazione aˣ= N ammette sempre una e una sola soluzione, sotto la sola condizione che a e N siano numeri reali positivi ed a diverso dall’unità.
Il numero x che soddisfa l’equazione esponenziale si dice logaritmo del numero N in base a e si denota con:
loga N.
Il numero N prende il nome di argomento del logaritmo. Le due equazioni: aˣ = N e x = loga N sono equivalenti tra loro.
Il logaritmo di un numero (positivo), in una data base (positiva, diversa da 1), è l’esponente che bisogna dare alla base per ottenere il numero dato.
Così, sfruttando il fatto che:
per a > 0, a>1, b > 0
è x = loga b se e soltanto se è aˣ = b,
si può, per esempio, osservare che l’uguaglianza 2³=8 può trasformarsi nell’uguaglianza 3 = log₂ 8, passando così dalla forma esponenziale alla forma logaritmica.
E così, analogamente, sono equivalenti le seguenti forme:
log₁₀ 1000 = 3 e 10³ = 1000
m = logn p e n = p
1/5 = log32 2 e 32 =2
In particolare si noti che dall’uguaglianza a⁰ = 1 deriva che 0 è l’esponente da dare alla base a per ottenere 1, cioè:
a⁰ = 1 ⇔ loga 1 = 0.
Analogamente
a¹ = a ⇔ loga a = 1.
Si deduce quindi che:
qualunque sia la base, il logaritmo di 1 è uguale a zero e il logaritmo della base è uguale a 1.
Il logaritmo di un numero risulta positivo se la base ed il numero sono entrambi maggiori di 1 o entrambi compresi tra 0 e 1; risulta invece negativo se la base ed il numero sono l’uno maggiore di 1 e l’altro compreso tra 0 e 1 o viceversa.
Ne deriva che:
se la base è maggiore di 1, i numeri maggiori di 1 hanno logaritmi negativi; se la base è minore di 1, i numeri maggiori di 1 hanno logaritmi negativi e quelli minori di 1 logaritmi positivi.
L’insieme di tutti i logaritmi dei numeri positivi in una data base a si chiama sistema di logaritmi a base a.
La curva logaritmica
Si definisce curva logaritmica di base a, il diagramma della funzione
y = loga x, con a ∊ R⁺ , a ≠ 1, x ∊ R⁺
Supponendo che sia a > 1, si ha:
per x = 1, y = loga 1 = 0
per x > 1, y = loga x > 0
per 0 < x < 1, y = loga x < 0
e precisamente quando il numero x > 1 cresce, anche il logaritmo cresce e prendendo x abbastanza grande, il logaritmo diventa frande fin che si vuole. Però attraverso qualche esempio , si vede che il logaritmo cresce più lentamente del numero: per esempio, supposto a = 2, se diamo ad x i valori:
1, 2, 4, 8, 16, …
la y acquista i valori
0, 1, 2, 3, 4, …
Da queste considerazioni ne deriva che la curva logaritmica taglia l’asse delle x nel punto di ascissa 1; alla destra di tale punto è sopra l’asse, dal quale si allontana quando si procede verso destra.
Supponendo invece che 0 1, y = loga x < 0
per 0 < x < 1, y = loga x > 0
Y a > 1

1

0 1 X

0 < a < 1
Si può notare che il grafico della funzione con 0 < a 1.
Proprietà dei logaritmi
Qualunque sia la base, i logaritmi godono di importanti proprietà che derivano dalle proprietà delle potenze sfruttando la connessione tra esponenti e logaritmi e sono enunciate nei seguenti teoremi:

1. il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori
logα ( m · n ) = logα m + logα n.
2. il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza fra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore
logα m/n = logα m – logα n.
3. il logaritmo della potenza di un numero è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo del numero
logα b = m logα b.
4. il logaritmo di un radicale è uguale al quoziente del logaritmo del radicando per l’indice della radice.
logα √‾ = 1/n logα b.

Tesina di matematica

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Francesco Ermini