Integrali definiti e impropri

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
Voto:	2.5 (2)
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Data:	22.10.2001
Numero di pagine:	2
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

Integrali definiti e impropri
Scopo
L’esperienza che stiamo svolgendo è divisa in due parti ben distinte però tutte e due hanno il punto comune nel calcolo degli integrali.
La prima parte consiste nel costruire un programma in linguaggio C++ tale che, data una funzione iniziale predefinita dall’utente, la macchina automaticamente dia in output il valore dell’integrale di tale funzione.
La seconda parte invece è nata dalla domanda che ci siamo posti durante la lezione teorica di matematica cioè:”E’ possibile far calcolare un integrale improprio ad un computer e inoltre quest’ultimo ha la capacità di riconoscere se l’integrale è divergente oppure convergente?”.
Quindi anche in questa parte dobbiamo ideare un programma in linguaggio C++ che, con appositi input possa rispondere alla nostra domanda.
Teoria
Per capire come abbiamo ideato il programma in C++ è importante dare alcune nozioni teoriche sugli integrali:
prima parte

la domanda principale che cercheremo di rispondere con queste note teoriche è “Come si può calcolare un integrale definito in un intervallo da” a” a “b”? ”.
Innanzitutto è importante definire una funzione f(x) continua e limitata nell’intervallo [a,b] , partendo dalla definizione geometrica dell’integrale cioè l’aera di un trapezoide costruito sotto la curva della funzione studiata:

Per dare però una definizione rigorosa dell’area di un trapezoide che come si può notare è delimitata dalla linea curva che rappresenta l’andamento della funzione, bisogna fare un piccolo artificio. A tale scopo dividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero n di parti uguali e, detta ∆x = (b-a)/n l’ampiezza comune di ciascuna di queste parti, consideriamo le seguenti somme:
sn = m1h+m2h+…+mnh
Sn = M1h+M2h+…+Mnh
Ove mi indica il minimo della f(x) nell’ imo intervallo, mentre Mi indica il massimo della f(x) nello stesso intervallino.
Quindi è evidente che per un qualunque n risulterà sempre:
sn