Integrali

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	18.05.2007
Numero di pagine:	3
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

La condizione di tangenza è la posizione limite assunta da una retta secante la curva in due punti, nel caso in cui il secondo punto tende a coincidere con il primo, o viceversa. Se esiste ed è finito il risultato di questo limite è la derivata della funzione nel suo punto di ascissa c. coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto.
f(x) → f’(x), M → 1, funzione
f’(x) → f(x), 1 → M, non è una funzione
Una funzione reale F(x) si dice primitiva della funzione f(x) in un intervallo [a,b] se F(x) è derivabile in [a,b] e se risulta F’(x) = f(x) per ogni x appartiene a [a,b].
L’insieme delle funzioni primitive di una funzione f si chiama integrale indefinito della funzione f e si indica con ∫ f(x) dx.
Proprietà:
∫ (f(x) +/- g(x)) = ∫ f(x) dx +/- ∫ g(x) dx
∫ a * f(x) dx = a * ∫ f(x) dx
∫ (a * f(x) +/- b* g(x)) dx = a * ∫ f(x) dx +/- b * g(x) dx per ogni a, b appartenenti a R
Integrazione per parti: D[f(x)*g(x)]=f’(x)*g(x)+ f(x)*g’(x) || f(x)*g’(x)= D[f(x)*g(x)] - f’(x)*g(x) || (integrando i membri) ∫f(x)*g’(x) dx= f(x)*g(x) - ∫f’(x)*g(x) dx

Se una funzione è derivabile in un intervallo allora in tale intervallo è anche continua (ma non è vero l’inverso in quanto esistono funzioni continue che non sono derivabili).
Se una funzione è continua in un intervallo allora in tale intervallo è anche dotata di primitive (ma non è vero l’inverso. Ossia possono essere dotate di primitive anche funzioni con certe discontinuità).

Si dice integrale definito della funzione continua y=f(x) nell’intervallo chiuso [a,b] il limite comune delle due successioni lim s (n → ∞) = lim S (n → ∞) e si indica con ∫ (tra a e b) f(x) dx. E’ un numero reale.
Teorema della media: Se f(x) è una funzione continua in [a,b], esiste almeno un punto c appartenente [a,b] per il quale vale la relazione ∫ (tra a e b) f(x) dx = (b - a) * f(c) ; il teorema afferma che l’area di un trapezoide delimitato dalla funzione f(x), dall’asse x e dalle due rette x=a e x=b, è uguale all’area di un rettangolo avente per base il segmento b – a e per altezza f(c), essendo c un opportuno punto di [a,b]. f(c) si dice valor medio della funzione f(x) nell’intervallo [a,b].

∫f(x) dx → l’integrale indefinito di una funzione f(x), è l’insieme delle sue funzioni primitive che indichiamo con F(x) + k
∫ (tra a e b) f(x) dx → l’integrale definito della funzione continua y=f(x) nell’intervallo chiuso [a,b], è un numero reale ed esprime, a meno del segno, l’area della superficie sottesa al grafico della funzione.

Data una funzione continua f(t), il valore del suo integrale definito cambia a seconda dell’intervallo considerato, in particolare se teniamo fisso il primo estremo a e facciamo variare il secondo estremo il valore dell’integrale dipende dal valore del secondo estremo. Indicando x con questo estremo, possiamo affermare che
∫ (tra a e x) f(t) dt è una funzione della variabile x. Tale funzione si definisce funzione integrale e si può porre H(x)= ∫ (tra a e x) f(t) dt.

Legame esistente tra integrale indefinito e integrale definito è dimostrato dalla formula di torricelli-barrow (legame tra primitiva e funzione integrale) che afferma: data una funzione f(x) continua in [a,b], la sua funzione integrale è derivabile e la sua derivata è uguale a f(x) appartenente ad [a,b], ovvero la sua funzione integrale H(x) è una primitiva della funzione integranda f(x) calcolata nella variabile x.
Poiché il teorema afferma che H’(x)=f(x), per studiare l’andamento di H(x) è sufficiente analizzare il segno di f(x). In particolare la condizione necessaria perché H(x) abbia estremanti relativi interni all’intervallo [a,b] è che f(x) si annulli in punti interni a tale intervallo. Considerando H(x) definita in [a,b] possiamo affermare che la funzione ammette massimo e minimo assoluti in quanto sono verificate le ipotesi del teorema di Weiestrass, pertanto in assenza di punti stazionari, gli estremanti assoluti si troveranno alla frontiera di tale intervallo.
La regola fondamentale del calcolo integrale è la formula di Leibniz-Newton. Questa formula si dimostra a partire dal teorema fondamentale del calcolo integrale, detto anche teorema di t.b.