I numeri complessi

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	08.05.2001
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I NUMERI COMPLESSI

J = unità immaginaria
J =√ -1
J2 = -1
1) Piano di gauss (complesso;argand-gauss)
I
y Z(x ;y)
0 x R

X+JY forma algebrica (forma cartesiana)
X = reale
Y = immaginaria
Es: I numeri senza parte reale sono detti immaginari puri
Z Re {Z} Imm {Z}
6 6 0
-3+j4 -3 4
-2-j5 -2 -5 I lungh vettore: Z
j4 0 4 angolaz: φ
Z
SOMMA:
Zs: Z1+Z2 = (X1+X2)+j(J1+J2) φ

PRODOTTO: 0 R
Zp:Z1*Z2
CONIUGAZIONE: Z*
Z :x+jy →5*(1-j)
Z*:x-jy →5*(1+j)
Complesso coniugato
MODULO: r = modulo
r = √ x 2+y 2

complesso coniugato di Z2
DIVISIONE:
Z1 x1+jy1 * x2-jy2
Z2 x2+jy2 x2-jy2
2) Forma polare o di Steinmetz
Z≡(R; φ)
׀ ׀ I ׀

Z Z=X+jY

r y
φ Z =r * φ
0 R
׀ ׀ ׀ ׀V
φ = arctg * y
x r= √ x 2+y 2
va bene se 1 e 4 quadrante
con x≠0

φ = arctg * y + 180°
x
se 2 e 3 quadrante

x = 0 ;φ = +90 se vettore positivo
x = 0 ;φ = -90 se vettore negativo con x = 0

FORMULE INVERSE:
x
I ● x = r* cos φ
y = r* sin φ
y
r φ

0 R
r = lungh vettore
φ = angolaz vettore

3) Forma trigonometrica
Z = r * φ
PRODOTTO:
Z1 * Z2 = r1*r2 * (φ1+ φ 2)

DIVISIONE:
Z1/Z2 = r1/r 2 * (φ 1- φ 2)
COMPLESSO CONIUGATO:
● Z = r * φ Z* = r * -φ
4) : forma trigonometrica
● Z = r * (cos φ + j sen φ)
PRODOTTO:
Z1*Z2 = r1*r2 *[cos(φ1+ φ 2)+jsen(φ 1+ φ 2)]
DIVISIONE:
Z1/Z2 = r1/r2*[cos*( φ 1- φ 2)+jsen(φ 1- φ 2)]
COMPLESSO CONIUGATO:
Z = r * (cos φ + j sen φ) Z* = r * (cos φ - j sen φ)
5) Forma esponenziale
ez = exp{z}
Z = r * ejφ
PRODOTTO: nella f.esponenziale la φ è in
radianti
Z1*Z2= (r1* ejφ1) *(r2* ejφ) r1*r2*e j(φ1+ φ2)
DIVISIONE:
Z1/Z2= r1* ejφ1 = r1 * e j(φ1-φ2)
r2* ejφ2 r2

φ°= φ(rad)*π φ(rad)= φ°*180
180 π

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