Gli integrali: appunto con formule

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	11.05.2005
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TRACCIA DI LAVORO SUGLI INTEGRALI
INTEGRALI DEFINITI
1) Definizione di integrale da a a b di una funzione f: [a, b] → R
- Proprietà
- In particolare se f: [a, b] → R è continua allora f è integrabile
2) Problema della PRIMITIVA
data f: → R , trovare F: → R derivabile con F ’ = f
3) Come collegare 1) e 2) ?

Con il 1° Teorema fondamentale del calcolo
f: [a, b] → R
1° teorema
f continua → → F è derivabile e F ‘ = f .
(le continue ammettono
primitiva e le costruisco)
4) Il 2° Teorema fondamentale del calcolo mi aiuta a descrivere in maniera più precisa l’insieme delle
PRIMITIVE di una funzione continua f: [a, b] → R .
Mi dice che differiscono tutte a meno di una costante.
CASO GENERALE
f: [a, b] → R limitata
SUDDIVISIONE
a = a0 < a1 < .....< a n = b
I 1 (f ) = SOMMA INTEGRALE INFERIORE =
I 2 (f ) = SOMMA INTEGRALE SUPERIORE =
Passando al sup di I 1 (f ) sulle suddivisioni → INTEGRALE INFERIORE di f .
Passando all’inf di I 2 (f ) sulle suddivisioni → INTEGRALE SUPERIORE di f .
Se COINCIDONO → f è INTEGRABILE secondo RIEMANN
= integrale superiore = integrale inferiore
INTEGRALI DEFINITI
f ( x ) continua in [a, b] e ivi positiva.
h i ampiezza degli intervalli
m i valori minimi di f ( x i )
M i valori massimi di f ( x i )
< Area trapezoide <
Rimpiccioliamo indefinitamente l’ampiezza degli intervalli
Definizione
dove dx è l’ampiezza h i che nel passaggio al limite è divenuta infinitesima.
_____________________________
PROPRIETA’
per definizione ;
per definizione ;
;
.
INTEGRALI INDEFINITI
L’operazione di integrazione viene introdotta come inversa.
Se g (x) è una funzione tale che g ’(x) = f (x)
allora g (x) si dice PRIMITIVA di f (x) .
La totalità delle primitive si dice INTEGRALE INDEFINITO.
e
Sono integrabili le funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato ed anche le funzioni limitate e generalmente continue (cioè che hanno al più un numero finito di punti di discontinuità).
(ESERCIZI)
OSSERVAZIONI
□ f: [a, b] → R
se f è integrabile
F è continua
□ se f: [a, b] → R è continua F è derivabile con F ‘ = f (1° Teorema del CALCOLO)
[ OSS.: se f non è continua ma ha, ad esempio, una discontinuità eliminabile,
F è derivabile, ma F ‘ f ]
___________________
2° Teorema fondamentale del CALCOLO
Hp: f continua in I
Tesi:
con il teorema di Lagrange
F (a) = ?
F (a) = 0

____________________
se G è una primitiva di f
F1 , F2 primitive di f
G (x) = F1 (x) - F2 (x)
G ‘ (x) = F1’ (x) - F2’ (x) = f (x) - f (x) = 0
Teorema. Se G è derivabile su I e G ‘ = 0 su I
allora G = costante

DIFFERENZIALE
f (x+h) = f (x) + f ’(x) ∙ h
|
g(h)
g(h) = g(0) + f ’(x) ∙ h
| |
q m
________________________
f: Rn → R ( n = 3 f (x, y, z) = xy + z2 )
derivata lungo v
Problemi sulla composizione e sulla continuità
c’è bisogno di un’altra nozione
Differenziabilità derivata in tutte le direzioni + una condizione di limite
Differenziali di f in x df(x)
Se n = 1 df (x): R → R
f ‘ (x) determina completamente df (x)
ma c’è bisogno di una sovrastruttura
OSS.:
una primitiva di è
g (t) = t2
f (x) → F (x) primitiva di f (x)
→ G (t) primitiva di g (t)
verifico

► x = sen t

f : I → R F primitiva di f su I
φ : J → I biiettiva e derivabile con φ’ ≠ 0 φ – 1: I → J
g (t) : J → R G : J → R primitiva di g su J
I → R
_____________________________

-1 ≤ x ≤ 1
sen : biiettiva e derivabile
__________________________
d f (x) = f ‘(x) dx
può essere utile per tenere a mente che
g(t) non è semplicemente ma è
N.B.: la funzione deve essere biiettiva, altrimenti spezzo gli intervalli
___________________________
(f g) ‘ = f ‘g + f g ‘ Una primitiva di f ‘g + f g ‘ è f g
Una primitiva di f g ‘ è f g – primitiva di f ‘g
_____________________________
per h piccolo
x = sen t
dx = cos t dt
(f ∙ g) ' = f 'g + f g’
PROPRIETA’ DEGLI INTEGRALI
□ □
□ □
□
Area di un DOMINIO NORMALE rispetto all’asse delle x

Teorema della MEDIA
con dove m < λ< M
Integrale applicato al calcolo dei VOLUMI
rotazione di 2 π

ROTAZIONE attorno all’asse delle Y (di 2 π)
y = f (x) x = f –1(y) dy = f ' (x)dx
ROTAZIONE di un ANGOLO α in generale
SOSTITUZIONE della VARIABILE d’INTEGRAZIONE
se x = t
| |
dx dt
___________________________
OSSERVAZIONE sugli INTEGRALI INDEFINITI
→ ? errata
R\{0} → R per x > 0 log x + c1
per x < 0 log (-x) + c2 c1 e c2 possono essere diversi

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