Funzioni, massimi e minimi

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Categoria:	Matematica
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MATEMATICA

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE
Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R, si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento di x appartenente ad A uno e un solo elemento y appartenente a B.
Una funzione si dice crescente quando al crescere della x anche la y, mentre una funzione si dice decrescente quando al crescere della x la y decresce.

CAMPO DI ESISTENZA
Il campo di esistenza и l’insieme dei valori che posso attribuire alla variabile indipendente x per ottenere una y reale.

DERIVATA
Si chiama derivata della funzione f(x) nel punto x0, il limite, se esiste ed и finito, del rapporto incrementale al tendere comunque a zero dell’incremento h della variabile indipendente x.
Da un punto di vista geometrico la derivata della funzione f(x) и uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva di equazione y= f(x) nel punto [x0; f(x0)].
Se una f(x) и derivabile nel punto x0 и necessariamente continua in quel punto.

La derivata di una somma di due o piщ funzioni esiste ed и uguale alla somma delle derivate di ogni funzione.
La derivata di un prodotto di due funzioni esiste ed и uguale alla derivata del primo fattore, per il secondo fattore piщ il primo fattore per la derivata del secondo.
La derivata di un quoziente di due funzioni esiste ed и uguale ad una frazione avente per numeratore la derivata del numeratore per il denominatore meno il numeratore per la derivata del denominatore, e per denominatore il quadrato del denominatore.

Se in un intervallo (a; b) la derivata della funzione f(x) и positiva, allora la funzione и, in (a; b), crescente in senso stretto mentre se in un intervallo (a; b) la derivata della funzione f(x) и negativa, allora la funzione и, in (a; b) decrescente in senso stretto.

MASSIMO E MINIMO RELATIVO
Per massimi o minimi relativi si intende il punto piщ alto o piщ basso che la funzione assume in un certo intervallo.
Sia f(x) una funzione reale definita nell’intervallo [a; b] e x0 un punto di tale intervallo. Se esiste un intorno H del punto x0, per ogni x del quale, diverso da x0, risulta:
f(x)= f(x0): si dice che x0 и un punto di minimo relativo;

Regola pratica per la determinazione dei massimi e minimi relativi di una funzione derivabile
1_ si deriva la funzione f(x) e si trovano i valori che annullano la f’(x), cioи si determinano le soluzioni dell’equazione: f’(x)=0.
2_ Se x0 и una di queste soluzioni, si calcola la f’’(x0). Se risulta f’’(x0)20 allora x0 и un punto di massimo o minimo relativo. In particolare sarа un massimo se f’’(x0)0.
3_ Se risulta che f’’(x0)=0 non и possibile determinare se in x0 ci sia un massimo o un minimo, se non calcolando la f’’’(x0). Quest’ultima, se 30 non determinerа nй un massimo nй un minimo.

MASSIMO E MINIMO ASSOLUTO
Per massimi o minimi assoluti si intende il punto piщ alto o piщ basso che la funzione assume nell’intero campo di esistenza.
Sia f(x) una funzione definita nell’intervallo [a; b]. Se in tale intervallo esiste un punto c in cui la funzione assume un valore non minore dei valori che essa assume negli altri punti di [a; b], il valore f( c) si dice massimo assoluto della f(x) in [a; b] e il punto b si dice punto di massimo assoluto per la funzione f(x) in [a; b].
Al contrario, se in [a; b] esiste un punto d in cui la f(x) assume un valore non maggiore dei valori che essa assume negli altri punti di [a; b], il valore della f(d) si dice minimo assoluto della f(x) in [a; b], e il punto b si dice punto di minimo assoluto per la f(x) in [a; b].
Il massimo o minimo assoluto di una funzione f(x) continua in un intervallo [a; b], и assunto o nei punti critici, oppure negli estremi dell’intervallo.

La condizione necessaria per l’esistenza di un massimo o di un minimo и che la derivata prima sia uguale a zero (in quanto nel punto di massimo o di minimo la f(x) non potrа essere che 0, in quanto non и nй crescente nй decrescente. Dal punto di vista geometrico, la f’(x) и il coefficiente angolare della tangente della f(x) in un punto. Con un massimo o un minimo la tg sarа parallela all’asse x e avrа, quindi, il coefficiente angolare =0. La condizione sufficiente и che la derivata seconda sia diversa da zero perciт quando и >0 si ha un minimo, quando и 1 (domanda elastica)
E=1 (domanda ad elasticitа =1)
E