Funzioni goniometriche fondamentali

Materie:Appunti
Categoria:Matematica

Voto:

1.5 (2)
Download:150
Data:23.02.2007
Numero di pagine:3
Formato di file:.doc (Microsoft Word)
Download   Anteprima
funzioni-goniometriche-fondamentali_1.zip (Dimensione: 36.58 Kb)
trucheck.it_funzioni-goniometriche-fondamentali.doc     93.5 Kb
readme.txt     59 Bytes


Testo

FUNZIONI GONIOMETRICHE FONDAMENTALI
Circonferenza goniometrica
Una circonferenza si dice goniometrica quando il centro si trova nell’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e il raggio è unitario; sulla circonferenza il senso positivo è quello antiorario.

Tale circonferenza viene divisa da due diametri perpendicolari AA’ e BB’ in quattro quadranti:
I quadrante, corrispondente all’arco AB
II quadrante, corrispondente all’arco BA’
III quadrante, corrispondente all’arco A’B’
IV quadrante, corrispondente all’arco B’A
Seno e Coseno di un angolo
Essendo O il centro della circonferenza e OP il raggio unitario, le funzioni seno e coseno dell’angolo i si possono definire nel seguente modo:
Il Seno di un arco (o del corrispondente angolo al centro) è l’ordinata dell’estremo dell’arco e quindi:
Il Coseno di un arco (o del corrispondente angolo al centro) è l’ascissa dell’estremo dell’arco e quindi:

Variazione del seno e del coseno di un angolo
Dalle definizioni date segue che:
sen 0 = 0 = sen 0°
cos 0 = 1 = cos 0°
sen s / 2 = 1 = sen 90°
cos c/2 = 0 = cos 90°
sen s = 0 = sen 180°
cos c = -1 = cos 180°
sen (3/2) / = -1 = sen 270°
cos (3/2) = 0 = cos 270°
sen 2s = 0 = sen 360°
cos 22 = 1 = cos 360°

Periodicità del seno e del coseno di un angolo1
Aggiungendo o sottraendo all’arco AP = A (fig. 5) multipli di 22, i nuovi archi , + 2k hanno ancora lo stesso estremo P e, di conseguenza, il seno e il coseno degli angoli + 2k sono rispettivamente uguali al seno e al coseno dell’angolo s, cioè:
seno e coseno di un angolo sono funzioni periodiche con periodo 2s
Pertanto:

Sinusoide e Cosinusoide
Ci proponiamo ora di studiare e rappresentare graficamente le funzioni:
y = senx sinusoide e y = cosx cosinusoide
dove x misura in radianti l’arco rettificato; il seno dell’arco è l’ordinata del suo estremo e il coseno l’ascissa dell’estremo stesso.

SINUSOIDE

Fig. 7

COSINUSOIDE

Relazione tra seno e coseno di uno stesso angolo
La somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo vale 1, cioè:
La relazione (1) ci permette di calcolare il valore del seno di un angolo quando è noto il valore del coseno dello stesso angolo e viceversa:
2)
I valori di e di sono entrambi accettabili in quanto si ha:

Osservazione: seno e coseno sono funzioni definite in tutto e a valori in [-1, 1].

Tangente trigonometrica di un angolo
Consideriamo la circonferenza goniometrica e conduciamo:
a. la retta t, tangente in A alla circonferenza nell’origine degli archi;
b. l’arco AP = A (fig. 9)

Prolunghiamo il raggio OP sino ad incontrare la retta t in T. Ciò premesso definiremo la tangente trigonometrica di un arco (o del corrispondente angolo al centro) l’ordinata del punto di intersezione (quando esiste) fra la tangente geometrica nell’origine degli archi e il prolungamento del raggio estremo dell’arco, cioè:
Osservazioni: se il punto P (fig. 9) coincide con A, cioè se , = 0, il punto T ha ordinata nulla e sarà:
tg 0 = 0
Al variare del punto P sull’arco AB, l’ampiezza di , varia da 0 a ; quando ; si approssima a , la tangente trigonometrica AT cresce e il suo valore è maggiore di un qualunque numero per quanto grande esso sia. Si dice cioè che, al tendere di a , la tangente dell’angolo tende a e cioè:
Per P = , la retta a cui appartiene il raggio vettore è parallela alla tangente t; non esiste dunque il punto d’intersezione e quindi: la tangente di non esiste.
---------------
------------------------------------------------------------
---------------
------------------------------------------------------------

Esempio