Funzioni a due variabili

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FUNZIONI A DUE VARIABILI.
Definizione:
Si definisce funzione a due variabili la funzione z = f(x,y) dove (x,y) sono le variabili indipendenti e z e la variabile dipendente.
Lo spazio a tre dimensioni:

La ricerca del dominio di una funzione:
Come nel caso delle funzioni ad una variabile reale, la prima cosa da fare quando si devono delle funzioni a due variabili, è determinare il dominio per farlo dobbiamo tenere presente le consuete regole d’esistenza.
- Un polinomio esiste sempre
- Una frazione esiste sempre se il suo denominatore è diverso da zero.
- Un radicale d’indice pari esiste se il suo argomento è positivo o nullo.
- Un radicale d’indice dispari esiste sempre, qualunque sia il valore del suo argomento.
- Un logaritmo esiste se il suo argomento e positivo.
Limite e continuità delle funzioni a due variabili.
Dato un punto A(X0, Y0) ed un numero reale r si dice intorno circolare di A l’insieme dei punti (X,Y) del piano 36la cui distanza da P è minore di r. l’insieme di tali punti è quindi quello dei punti del cerchio di centro A e di raggio r, circonferenza esclusa, cioè dei punti che soddisfano la relazione:

(x-x0)² + (y-y0)² < r²
Si parla di intorno infinito quando si considerano i punti esterni ad un cerchio di raggio arbitrariamente grande.
Un punto A di un insieme τ si dice interno all’insieme stesso se esiste un intorno circolare di centro A formato esclusivamente da punti di τ .
Un punto B si dice esterno ad τ se esiste un intorno circolare di centro B che non contiene alcun punto di τ.
Un punto che non è interno e non è esterno si dice frontiera di τ .
Limiti delle funzioni a due variabili:
-limite 1.
Data una funzione f(x,y) di dominio D ed un punto P0(X0,Y0) che sia di accumulazione per D, si dice che la funzione f ha per limite P per P(X,Y) che tende a P0 e si scrive:
Lim f(x,y) = p
p→p0
-limite 2.
Data una funzione f(x,y) ed un punto P0(X0,Y0) che sia di accumulazione per D, si dice che la funzione f ha per limite + ∞ per P(X,Y) che tende a P0 e si scrive :

Lim f(x,y) = + ∞
p→p0
Definizione di continuità:
Una funzione f(x,y) definita in un insieme piano τ si dice continua in un punto P0(X0,Y0) є τ che sia di accumulazione per τ se esiste finito.

Lim f(x,y)
p→p0
e se tale valore è uguale a quello che la funzione assume in P0 . in simboli:

Lim f(x,y) = f(x0,y0)
x→x0
Lim f(x,y) = f(x0,y0)
y→y0
derivate parziali:
Si dice derivata parziale rispetto a X della funzione f(x,y) nel punto P0(X0,Y0) il limite, se esiste finito per Ax che tende a zero, del rapporto incrementale di f relativo al punto X0 e all’incremento Ax, in simboli si pone:

Lim f(x0 + Ax, y0) – f(x0,y0) = f¹x (X0,Y0)
Ax→0 Ax

Si dice derivata parziale rispetto a Y della funzione f(x,y) nel punto P0(X0,Y0) il limite, se esiste finito per Ay che tende a zero, del rapporto incrementale di f relativo al punto y0 e all’incremento Ay; in simboli:

Lim f(x0 , Y0+Ay) – f(x0,y0) = f¹y (X0,Y0)
Ay→0 Ay
Le derivate seconde della funzione f calcolate prima rispetto ad una variabile e poi all’altra , cioè f¹¹yx ed la f¹¹xy, si dicono derivate miste.
Teorema di Schwarz.
Se la funzione f(x,y) ha derivate seconde miste che sono continue in un insieme s ,allora f¹¹yx=f¹¹xy in ogni punto di s.
Sia z=f(x,y) una funzione definita in un insieme D del piano. Si dice che un punto P0(X0,Y0) є D
E un punto di minimo relativo per f se esiste un intorno di P0 contenuto in D per tutti i punti dove capita che f(x,y)≥f(x0,y0)
Si dice che un punto P0 (x0,y0) є D è un punto di massimo relativo per f se esiste un intorno di P0 contenuto in D per tutti i punti dove capita che f(x,y)≤ f(x0,y0) .
Si parla invece di un punto di minimo assoluto e di massimo assoluto se le relazioni A e B sono vere per ogni (x,y) є D.
I punti di massimo e di minimo ( assoluti o relativi) vengono detti punti estremanti della funzione.
Un punto p (x0,y0) stazionario per una funzione f(x,y) si dice punto di sella se ogni intorno di P ha dei punti per cui vale la relazione f(x,y)< f(x0,y0) e dei punti per cui vale la relazione opposta f(x,y)> f(x0,y0)