Funzioni a due variabili

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Categoria:	Matematica
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Data:	24.05.2005
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TEORIA FUNZIONI A DUE VARIABILI

FUNZIONE REALE DI 2 VARIABILI REALI: funzione che ha come D un sottoinsieme del prodotto cartesiano RxR e come K un sottoinsieme di R.

GRAFICO DI UNA FUNZIONE REALE A DUE VARIABLILI REALI: è l’insieme di tutte le terne appartenenti a RxRxR tali che la coppia ordinata (x;y) sia un punto del piano appartenente al D e il punto z sia il valore che assume la funzione x;y.

LINEE DI LIVELLO: una linea di livello di quota k è l’’insieme di tutti i punti del D della funzione data nei quali valori la funzione assume valore k.

INTORNO CIRCOLARE APERTO: si chiama intorno circolare aperto di un punto P0 un qualunque cerchio di centro P0 e raggio a piacere, privato della circonferenza.

PUNTO DI ACCUMULAZIONE: un punto P0 si dice punto di accumulazione se in un qualsiasi intorno circolare aperto di P0 contiene almeno un punto diverso da P0 e appartenente ad AxB.

PUNTO INTERNO: un punto P0 si dice punto interno se esiste almeno un intorno circolare aperto di P0 sottoinsieme di AxB.

PUNTO ESTERNO: un punto P0 si dice punto esterno se esiste almeno un intorno circolare aperto di P0 disgiunto da AxB.

PUNTO FRONTIERA: un punto P0 si dice punto frontiera se qualsiasi intorno di P0 contiene punti diversi da P0 che appartengono ad AxB e punti diversi da P0 che non appartengono AxB.

FUNZIONI SUBORDINATE: in un punto P0 interno al D della funzione z=f(x;y) esistono 2 funzioni dette subordinate una zx nella sola variabile x e una zy nella sola variabile y.

DERIVATE PARZIALI: si chiamano derivate parziali della funzione z=f(x;y) in un punto P0 interno al D se esistono le derivate della funzione ordinata calcolate in quel punto.

PUNTO DI SELLA: un punto interno al D si dice punto di sella se in qualsiasi intorno di P0 esistono punti nei quali f(p) ≥ f(p0) e punti nei quali f(p) ≤ f(p0); è l’equivalente dimensionale del flesso.

MASSIMO RELATIVO: un punto P0 interno al D si dice massimo relativo se in un opportuno intorno circolare aperto f(p0)>f(p).

MINIMO RELATIVO: un punto P0 interno al D si dice minimo relativo se per un opportuno intorno circolare aperto f(p0)f(p).

MINIMO ASSOLUTO: un punto P0 interno al D si dice minimo assoluto se per qualunque (x,y) interno al D f(p0) 0 e Z’’xx (P0) > 0 → P0 min relativo;
- se H(P0) > 0 e Z’’xx (P0) < 0 → P0 max relativo;
- se H(P0) = 0 → P0 bisogna studiare le linee di livello.

HESSIANO: si chiama h. della funzione z=f(x;y) calcolato in P0 interno al D il determinante della matrice [], supponendo la funzione derivabile almeno fino al secondo ordine nel punto P.

METODO DI LAGRANGE: si presuppongono sia la funzione che il vincolo derivabili almeno fino al 2° ordine, e le derivate sono continue almeno in tutti i punti interni al D; in un opportuno sottoinsieme del D le derivate di 1° ordine del vincolo non devono annullarsi contemporaneamente. Si trova la funzione di Lagrange (ovvero la funzione si somma al vicolo il quale viene moltiplicato per la variabile lambda), si trovano i punti stazionari, si trova l’hessiano orlato e si classifica in ciascun punto stazionario:
- se H(p0) > 0 → p0 è max libero per Lagrange e (x;y) è max vincolato per z=f(x;y);
- se H(p0) < 0 → p0 è min libero per Lagrange e (x;y) è min vincolato per z=f(x;y);
- se H(p0) = 0 → caso dubbio.

APPLICAZIONI IN CAMPO ECONOMICO

FUNZIONI MARGINALI: sia z=f(x;y) fuzione derivabile con derivate continue, si chiamano funzioni marginali le derivate parziali della funzione stessa.
Le funzioni marginali esprimono approssimativamente la variazione della funzione aumentando di 1 unità una variabile e lasciando invariate le altre.

ELASTICITA’ PARZIALE: sia z=f(x;y) funzione derivabile con derivate continue, si chiama elasticità parziale rispetto a x → Z’x·(x/f) e si chiama elasticità parziale rispetto a y → Z’y·(y/f)

ELASTICITA’ INCROCIATA: si chiama elasticità incrociata della domanda di un determinato bene l’elasticità parziale calcolata rispetto al prezzo di un altro bene.