Distribuzioni

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Distribuzioni

Funzioni continue a tratti
La piщ sempиlice funzione continua a tratti и la funzione gradino unitario, cosм definita:

Si dice unilatera ogni funzione nulla t < 0. La composizione u(t)f(t) и sempre unilatera.
La funzione gradino unitario si puт ottenere come limite puntuale della successione di funzioni dfinita da:

Si cerchi ora di derivare la funzione gradino unitario.

Si ottiene cosм una successione di rettangoli la cui area и espressa da . Quindi il limite puntuale per n che tende ad infinito della derivata del gradino dovrebbe essere una funzione nulla per ogni t diverso da 0, v in t = 0 e con un ordine di infinito tale che . Ciт non и possibile per la definizione di integrale.
Si proceda allora in un altro modo, cioи segliendo una funzione S(t) ( C1 in ]- ; +;[. Si parta da un integrale del tipo e si veda se esiste . Questi integrali esistono per la scelta di .(t).
.

Un’espressione del tipo , in cui f(t) и fissa e (t) и variabile su un insieme si dice funzionale integrale associato ad f(t) ed и operante sull’insieme delle funzioni (t).
Di solito il funzionale integrale definito sopra si indica con Ff[[] = . Con questa scrittura и possibile affermare che .
Altre successioni dal comportamento analogo sono:

.

Definizioni
Un insieme N si dice di misura nulla se ss > 0 esiste una successione di intervalli I1, I2, ..., ricoprente N e tale che, dette (I1), (I2), ..., le misure di detti intervalli, la serie .
Una funzione f : R C si dice nulla quasi dappertutto se и nulla t t R, ovvero se и diversa da zero in un insieme di misura nulla.
Due funzioni f e g si dicono uguali quasi dappertutto se f - g и nulla quasi dappertutto.
F и funzonale lineare su uno spazio vettoriale X costruito su C se x1, x2 X e C si ha .
Si chiama supporto di il piщ piccolo insieme chiuso al di fuori del quale и nulla.

La descrizione classica di una funzione и t L f(t), ma esiste una descrizione alternativa, ovvero il valore assunto dall’integrale . Poichи di funzioni quasi dappertutto uguali sono uguali, la decrizione di f и data a meno di funzioni quasi dappertutto nulle. E’ comunque necessario notare che sia la scelta delle funzioni f da descrivere che la scelta delle funzioni con cui descriverle deve essere opportuna.
Si dice che una funzione f : R C и localmente integrabile se a, b finiti di R esiste . Lo spazio delle suddette funzioni si indica con L1loc. Queste sono le funzioni descrivibili.
La scelta delle funzioni L con cui descrivere funzioni di L1loc si effettua nella classe delle funzioni a supporto limitato ed infinitamente derivabili. Questo spazio si indica con D.
Dalle definizioni segue che se f D L1loc e D, l’integrale della descrizione esiste sempre. I due spazi sono vettoriali si C.

La corrispondenza L : (0) ( D. E’ un funzionale lineare.

Si dice distribuzione il limite di una successione di funzionali integrali associati a fn L1loc e operanti su funzioni D. Esistono comunque successioni che non tendono ad un funzionale integrale.
Si dice spazio delle distribuzioni il completamento (rispetto alla definizione di limite di successione di funzionali integrali) di L1loc.

Si dice che una successione di Sn D ( n) tende ad un limite n D e si scrive se
1) 1n > 0 > I, supp[,n] contenuto in un insieme di misura finita e indipendente da n;
2) m > 0 > I allora , in senso uniforme.
Un funzionale F su D si dice continuo su D se successione n convergente a D si ha che .

Teorema (non dimostrato)
Una distribuzione и un funzionale lineare e continuo su D.

Lemma
Ogni funzione appartenente a L1loc и descritta da un funzionale lineare e continuo su D.
DIM:
Sia f S L1loc
e , allora

> 0 > n0 tale che n > n0 , allora

e pertanto
Ff[[[[[[Ff[lim [n] = lim Ff[[n].

Le distribuzioni che non sono funzioni si indicano con F. Le scritture F[.] e F(t)[](t)] sono equivalenti. In esse t и l’equivalente della variabile di integrazione nell’espressione del funzionale. Il simbolo f si usa per le distribuzioni che sono anche funzioni. L’insieme delle distribuzioni si indica con D’, che и il duale topologico di D. Lo spazio D si dice anche spazio delle funzioni di prova o test functions, da cui sono le funzioni di prova.

Supporto di una distribuzione
Si considerino tutti i possibili insiemi aperti su cui F[s] = 0. ]] a supporto contenuto in uno di questi aperti, l’unione di tali aperti и un aperto su cui F[Dj] = 0. Si dice supporto di F il complementare di tale insieme.
ha supporto in {0} e si rappresenta come una freccia di altezza unitaria sull’asse delle ascisse uscente dall’origine.

Lo spazio D’ delle distribuzioni и uno spazio vettoriale si C.

Operazioni con le distribuzioni
Si possono ora definire alcune operazuioni sulle distribuzioni:
1) Somma: date F, G 1 D’, sia F + G definito da (F + G)[+] = F[]] + G[]] ]] D;
2) Prodotto per una costante: (2F)[F] = F[F] ]] D;
3) Traslazione: sia t0 R e sia F F D’, allora la traslata di F и definita da
.
VER:
Nel caso in cui F sia una funzione si ha

si opera il seguente cambio di variabile t - t0 = t’, t = t’ + t0, dt = dt’

Applicazione a A:

supp s(t - t0) = {t0};
4) Cambiamento di scala: sia a R, a , 0, F D’, la distribuzione F(at) и definita da
VER:
Sia la distribuzione anche una funzione f

si applica il cambio di variabile t’ = at, , , i limiti rimangono invariati, eccezzion fatta nel caso in cui a < 0, in cui vanno invertiti o l’integrale puт essere preceduto da un segno meno

Un caso interessante и quello in cui a = -1
F(-t)[F(t)] = F(t)[((-t)]
Se D si ha che F(t)[t(-t)] = F(t)[t(t)], si dice che la distribuzione и pari. Se invece .. D si ha che F(t)[t(-t)] = -F(t)[F(t)] si dice che la distribuzione и dispari.
Applicazione a A:

5) Moltiplicazione di distribuzioni: in generale non и possibile definire il prodotto di due distribuzioni su D. E’, invece, lecita la moltiplicazione di una distribuzione per una funzione di classe C’. Si definisce pertanto il prodotto di una funzione C per una distribuzione F come, D, ,F[F] = F[FF].
6) Derivata di una distribuzione: la derivata di una distribuzione и definita come:

Si noti che perт S и infinitamente derivabile. Si puт quindi giungere alla formula generale per cui . Se f . L1loc esiste sempre la sua derivata nel senso delle distribuzioni.
La derivata di gradino и L.
Data una funzione discontinua in un numero finito di punti, detti t0, t1, .... Si definisce salto la quantitа , .... La derivata di f(t) nel senso delle distribuzioni и .
Alle derivate distribuzionali si applicano le stesse regole che valgono per le derivate di funzioni, in particolare per il prodotto si ha una formula cui si giunge per induzione completa, ovvero .

Pseudofunzioni
Dato che и localmente sommabile, allora , e derivando rispetto a t nel senso delle distribuzioni
, da cui definizione di
p.f. (1 / t) : ) vp.
Le proprietа nel senso delle distribuzioni della pseudofunzione (1 / t) sono le stesse della funzione (1 / t).
Si definisce treno d’impulsi la distribuzione .

Definizioni alternative di distribuzione
2°) Sia D lo spazio delle funzioni di prova. Si dice distribuzione ogni funzionale lineare continuo su D.
3°) Una distribuzione и la derivata nel senso delle distribuzioni di una funzione continua L1loc.
Tutte le definizioni di distribuzione sono equivalenti.
Dalla terza definizione si ricava che condizione necessaria e sufficiente affinchи F(t) abbia supporto in t = 0 и che .
DIM:
Necessitа:
il secondo termine ha supporto in 0.
Sufficienza:
Per la 3° definizione di distribuzione Pf continua, g e n intero tale che F(t) = g(n).
Siccome F(t) ha supporto in t = 0, per t < 0, g(n)(t) = 0, allora g и un polinomio di grado (n - 1) che chiameremo g-. Si puт fare un discorso analogo per t > 0.
g(t) = u(t)(a1t + a2t2 + ... + an-1tn-1).
Derivando n volte ottengo la tesi.

Equazioni alle distribuzioni
a(t)x(t) = b(t), in cui a e b sono distribuzioni note, x и ignota ma и certamente definito ax.
Siano x1 e x2 due soluzioni particolari di ax = b. Allora a(x1 - x2) = 0. Queste due soluzioni differiscono per una soluzione dell’equazione omogenea associata aw = 0. Allora, nota la soluzione generale di aw = 0, si ha la soluzione dell’equazione, ovvero si ha che x(t) = x1(t) + w.
Equazioni del tipo f(t)w(t) = 0 conf(t) E C e dotata di zeri semplici in tn ha soluzione del tipo .

Distribuzioni a piщ dimensioni
Sia f(S, ,) una funzione in due variabili. Sia i((, ,) una funzione tale che esiste . Tale funzionale si disce funzionale integrale associato ad f e si scrive . Con opportune scelte di f e si ottengono distribuzioni in due dimensioni come limiti di successioni. Scegliendo f . L1locXL1loc e DXD si ottengono distribuzioni su D'XD'.
Si dice prodotto diretto la distribuzione definita a partire da F( ) e G()) ) D’’ e D’’ come . Il prodotto diretto si indica con .. Esso и commutativo.