Appunti sull'insieme N e Z

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
Download:	74
Data:	06.10.2006
Numero di pagine:	3
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

N è l’insieme dei numeri naturali.
N: {0;1;2;…n}
L’insieme N è un insieme discreto, una successione ordinata,perché ogni elemento conosce il suo successivo.
Lo 0 è il risultato di una misura, mentre il vuoto (Ø) è l’assenza di qualsiasi elemento.
Fare un algebra significa creare una struttura ad un insieme cioè definire una operazione
{N+} Questa è una struttura algebrica.
Cardinalità:numerare (contare) gli elementi di un insieme
Il segmento a---b non è un insieme discreto e la sua cardinalità è infinita
Fare una corrispondenza biunivoca significa creare un solo legame per ogni elemento di due insiemi:
Esempio
Insieme “X”:{1;2} 1=a 1=/b =/ significa diverso
Insieme “Y”:{a;b} 2=b 2=/a
L’insieme AB è lungo 3cm. L’insieme AC è lungo 5cm.
I segmenti AB e AC hanno lo stesso numero di punti?
AC è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo mentre AB è la sua base.
La proiezione di un qualsiasi punto di AC rientra in AB quindi AC e AB hanno lo stesso numero di punti.
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-..-.-.-.-..-.-
{N*} L’operazione *(dove * sta per una qualsiasi operazione) è binaria poiché coinvolge due elementi a*b=c
a e b sono gli elementi operandi
c è il risultato
L’operazione * è “buona” se:
1)Il risultato è dell’insieme considerato
2)Il risultato dell’operazione è unico
Esempio: la radice quadrata di +4 è + o -2, perché +2 alla seconda=4, -2 alla seconda=4
Proprietà delle operazioni:
1)Commutativa a*b=b*a
2)Associativa a*(b*c)=(a*b)*c
3)Esistenza del neutro n*a=a*n=a
4)Esistenza dell’inverso
a-1*a=a*a-1=n
.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.
Discreto:in matematica, un elemento che si distinge da un altro perché tra i due ci sono delle discrepanze.L’opposto è continuo
.--.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.
1)Addizione→ esiste in N,il suo neutro è 0
→ non esiste in N il simmetrico (o inverso):nessun numero naturale ha il suo inverso in N,a parte lo 0
0 per l’addizione è il simmetrico di se stesso
Per avere il simmetrico di ogni numero naturale bisogna estendere l’insieme a Z,l’ insieme degli interi. La “z” viene dal tedesco zoll (numero)
Z:{…-2;-1;0;+1;+2…}
Nasce il concetto di negativo nel 1400 con l’avvento delle banche
2)Moltiplicazione→è possibile in tutto N,si dice che è una operazione interna. N si dice chiuso rispetto alla moltiplicazione.
-Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione
a X (b+c)= a X b + a X c
a è il primo fattore
(b+c) è il secondo fattore
b e c sono i due addendi
Il primo fattore si distribuisce tra i vari addendi
-Legge dell’annullamento del prodotto
È il comportamento della moltiplicazione rispetto all’elemento neutro dell’addizione
Il risultato è 0 (aXb=0) se a=0 oppure b=0 oppure a=b=0
La legge si applica quando il risultato delle moltiplicazioni (detto prodotto) è nullo,cioè =0.
Se il prodotto è uguale a zero almeno uno dei fattori è zero.
Il simbolo di almeno è una E al contrario e un punto esclamativo
Э! Una cosa del genere
Legge,proprietà (in algebra),assioma e postulato (in geometria) sono da considerare veri, senza dimostrazione nell’insieme considerato.
Esempio:Postulato di Euclide:Per due punti passa una sola retta (nell’insieme dei punti di un piano)
Il teorema,invece,è una verità che va dimostrata.Il teorema si divide in ipotesi (Hp) e tesi (Th). Con le due si fa la dimostrazione utilizzando leggi,proprietà,…