Appunti di matematica

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
Voto:	2.5 (2)
Download:	105
Data:	20.03.2000
Numero di pagine:	3
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

Estremo superiore: un numero s di un insieme E, che gode delle seguenti proprietà: a)s è un maggiorante di E; b)qualunque sia il numero e>0, il numero s-e non è maggiorante di E.
Estremo inferiore: un numero i di un insieme E, che gode delle seguenti proprietà: a)i è un minorante di E; b)qualunque sia il numero e>0, il numero s + e non è minorante di E.
Intorno destro e sinistro: Si dice intorno destro del numero c, ogni intervallo, aperto a destra, che abbia c come estremo inferiore; intorno sinistro del numero c ogni intervallo aperto a sinistra, che abbia c come estremo superiore.
Punto di accumulazione: Il punto c si dice punto di accumulazione di E quando in ogni intorno di c cadono infiniti punti di E.
Punto frontiera: Un punto si dice punto di frontiera per l’insieme E se non é né interno né esterno ad E, cioè, se in qualsiasi intorno di c, cade almeno un punto di E ed almeno un punto del complementare di E.
Funzione: Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si dice funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento x A un e un solo elemento y B.
porta elementi distinti in elementi distinti.
Non tutti i valori di B devono essere considerati. Biunivoca: Quando è sia iniettiva che suriettiva.
Minimo assoluto: F(x) inferiormente limitata e se in A esiste almeno un punto x che risulta F(x ) = l
Massimo assoluto: F(x) superiormente limitata e se esiste in A almeno un punto x in cui risulta F(x) = L
Funzione monotona: Si dice tale una funzione che in A è o crescente o decrescente o non decrescente o non crescente.
Teorema dell’unicità del limite: se esiste il limite della funzione F(x) per x tendente a c, tale limite è unico.
Teorema della permanenza del segno: se per x tendente al numero c la funzione F(x) tende ad un limite finito l non nullo, esiste un intorno del punto c per ogni x del quale, escluso al piu’ c, F(x) assume valori dello stesso segno del suo limite.
Teorema del confronto: Se F(x), H(x),G(x) sono tre funzioni definite nello stesso intervallo, eccettuato al più un punto c di questo, e se per ogni x risulta :

F(x)< H(x)< G(x) , e se inoltre, è:

Lim F(x) = Lim G(x) = l allora risulta anche

Lim H(x) = l
Successione: Si chiama successione reale ogni funzione avente per dominio l’insieme N* dei numeri naturali diversi da zero, e per codominio un insieme di numeri reali. Si dice convergente quando il suo limite è un numero l, divergente quando ha per limite l’infinito. E’ indeterminata quando non è né convergente né divergente.
Funzione continua: Si dice tale una funzione F(x), determinata in un intervallo I=( a, b ) è continua nel punto c (interno a tale intervallo), se risulta:
Lim F(x) = F(c)
Devono essere rispettate le 3 condizioni:
1) esiste il valore della funzione nel punto c;
2) esiste il limite della funzione per x che tende a c;
3) il limite coincide con il valore della funzione nel punto c.
Punti di discontinuità: sono punti, detti singolari, dove la funzione non esiste. Possono essere di 3 tipi: Punti di discontinuità eliminabile: Si dice che nel punto c la funzione F(x) ha una discontinuità eliminabile, se in tale punto esiste finito il Lim F(x), ma il valore di F(x) o non esiste in c, oppure esiste ma risulta F(c) = Lim F(x). Di prima specie: Si dice che nel punto c la funzione F(x) ha una discontinuità di prima specie, se in tale punto esistono finiti i limiti destro e sinitro e sono diversi tra loro. Di seconda specie: Si dice che nel punto c la funzione F(x) ha una discontinuità di seconda specie, se in tale punto uno almeno dei due limiti: Lim F(x), Lim F(x), è infinito, oppure non esiste.

Lim F(x) = Lim G(x) = l allora risulta anche

Lim H(x) = l
Successione: Si chiama successione reale ogni funzione avente per dominio l’insieme N* dei numeri naturali diversi da zero, e per codominio un insieme di numeri reali. Si dice convergente quando il suo limite è un numero l, divergente quando ha per limite l’infinito. E’ indeterminata quando non è né convergente né divergente.
Funzione continua: Si dice tale una funzione F(x), determinata in un intervallo I=( a, b ) è continua nel punto c (interno a tale intervallo), se risulta:
Lim F(x) = F(c)
Devono essere rispettate le 3 condizioni: