Analisi delle posizioni dei punti

Materie:Appunti
Categoria:Matematica

Voto:

1 (2)
Download:166
Data:03.04.2001
Numero di pagine:3
Formato di file:.doc (Microsoft Word)
Download   Anteprima
analisi-posizioni-punti_1.zip (Dimensione: 31.53 Kb)
readme.txt     59 Bytes
trucheck.it_analisi-delle-posizioni-dei-punti.doc     529.5 Kb


Testo

Analisi delle posizioni dei punti
in un sistema articolato
Da un punto di vista analitico, una delle caratteristiche più importanti dei quadrilateri articolati è che in essi, essendo costituiti da aste rigide che non si deformano durante il moto, i quattro accoppiamenti sono strettamente collegati fra di loro. In particolare, per un’analisi più approfondita delle posizioni dei punti di questo tipo di sistema articolato, bisogna innanzi tutto tenere conto delle diverse limitazioni di movimento dei membri di un quadrilatero articolato, fissate dalla regola di Grashof, per cui “un quadrilatero articolato piano può essere a doppia manovella o a manovella e bilanciere, soltanto se la somma del più piccolo e del più grande dei suoi lati è minore della somma degli altri due; in tal caso è a doppia manovella se l’asta fissa (telaio) è la più corta, è a manovella e bilanciere se l’asta fissa è contigua alla più corta; in tutti gli altri casi, il quadrilatero è a doppio bilanciere”. Gioverà ricordare che in un quadrilatero articolato l’asta fissata al piano prende il nome di ponte o telaio, l’asta opposta al ponte si chiama biella e i membri che collegano il ponte alla biella vengono definiti manovelle se possono compiere un moto rotatorio completo, bilancieri nel caso contrario.
Nella nostra analisi esamineremo il caso del quadrilatero a doppia manovella, in quanto questa configurazione risulta essere la più completa poiché le manovelle compiono per intero il loro moto circolare rotatorio.
Il disegno qui a fianco mostra un quadrilatero articolato in cui l’asta più piccola è il telaio ed è fissata sull’asse delle ascisse; le due manovelle descrivono le circonferenze gamma (tracciata in rosso) e gamma primo (tracciata in verde); la biella collega due punti appartenenti a queste due circonferenze.
Assegnamo quindi dei valori ai diversi componenti:
telaio = 2
biella = 5
raggio gamma = 4
raggio gamma primo = 3
Assegnati questi valori possiamo scrivere l’equazione delle due circonferenze e poi scegliere le coordinate del punto P affinchè queste soddisfino l’equazione di gamma (P è sede di uno degli accoppiamenti del quadrilatero articolato):

Scriviamo l’equazione della circonferenza con centro in P e raggio di lunghezza uguale alla biella:
Mettiamo a sistema la circonferenza trovata con la circonferenza gamma primo, per trovare i punti di quest’ultima in cui può risiedere il quarto accoppiamento del sistema articolato:
risolvendo

da cui ricaviamo l’equazione risolvente:

abbiamo così il quarto accoppiamento: esso si può trovare in due punti distinti

sostituendo i valori trovati nell’equazione di gamma primo, verifichiamo l’effettiva appartenenza di questi punti a questa circonferenza.
Volendo invece esaminare il problema in un caso più generale, dobbiamo assegnare alle lunghezze dei vari membri del quadrilatero articolato non dei valori ma delle incognite:
telaio = c biella = m raggio gamma = r
raggio gamma primo = r1 con e = c2- (r1)2
le equazioni delle circonferenze e le coordinate del punto P (con relativa circonferenza con centro in P e raggio uguale alla lunghezza della biella):

anche il sistema diventa così:

a questo punto siamo costretti a fermarci, poiché sostituendo il valore il valore di x trovato nell’altra espressione, ricaviamo un valore di y che purtroppo non sta nel foglio; comunque ciò basta a dimostrare come trovare una formula generale per risolvere questo tipo di problemi sia estremamente sconveniente e faticoso.
Un altro modo per trovare le coordinate di uno degli accoppiamenti che ruota di moto rotatorio conoscendo le coordinate degli altri tre accoppiamenti del quadrilatero potrebbe essere quello di trovare i punti P1 di gamma primo distanti la lunghezza della biella dal generico punto P di gamma; in formule:

anche in questo caso vale il discorso finale fatto per l’altra dimostrazione: è inutile e dispendioso trovare una formula generale e conviene piuttosto sostituire i valori delle varie incognite nella formula sin dall’inizio.

Esempio