Diversi appunti di matematica

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Data:	07.09.2001
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EQUAZIONE: è un uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata per
un particolare valore attribuito all’incognita.
IDENTITA’: è un uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata per
qualsiasi valore attribuito all’incognita.
CARATTERISTICHE DELL’EQUAZIONE:
Un equazione si dice intera se non compare l’incognita al denominatore.
Un’equazione si dice fratta se compare l’incognita al denominatore.
Un’equazione si dice numerica se non compaiono altre lettere oltre
all’incognita.
Un’equazione si dice letterale se compaiono altre lettere oltre all’incognita
PRINCIPI DI EQUIVALENZA:
PRINCIPIO DI ADDIZIONE: se ai due membri di un equazione si
aggiunge uno stesso numero o una stessa espressione
algebrica contenente l’incognita, si ottiene un’equazione
equivalente a quella data.
PRINCIPIO DEL TRASPORTO: se si trasporta da un membro
all’altro di un equazione un termine, purché lo si cambi
di segno,si ottiene un’equazione equivalente a quella
data.
PRINCIPIO DI MOLTIPLICAZIONE E DI DIVISIONE:moltiplicando
o dividendo ambedue i membri di un equazione per uno
stesso numero diverso da zero o per una stessa
espressione algebrica contenente l’incognita si ottiene
un’equazione equivalente a quella data.
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
EQUAZIONE DI DECONDO GRADO COMPLETA:
Ax2 + Bx +C = 0 con A + 0
Dopo aver risolto l’equazione di secondo grado comleta moltiplicandola per 4A e aggiungendogli B2 otteniamo:
( 2Ax + B )2 = B2 – 4AC
A questo punto dobbiamo vedere se il secondo membro dell’equazione è positivo, nullo o negativo. Questo perché noi stiamo facendo l’uguaglianza tra ( 2Ax + B )2 , che è un numero sicuramente positivo in quanto è elevato al quadrato e B2 – 4AC.
QUINDI:
• Se B2 – 4AC – 0; abbiamo 2 soluzioni reali e distinte:
2Ax + B = 2 B2 – 4AC

2Ax = -B B2 – 4AC

x = -B B2 – 4AC
2A
• Se B2 – 4AC = 0; abbiamo 2 soluzioni reali e coincidenti:
( 2Ax + B ) 2 = 0
( 2Ax + B ) * ( 2Ax + B ) = 0
• Se B2 – 4AC – 0;abbiamo 2 soluzioni complesse e coniugate, e cioè appartenenti al campo dei numeri complessi:
x R

EQUAZIONE DI SECONDO GRADO PURA:
Ax2 + C = 0
Risolvendo:
X2 = - C/A se – C/A / 0 X = - C/A
Se – C/A / 0 2 soluzioni C
EQUAZIONE DI SECONDO FRADO SPURIA:
Ax2 + Bx = 0
Risolvendo:
x( Ax + B ) = 0 X1 = 0
X2 = Ax + B = 0 X2 = - B/A
Scomporre un polinomio in fattori: significa scrivere il
polinomio sotto forma di un prodotto di due
o più polinomi di grado minore.

Raccoglimento a fattor comune: se tutti i termini di un
polinomio contengono un fattore comune
possibile trasformare il polinomio nel prodotto
di quel fattore per il polinomio che si ottiene
dalla divisione di quello dato per il fattore
comune.
Prodotti notevoli
Quadrato di un binomio Differenza di cubi
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a3-b3)=(a-b)*(a2+ab+b2)
Cubo di un binomio Somma di cubi
(a+b)3=a3+a2b+3ab2+b3 (a3+b3)=(a+b)*(a2-ab+b2)
Differenza di quadrati Regola del trinomio
(a2-b2)=(a-b)*(a+b) (x2+(a+b)x+ab)=(x+a)(x+b)

PROPORZIONE:si dice che 4 numeri a,b,c,d, nell’ordine
scritto , formano una proporzione, se sono eguali i
rapporti a a b e c : d cioè se è:
a : b = c : d
PROPRIETA’ DELLE PROPORZIONI
FONDAMENTALE: in ogni proporzione il prodotto dei medi è
uguale al prodotto degli estremi, e viceversa.
a a b = c d
INVERTIRE: invertendo fra loro l’antecedente e il conseguente il
risultato del equazione non cambia.
b : a = d : c
COMPORRE: sommando l’antecedente con il conseguente e
dividendoli per uno dei due, il risultato dell’equazione
non cambia.
(a + b) : a = (a + b) : c oppure (a + b) : b = (a + b) : d
SCOMPORRE: sottraendo l’antecedente e il conseguente e
dividendoli per uno dei due, il risultato dell’equazione
non cambia.
(a – b) : a = (a – b) : c oppure (a – b) : b = (a – b) : d
PERMUTARE: cambiando di posto degli estremi o dei medi, o a
entrambi, il risultato non cambia.
d : b = c : a oppure a : c = b : d oppure d : c = b : a
UNITA’ STATISTICA: è la massima unità dell’universo, relativa al carattere in questione, su cui posso fare l’indagine.
UNIVERSO STATISTICO: è la popolazione che presenta un determinato carattere; solitamente non si svolge l’indagine sull’intero universo in quanto potrebbe avere diverse conseguenze:
• Potrebbe essere troppo dispendioso svolgere l’indagine su tutta la popolazione.
• Potrebbe essere un operazione troppo lunga che supererebbe i tempi a disposizione per svolgere l’indagine.
• Potrebbe diventare una cosa distruttiva.
CARATTERE QUALITATIVO: è espresso per mezzo di aggettivi e attributi. Può essere inserito in tabelle le quali saranno chiamate serie.
CARATTERE QUANTITATIVO: è espresso attraverso numeri reali. Può essere rappresentato in tabelle chiamate seriazione.
CARATTERE CONTINUO: è quel carattere che può essere espresso con numeri reali, e lo si ha nelle tabelle con classi.
CARATTERE DISCRETO: è quel carattere che può essere espresso con numeri interi.

FREQUENZA ASSOLUTA ( f i ) : indica il numero di unità statistiche che presentano quel carattere.
FREQUENZA RELATIVA ( p i ): è data dal rapporto tra frequenza assoluta e il totale delle unità osservate
p i = f i / / f i
FREQUENZA CUMULATA (F i ) : rappresenta il numero di unità statistiche che ho osservato fino al dato x i .
MEDIA: è quel valore che sostituito ai dati lascia inalterata la loro somma.

X = X x i f i
N
MODA: è quel valore della mia rilevazione che presenta la massima frequenza.
In caso si abbia un carattere continuo si usa la seguente formula:
MODA = Li + +1 . a
1 + +2
MEDIANA: è quel valore che bipartisce una distribuzione di dati che è stata ordinata in modo non decrescente.
INDICI DI VARIABILITA’: gli indici di variabilità servono per misurare la dispersione dei dati attorno alla media. Se lo scarto è grande abbiamo una dispersione dei dati attorno alla media. Se lo scarto è piccolo abbiamo una concentrazione dei dati attorno alla media.
SCARTO SEMPLICE MEDIO ( Sm ):
Sm = I X i - X I * f i
f i

CALCOLO DELLA VARIANZA (S2 ):
S2 = = ( X i - X )2 * f i
f i
SCARTO QUADRATICO MEDIO ( s ):
s = s ( X i - X )2 * f i
f i