Parallelismo e perpendicolarità tra rette

Materie:	Appunti
Categoria:	Geometria
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Condizione di parallelismo e perpendicolarità tra rette
Geometria piana
• Rette parallele
Due rette complanari che non hanno alcun punto in comune o coincidono, si dicono parallele.

Per indicare che due rette sono parallele si usa il simbolo
Circa le rette parallele c’è un assioma, equivalente al famoso e tanto discusso nella storia al 5° Postulato di Euclide.
Data una retta e un punto non appartenente a , per il punto passa una e una sola retta parallela a .
Da questo postulato si deduce che, date due rette parallele, ogni retta nel loro piano che ne interseca una interseca anche l’altra.
Infatti, se due rette e sono parallele, un’altra retta che interseca la non può essere parallela alla , altrimenti per passerebbero due parallele a (la e la ); la deve quindi intersecare anche .

Due rette e , se tagliate da una trasversale , danno origine a otto angoli che si associano tra loro a due a due:
• angoli alterni interni: ; ;
• angoli alterni esterni: ; ;
• angoli corrispondenti: ; ; ; ;
• angoli coniugati interni: ; ;
• angoli coniugati esterni: ; .
Premesso ciò, possiamo enunciare una condizione sufficiente a garantire il parallelismo tra rette:
Se due rette complanari, tagliate da una trasversale, formano con essa o angoli alterni (interni o esterni) congruenti, o angoli corrispondenti congruenti, o angoli coniugati (interni o esterni) supplementari, allora sono rette parallele.

Dimostriamo il teorema punto per punto: partiamo dagli angoli alterni interni. Ragioniamo per assurdo negando la tesi che le due rette siano parallele e che esse si congiungeranno in un punto che supponiamo trovarsi sulla destra. A questo punto i tre punti vengono ad indicare un triangolo il quale ha un angolo esterno () congruente a un angolo interno () ad esso non adiacente. Questa situazione è assurda perché è in contrasto con il teorema dell’angolo esterno. Quindi le due rette sono necessariamente parallele.
La stessa dimostrazione è valida anche per gli angoli corrispondenti: infatti, considerando lo stesso ipotetico triangolo, anche questa volta avremo un angolo esterno () congruente ad un angolo interno (), quindi anche in questo caso, poiché questa situazione è in contrasto col teorema dell’angolo esterno, le due rette saranno necessariamente parallele.
Anche per gli angoli coniugati interni procediamo per assurdo negando la tesi che le due rette siano parallele e che esse si congiungeranno in un punto P formando il triangolo . Questo triangolo ha alla base due angoli e ) che sommati danno un angolo piatto. Ma ciò è impossibile perché la somma di due angoli interni ad un triangolo è sempre minore di un angolo piatto. Quindi, i due angoli, per essere supplementari, le rette devono essere necessariamente parallele.
Per gli angoli alterni esterni osserviamo la figura. Sappiamo che perché opposti al vertice, ma anche che per il teorema prima dimostrato. Di conseguenza, per la proprietà transitiva, . Consideriamo di nuovo la figura. Noi sappiamo che , ma, per il teorema prima dimostrato degli angoli corrispondenti, sappiamo anche che , quindi, di conseguenza, per la proprietà transitiva : e anche la tesi sugli angoli coniugati esterni è dimostrata.

Il criterio di parallelismo tra rette è invertibile; ossia sussiste il seguente teorema, che esprime una condizione necessaria per il parallelismo.
Se due rette sono parallele, allora, tagliate da una trasversale, formano con essa: angoli alterni (sia interni che esterni) congruenti; angoli corrispondenti congruenti; angoli coniugati (sia interni che esterni) supplementari.

Incominciamo col dimostrare che se due rette sono parallele formano angoli alterni interni uguali. Ragioniamo per assurdo, supponendo che gli angoli e non siano congruenti: sia, ad esempio, . Tracciamo allora per la retta , distinta dalla , e formando con l’angolo , alterno rispetto a e ad esso congruente. Per il teorema del criterio di parallelismo tra rette, la retta risulterà parallela alla . Ma questa situazione è assurda perché si avrebbero per due rette parallele alla , in contrasto con l’assioma delle parallele. Di conseguenza, essendo solo la retta parallela alla , i due angoli e sono tra loro congruenti. In virtù di alcune proprietà degli angoli, si possono dimostrare le altre tesi. Consideriamo prima una coppia di angoli corrispondenti Noi sappiamo che perché opposti al vertice, ma anche che perché alterni interni per la tesi prima dimostrata, di conseguenza, avremo che , e quindi, per la proprietà transitiva (questa dimostrazione vale per tutti gli angoli corrispondenti). Lo stesso metodo utilizzato per dimostrare la tesi degli angoli corrispondenti, può essere utilizzata anche per le altre coppie di angoli alterni esterni: infatti, poiché perché opposti al vertice e per la tesi appena dimostrata degli angoli corrispondenti, avremo che . Per la dimostrazione della tesi degli angoli coniugati, seguiamo, invece, un metodo diverso. Partiamo dagli angoli coniugati interni: noi sappiamo che ma anche che per la tesi prima dimostrata, quindi di conseguenza anche Per gli angoli coniugati esterni procediamo con lo stesso ragionamento: poiché e perché alterni esterni, avremo che di conseguenza anche .

• Rette perpendicolari
Se due rette intersecandosi formano un angolo retto, sono retti anche gli altri tre angoli da esse formati.

Siano e due rette incidenti e sia retto uno degli angoli da esse formato, per esempio l’angolo . Se è un angolo retto, cioè metà di un angolo piatto, anche e , che sono adiacenti ad (e quindi ad supplementari), sono ciascuno la metà di un angolo piatto; e sono quindi retti. Anche , che è opposto al vertice rispetto ad , e pertanto ad esso congruente, è retto.

Due rette che intersecandosi formano un angolo retto, e perciò quattro angoli retti, vengono dette perpendicolari (o normali, o ortogonali).

Per indicare che due rette sono perpendicolari si usa il simbolo .

• Teorema relativo alle rette perpendicolari
Data una retta ed un punto (appartenente o no a essa) esiste una ed una sola perpendicolare condotta per quel punto alla retta data.

Detti rispettivamente e la retta ed il punto dati, distinguiamo due casi: appartenga ad ; non appartenga ad .

– Consideriamo una retta e un punto appartenente a essa. Ora consideriamo l’angolo piatto con vertice in e tracciamone la bisettrice. La retta è la bisettrice dell’angolo che divide lo stesso in due parti uguali (quindi in due angoli retti): di conseguenza la retta è perpendicolare alla retta nel punto , ma allo stesso tempo è anche l’unica poiché esiste una ed una sola bisettrice che divide un angolo in due parti uguali.

– Consideriamo una retta e un punto esterno ad essa. Congiungiamo questo punto con un generico punto di : se per caso la semiretta forma con la due angoli congruenti, e quindi retti, abbiamo trovato una perpendicolare per alla . Se così non è, allora tracciamo la semiretta uscente da e che giace dalla parte opposta di rispetto alla retta e formante con la un angolo , dove è un generico punto di e invece, il punto della in cui risulti . In seguito tracciamo la retta che congiunge i punti ed . Codesta retta risulta perpendicolare alla , in quanto, essendo il triangolo isoscele (), la retta , oltre ad essere la bisettrice dell’angolo , è anche mediana, e quindi forma con la base due angoli retti. Ma questa perpendicolare è anche l’unica: infatti, supponendo per assurdo di far passare per un’altra retta perpendicolare a , detto il loro punto di intersezione, avremo che il triangolo avrà due angoli retti. Ciò è impossibile poiché in un triangolo la somma di due angoli è sempre minore di un angolo piatto.

• Distanza di un punto da una retta; altezza di un triangolo; asse di un segmento
Il segmento di perpendicolare condotto da un punto ad una retta viene chiamato distanza del punto dalla retta.

In un triangolo la distanza di un vertice dalla retta del lato opposto si dice altezza del triangolo relativa a quel lato.

Il lato rispetto al quale si considera l’altezza di un triangolo prende anche il nome di base del triangolo. Ogni triangolo ha tre altezze (); queste, contrariamente a quanto avviene per le mediane e le bisettrici, posso essere anche essere segmenti esterni ad un triangolo.

La retta perpendicolare ad un segmento nel suo punto medio viene chiamato asse del segmento.

Geometria analitica
• Rette parallele
Due rette si dicono parallele o quando sono sovrapposte o quando non hanno nessun punto in comune e sono equidistanti. Poiché in un piano cartesiano una retta è rappresentata da ogni equazione lineare in due incognite, due rette saranno parallele se il sistema di equazione da esse rappresentato:

risulta essere impossibile od indeterminato. Questo capita se e solo se fra i coefficienti vi è una diretta proporzionalità, il che significa uguaglianza tra i coefficienti angolari. in simboli:

• Rette perpendicolari
Consideriamo le equazioni di due rette e perpendicolari nell’origine, e una retta parallela alle ordinate. Determiniamo le condizioni a cui devono soddisfare i coefficienti angolari e delle due rette affinché siano perpendicolari.
Siano e i punti d’intersezione delle rette ed con la retta , di coordinate:

Ora applichiamo al triangolo OPQ il secondo teorema di Euclide:

da cui si ricava:

Dividendo per si ha:

Essendo ed perpendicolari, le ordinate di e sono discordi, e quindi i coefficienti angolari e sono discordi; pertanto si avrà:

Si può affermare che se due rette sono perpendicolari, il prodotto dei loro coefficienti angolari è uguale a . Quindi, data la retta di equazione:

tutte le rette di equazione:

sono, qualunque sia , perpendicolari a .