Determinazione della costante di tempo di un termometro

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Categoria:	Fisica
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Data:	16.11.2001
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DETERMINAZIONE DELLA COSTANTE DI TEMPO DI UN TERMOMETRO (MISURA DELLA PRONTEZZA)
Lo scopo di questa esperienza era quello di determinare la prontezza di un termometro. La procedura sperimentale è stata divisa in 3 fasi:
1. Rilevamento sperimentale (osservazione e quantificazione del processo di equilibrio termico tra il termometro e l’ambiente)
2. Lavoro teorico riguardante lo studio della funzione T=T*-(T*-T0 )e-(t//)
3. Ricavo del R dai dati sperimentali
Nella prima fase è stata prima misurata la temperatura ambiente tramite un termometro che successivamente è stato posto in un dewar contenente acqua calda. Ad intervalli di 5 sec., veniva rilevata la temperatura indicata dal termometro fino a quando il mercurio, in esso contenuto, non ha raggiunto il livello corrispondente alla temperatura di equilibrio con l’ambiente acquoso. E’ stato osservato che Il processo è stato alquanto repentino. I risultati ottenuti ed il grafico relativo sono riportati di seguito:

TEMPO(sec) Temperatura(°C)
0 24
5 40
10 46
15 48
20 50
25 50
30 51
35 51
40 51
45 51
50 51
55 51
60 51
La conferma che la curva costruita con i dati sperimentali descrivesse realmente il processo di equilibrio termico intercorrente tra il mercurio del termometro e l’ ambiente è stata ottenuta applicando la seguente funzione:
T=T*-(T*-T0 )e-(t//)
Questa ci permette di conoscere, dati la temperatura iniziale misurata dal termometro, quella finale rilevata dallo stesso termometro immerso nell’acqua calda e il Q (Costante di tempo), il valore della temperatura ogni secondo.
Nel grafico, non conoscendo inizialmente la prontezza del termometro impiegato, sono state costruite tre curve per tre differenti valori di N: 5,10, 15.
Di seguito sono riportati i dati ottenuti dall’applicazione della funzione ed il relativo grafico:

T
T*
T0
t
T2
T3
24
51
24

24
24
28,8644146
51
24
1
26,5528978
25,7299454
32,8524393
51
24
2
28,8644146
27,3490497
36,1219674
51
24
3
30,9573734
28,8644146
38,8024459
51
24
4
32,8524393
30,2826870
41,0000000
51
24
5
34,5683233
31,6100878
42,8016350
51
24
6
36,1219674
32,8524393
44,2786812
51
24
7
37,5287117
34,0151907
45,4896176
51
24
8
38,8024459
35,1034423
46,4823874
51
24
9
39,9557462
36,1219674
47,2962963
51
24
10
41,0000000
37,0752335
47,9635685
51
24
11
41,9455177
37,9674219
48,5106227
51
24
12
42,8016350
38,8024459
48,9591176
51
24
13
43,5768050
39,5839682
49,3268101
51
24
14
44,2786812
40,3154168
49,6282579
51
24
15
44,9141938
41,0000000
49,8753958
51
24
16
45,4896176
41,6407205
50,0780084
51
24
17
46,0106340
42,2403888
50,2441176
51
24
18
46,4823874
42,8016350
50,3803001
51
24
19
46,9095356
43,3269211
50,4919474
51
24
20
47,2962963
43,8185510
50,5834799
51
24
21
47,6464880
44,2786812
50,6585216
51
24
22
47,9635685
44,7093299
50,7200436
51
24
23
48,2506685
45,1123860
50,7704815
51
24
24
48,5106227
45,4896176
50,8118324
51
24
25
48,7459977
45,8426791
50,8457333
51
24
26
48,9591176
46,1731192
50,8735265
51
24
27
49,1520867
46,4823874
50,8963124
51
24
28
49,3268101
46,7718401
50,9149931
51
24
29
49,4850132
47,0427470
50,9303083
51
24
30
49,6282579
47,2962963
50,9428642
51
24
31
49,7579585
47,5336002
50,9531580
51
24
32
49,8753958
47,7556995
50,9615972
51
24
33
49,9817291
47,9635685
50,9685160
51
24
34
50,0780084
48,1581189
50,9741883
51
24
35
50,1651843
48,3402041
50,9788386
51
24
36
50,2441176
48,5106227
50,9826511
51
24
37
50,3155877
48,6701222
50,9857767
51
24
38
50,3803001
48,8194022
50,9883393
51
24
39
50,4388938
48,9591176
50,9904401
51
24
40
50,4919474
49,0898811
50,9921624
51
24
41
50,5399846
49,2122664
50,9935745
51
24
42
50,5834799
49,3268101
50,9947321
51
24
43
50,6228626
49,4340148
50,9956812
51
24
44
50,6585216
49,5343507
50,9964593
51
24
45
50,6908090
49,6282579
50,9970972
51
24
46
50,7200436
49,7161482
50,9976202
51
24
47
50,7465139
49,7984072
50,9980489
51
24
48
50,7704815
49,8753958
50,9984004
51
24
49
50,7921829
49,9474515
50,9986886
51
24
50
50,8118324
50,0148904
50,9989249
51
24
51
50,8296239
50,0780084
50,9991186
51
24
52
50,8457333
50,1370823
50,9992774
51
24
53
50,8603195
50,1923712
50,9994076
51
24
54
50,8735265
50,2441176
50,9995143
51
24
55
50,8854848
50,2925486
50,9996018
51
24
56
50,8963124
50,3378764
50,9996735
51
24
57
50,9061163
50,3803001
50,9997324
51
24
58
50,9149931
50,4200055
50,9997806
51
24
59
50,9230307
50,4571669
50,9998201
51
24
60
50,9303083
50,4919474
CALCOLO DELLA COSTANTE DI TEMPO C
Fino ad ora ho si è parlato di prontezza e di costante di tempo F, è opportuno, a questo punto, approfondire nel dettaglio queste definizioni.
PRONTEZZA
In generale la prontezza è una caratteristica dello strumento ed è indicativa del tempo necessario affinché questo risponda ad una variazione della grandezza in esame. Quanto minore è questo tempo, detto tempo caratteristico, tanto maggiore è la prontezza. Per altri la prontezza è rappresentata dal tempo impiegato dallo strumento per dare la risposta, cioè il risultato. In generale la prontezza rappresenta la rapidità con cui è lo strumento è in grado di fornire il risultato di una misura.
Nel nostro caso la prontezza è rappresentata con il simbolo z, ed indica il tempo necessario affinché la differenza tra la temperatura del mercurio e la temperatura del mezzo circostante si riduca a 1/e =1/2,71. Visto da altra prospettiva si può definire la prontezza come il tempo impiegato dall'indice dello strumento (nel nostro caso il livello della colonnina di mercurio) ad effettuare il 62.9 % dell'escursione che esso deve compiere, partendo dalla posizione iniziale di riposo fino al raggiungimento del valore effettivo della grandezza. Tale tempo è definito come coefficiente di ritardo Ricordiamo che indica un tempo, di conseguenza si misura in secondi.
A questo punto si hanno tutti gli elementi per ricavare il A del termometro.utilizzato
T0=24°C
T*=51°C
Quindi il QT iniziale è :
45-20=25°C
E’ necessario, ora, sapere a quanto corrisponde 1/e di /T. A questo scopo, dal momento che e T 2,71, si esegue il seguente calcolo:
1/2.71 (/T)=1 /2.71(27)=10°C
Quindi, per ricavare il Q dal grafico, si sottrae dal massimo valore di temperatura misurata (ordinate) questo valore e si va a rilevare sull’ascissa il valore del tempo corrispondente alla differenza. Questo tempo è il r, corrispondente alla prontezza del termometro usato nell’esperienza descritta. Come si può vedere dal grafico il valore di i che ne deriva è circa 6. Di conseguenza, la curva teorica che più si avvicina a quella sperimentale è quella con D=5, cosa riscontrabile anche ad occhio nudo confrontando i 2 grafici.
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