Scomposizione di un moto parabolico

Materie:Appunti
Categoria:Fisica

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Testo

Scomposizione di un moto parabolico
Obiettivo: verifica di un moto parabolico su tavola a cuscino d’aria, scomposizione del moto nelle componenti orizzontali e verticali.
Cenni teorici: In generale il moto parabolico si osserva ogni volta che un corpo, soggetto alla forza di gravità, viene lanciato con una componente orizzontale della velocità non nulla; una situazione che si verifica, ad esempio, quando si lancia una palla in aria in una direzione che forma un certo angolo con la verticale. A causa della forza di gravità, la palla è soggetta a un'accelerazione costante diretta verso il basso, che prima rallenta il moto della palla verso l'alto, e poi accelera quello di caduta verso il basso. La componente orizzontale della velocità iniziale impressa alla palla rimane costante (sempre nell'ipotesi ideale di poter trascurare l'attrito dell'aria) e il moto che ne risulta è la composizione di due moti rettilinei, uno accelerato nella direzione verticale e uno rettilineo uniforme lungo l'asse orizzontale; queste due componenti sono indipendenti l'una dall'altra e possono essere analizzate separatamente. La traiettoria che si osserva è una parabola. L’equazione del moto parabolico è ricavata mettendo in sistema l’equazione del moto uniformemente accelerato (relativa all’asse y dove agisce la forza di gravità) con l’equazione del moto rettilineo uniforme (relativa all’asse x). Infatti il moto parabolico è un moto bidimensionale dove è possibile studiare separatamente le due componenti dello spostamento.
x= vx0 t = (v0 cos θ ) t
y= vy0 t – 1/2g t2 = (v0 sen θ ) t – 1/2g t2
Risolvendo il sistema si ottiene proprio l’equazione di una parabola passante per l’origine del sistema di assi cartesiani xy.
Condizioni al contorno: per effettuare correttamente l’esperimento sono necessari:
• Tavola a cuscino d’aria;
• Generatore di corrente;
• Aliante con dispositivo di puntamento a una frequenza di 50 hz;
• Carta metallizzata;
• Forbici;
• Metro a nastro;
• Righello.
Procedimento: in questo esperimento verificheremo il moto di un aliante che viaggia su una tavola a cuscino d’aria leggermente inclinata. Dovremmo poter osservare un moto parabolico dovuto alla componente dell’accelerazione di gravità che agisce sull’aliante e dalla mancanza dell’attrito.
Per prima cosa occorre inclinare leggermente la tavola a cuscino d’aria e posizionare l’interruttore dell’aliante sulla frequenza di 50 hz in modo che la punta posta al centro dell’aliante stesso possa tracciare sulla carta metallica una serie di tratteggi che ci serviranno per studiare il suo moto. Dopo aver posizionato l’aliante in basso a sinistra sulla tavola a cuscino d’aria è sufficiente spingerlo leggermente verso l’alto con un angolo α < 90° rispetto all’asse orizzontale per osservarne il moto parabolico. L’aliante infatti decelera fino al vertice della parabola dove, dopo essersi fermato, comincia ad accelerare durante la discesa. Una volta ritornato alla stessa altezza di partenza si spegne l’interruttore della punta per osservare la parabola da essa tracciata. Per evitare che la spinta dell’operatore influisca troppo sul moto dell’aliante è consigliabile lasciarlo cadere dall’angolo in alto a sinistra in modo che rimbalzi sull’elastico posto nel lato inferiore della tavola. Dal momento del primo rimbalzo comincia il moto parabolico. Si spegne il meccanismo che permette alla punta metallica di segnare il suo percorso sul foglio di carta metallizzata, si strappa il foglio e dal percorso tracciato si può cominciare studiare il moto.
Raccolta ed elaborazione dati:
• Studio della componente verticale del moto
Per prima cosa si disegna l’asse di simmetria della parabola, che nel nostro caso sarà l’asse y, e la tangente nel vertice perpendicolare all’asse della parabola, ovvero l’asse x del nostro sistema di riferimento. Visto che la frequenza della punta dell’aliante è stata impostata su 50 hz ( cioè un battito ogni 0.02s) si tracciano le perpendicolari agli assi partendo dai punti della parabola ogni cinque spazi, in modo che Δt = 0.1s. Si misurano gli spazi fra le linee tracciate e si inseriscono i valori ottenuti in due tabelle, una per l’emiparabola ascendente e l’altra per quella discendente, dove andremo a calcolare le velocità per ogni spazio e le rispettive accelerazioni.
La prima tabella è relativa all’emiparabola ascendente, quindi dovrebbe descrivere un moto uniformemente decelerato. Per questo motivo i valori dell’accelerazione sono negativi.
num spazio
t(s)
S(mm)
v (mm/s)
Δv (mm/s)
a=Δv/Δt
1
0,0
33,5
335
2
0,1
31
310
-25
-250
3
0,2
28,5
285
-25
-250
4
0,3
26,5
265
-20
-200
5
0,4
23,5
235
-30
-300
6
0,5
21
210
-25
-250
7
0,6
18,5
185
-25
-250
8
0,7
16
160
-25
-250
9
0,8
14
140
-20
-200
10
0,9
11
110
-30
-300
11
1,0
8
80
-30
-300
12
1,1
6
60
-20
-200
13
1,2
3
30
-30
-300
14
1,3
1
10
-20
-200

La seconda tabella è invece relativa all’emiparabola discendente, infatti i valori dell’accelerazione sono positivi.
num spazio
t(s)
S(mm)
v (mm/s)
Δv (mm/s)
a=Δv/Δt
15
0,0
1,5
15
16
0,1
4
40
25
250
17
0,2
6
60
20
200
18
0,3
9
90
30
300
19
0,4
11
110
20
200
20
0,5
13
130
20
200
21
0,6
15,5
155
25
250
22
0,7
18
180
25
250
23
0,8
20
200
20
200
24
0,9
22
220
20
200
25
1,0
24,5
245
25
250
26
1,1
27
270
25
250
27
1,2
29
290
20
200
28
1,3
31
310
20
200
In nessuna delle tue tabelle viene indicato lo spazio occupato dal vertice della parabola, in quanto è il punto in cui l’aliante si ferma per un istante, prima di accelerare lungo l’emiparabola discendente.
Con i dati ottenuti nelle tabelle si calcolano le due accelerazioni medie.
a1 = (∑n a ascen ) / n = -250 mm/s2
a2 = (∑n a discen ) / n = 226.92 mm/s2
Questi due valori sono dati sperimentali, che andranno confrontati con il dato teorico, per verificare la riuscita dell’esperimento e l’eventuale presenza di attrito ( nonostante la tavola a cuscino d’aria l’attrito è comunque presente, anche se in minor quantità).
Per fare questo confronto si calcola la componente dell’accelerazione di gravità che dovrebbe agire sull’aliante in assenza di attrito. Il valore teorico di questa accelerazione è dato dall’accelerazione di gravità g per il seno dell’angolo del piano inclinato (ovvero l’altezza fratto la lunghezza del piano stesso). Nel nostro esperimento l’altezza del piano era h = 18mm e la lunghezza era l = 672mm. I valori sono inseriti in mm per facilitare i calcoli successivi.
a= g × h/l
a = 9810 × 18 / 672 = 262.77 mm/s2
Per calcolare l’accelerazione causata dall’attrito è sufficiente fare la somma algebrica a1 e a2 e dividere il valore ottenuto per due. Infatti l’accelerazione teorica è uguale, se non sono stati fatti errori significativi durante l’esperienza, a quella misurata sperimentalmente più quella causata dalla forza di attrito.
Aatt = ( a1 + a2 )/2= -11, 54 mm/s2
Ovviamente risulta un valore negativo in quanto si tratta di una decelerazione.
Come si può notare dal tracciato dell’aliante, le due emiparabola non sono perfettamente speculari rispetto all’asse, questo significa che l’attrito ha influito in maniera differente durante la salita e la discesa. Il fatto che il valore dell’accelerazione durante la discesa sia molto minore rispetto a quello della decelerazione durante la salita indica proprio che l’attrito ha influito maggiormente nella seconda parte del moto, come era facile immaginare, in quanto proprio a causa di questo attrito, l’aliante tende a perdere gradualmente la sua spinta iniziale.

• Studio della componente orizzontale del moto
La componente orizzontale del moto è molto più semplice da analizzare in quanto si tratta di un moto rettilineo uniforme. Per verificarlo si effettua la stessa operazione che si è svolta in precedenza, questa volta misurando gli spazi sull’asse x. Nel nostro caso i valori ottenuti oscillano tra 8 e 9 mm, che considerando la scarsa precisione dello strumento di misura, indicano comunque un moto rettilineo uniforme, come volevasi dimostrare.
Conclusioni:
In conclusione possiamo considerare l’esperimento riuscito. Abbiamo verificato le proprietà delle componenti di un moto parabolico, anche se con una precisione non elevata a causa dell’incertezza dello strumento di misura utilizzato (± 1mm). Questa incertezza ha ovviamente influito molto nella misurazione dello spazio ( e quindi della velocità e dell’accelerazione) durante lo studio della componente verticale del moto. L’accelerazione non è per questo risultata costante lungo tutto il tragitto.
Note bibliografiche: “Enciclopedia Microsoft Encarta 2001”
“Fisica: percorsi e metodo vol. 1” di J.D. Wilson e A.J. Buffa
Scomposizione di un moto parabolico
Obiettivo: verifica di un moto parabolico su tavola a cuscino d’aria, scomposizione del moto nelle componenti orizzontali e verticali.
Cenni teorici: In generale il moto parabolico si osserva ogni volta che un corpo, soggetto alla forza di gravità, viene lanciato con una componente orizzontale della velocità non nulla; una situazione che si verifica, ad esempio, quando si lancia una palla in aria in una direzione che forma un certo angolo con la verticale. A causa della forza di gravità, la palla è soggetta a un'accelerazione costante diretta verso il basso, che prima rallenta il moto della palla verso l'alto, e poi accelera quello di caduta verso il basso. La componente orizzontale della velocità iniziale impressa alla palla rimane costante (sempre nell'ipotesi ideale di poter trascurare l'attrito dell'aria) e il moto che ne risulta è la composizione di due moti rettilinei, uno accelerato nella direzione verticale e uno rettilineo uniforme lungo l'asse orizzontale; queste due componenti sono indipendenti l'una dall'altra e possono essere analizzate separatamente. La traiettoria che si osserva è una parabola. L’equazione del moto parabolico è ricavata mettendo in sistema l’equazione del moto uniformemente accelerato (relativa all’asse y dove agisce la forza di gravità) con l’equazione del moto rettilineo uniforme (relativa all’asse x). Infatti il moto parabolico è un moto bidimensionale dove è possibile studiare separatamente le due componenti dello spostamento.
x= vx0 t = (v0 cos θ ) t
y= vy0 t – 1/2g t2 = (v0 sen θ ) t – 1/2g t2
Risolvendo il sistema si ottiene proprio l’equazione di una parabola passante per l’origine del sistema di assi cartesiani xy.
Condizioni al contorno: per effettuare correttamente l’esperimento sono necessari:
• Tavola a cuscino d’aria;
• Generatore di corrente;
• Aliante con dispositivo di puntamento a una frequenza di 50 hz;
• Carta metallizzata;
• Forbici;
• Metro a nastro;
• Righello.
Procedimento: in questo esperimento verificheremo il moto di un aliante che viaggia su una tavola a cuscino d’aria leggermente inclinata. Dovremmo poter osservare un moto parabolico dovuto alla componente dell’accelerazione di gravità che agisce sull’aliante e dalla mancanza dell’attrito.
Per prima cosa occorre inclinare leggermente la tavola a cuscino d’aria e posizionare l’interruttore dell’aliante sulla frequenza di 50 hz in modo che la punta posta al centro dell’aliante stesso possa tracciare sulla carta metallica una serie di tratteggi che ci serviranno per studiare il suo moto. Dopo aver posizionato l’aliante in basso a sinistra sulla tavola a cuscino d’aria è sufficiente spingerlo leggermente verso l’alto con un angolo α < 90° rispetto all’asse orizzontale per osservarne il moto parabolico. L’aliante infatti decelera fino al vertice della parabola dove, dopo essersi fermato, comincia ad accelerare durante la discesa. Una volta ritornato alla stessa altezza di partenza si spegne l’interruttore della punta per osservare la parabola da essa tracciata. Per evitare che la spinta dell’operatore influisca troppo sul moto dell’aliante è consigliabile lasciarlo cadere dall’angolo in alto a sinistra in modo che rimbalzi sull’elastico posto nel lato inferiore della tavola. Dal momento del primo rimbalzo comincia il moto parabolico. Si spegne il meccanismo che permette alla punta metallica di segnare il suo percorso sul foglio di carta metallizzata, si strappa il foglio e dal percorso tracciato si può cominciare studiare il moto.
Raccolta ed elaborazione dati:
• Studio della componente verticale del moto
Per prima cosa si disegna l’asse di simmetria della parabola, che nel nostro caso sarà l’asse y, e la tangente nel vertice perpendicolare all’asse della parabola, ovvero l’asse x del nostro sistema di riferimento. Visto che la frequenza della punta dell’aliante è stata impostata su 50 hz ( cioè un battito ogni 0.02s) si tracciano le perpendicolari agli assi partendo dai punti della parabola ogni cinque spazi, in modo che Δt = 0.1s. Si misurano gli spazi fra le linee tracciate e si inseriscono i valori ottenuti in due tabelle, una per l’emiparabola ascendente e l’altra per quella discendente, dove andremo a calcolare le velocità per ogni spazio e le rispettive accelerazioni.
La prima tabella è relativa all’emiparabola ascendente, quindi dovrebbe descrivere un moto uniformemente decelerato. Per questo motivo i valori dell’accelerazione sono negativi.
num spazio
t(s)
S(mm)
v (mm/s)
Δv (mm/s)
a=Δv/Δt
1
0,0
33,5
335
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0,1
31
310
-25
-250
3
0,2
28,5
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-200
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-30
-300
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La seconda tabella è invece relativa all’emiparabola discendente, infatti i valori dell’accelerazione sono positivi.
num spazio
t(s)
S(mm)
v (mm/s)
Δv (mm/s)
a=Δv/Δt
15
0,0
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250
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290
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200
28
1,3
31
310
20
200
In nessuna delle tue tabelle viene indicato lo spazio occupato dal vertice della parabola, in quanto è il punto in cui l’aliante si ferma per un istante, prima di accelerare lungo l’emiparabola discendente.
Con i dati ottenuti nelle tabelle si calcolano le due accelerazioni medie.
a1 = (∑n a ascen ) / n = -250 mm/s2
a2 = (∑n a discen ) / n = 226.92 mm/s2
Questi due valori sono dati sperimentali, che andranno confrontati con il dato teorico, per verificare la riuscita dell’esperimento e l’eventuale presenza di attrito ( nonostante la tavola a cuscino d’aria l’attrito è comunque presente, anche se in minor quantità).
Per fare questo confronto si calcola la componente dell’accelerazione di gravità che dovrebbe agire sull’aliante in assenza di attrito. Il valore teorico di questa accelerazione è dato dall’accelerazione di gravità g per il seno dell’angolo del piano inclinato (ovvero l’altezza fratto la lunghezza del piano stesso). Nel nostro esperimento l’altezza del piano era h = 18mm e la lunghezza era l = 672mm. I valori sono inseriti in mm per facilitare i calcoli successivi.
a= g × h/l
a = 9810 × 18 / 672 = 262.77 mm/s2
Per calcolare l’accelerazione causata dall’attrito è sufficiente fare la somma algebrica a1 e a2 e dividere il valore ottenuto per due. Infatti l’accelerazione teorica è uguale, se non sono stati fatti errori significativi durante l’esperienza, a quella misurata sperimentalmente più quella causata dalla forza di attrito.
Aatt = ( a1 + a2 )/2= -11, 54 mm/s2
Ovviamente risulta un valore negativo in quanto si tratta di una decelerazione.
Come si può notare dal tracciato dell’aliante, le due emiparabola non sono perfettamente speculari rispetto all’asse, questo significa che l’attrito ha influito in maniera differente durante la salita e la discesa. Il fatto che il valore dell’accelerazione durante la discesa sia molto minore rispetto a quello della decelerazione durante la salita indica proprio che l’attrito ha influito maggiormente nella seconda parte del moto, come era facile immaginare, in quanto proprio a causa di questo attrito, l’aliante tende a perdere gradualmente la sua spinta iniziale.

• Studio della componente orizzontale del moto
La componente orizzontale del moto è molto più semplice da analizzare in quanto si tratta di un moto rettilineo uniforme. Per verificarlo si effettua la stessa operazione che si è svolta in precedenza, questa volta misurando gli spazi sull’asse x. Nel nostro caso i valori ottenuti oscillano tra 8 e 9 mm, che considerando la scarsa precisione dello strumento di misura, indicano comunque un moto rettilineo uniforme, come volevasi dimostrare.
Conclusioni:
In conclusione possiamo considerare l’esperimento riuscito. Abbiamo verificato le proprietà delle componenti di un moto parabolico, anche se con una precisione non elevata a causa dell’incertezza dello strumento di misura utilizzato (± 1mm). Questa incertezza ha ovviamente influito molto nella misurazione dello spazio ( e quindi della velocità e dell’accelerazione) durante lo studio della componente verticale del moto. L’accelerazione non è per questo risultata costante lungo tutto il tragitto.
Note bibliografiche: “Enciclopedia Microsoft Encarta 2001”
“Fisica: percorsi e metodo vol. 1” di J.D. Wilson e A.J. Buffa

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