Principio di Fermat

Materie:Appunti
Categoria:Fisica

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Testo

I.P.S.
G. Ceconi
UDINE
Lab. fisica
ESERCITAZIONI
di
LABORATORIO
N……………...
DATA INIZIO PROVA
19/04/1999
……………………
OGGETTO DELLA ESRCITAZIONE: verifica del principio di Fermat ……… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Villaggio
A
A
1000m

C O D

1000m

2000m B
SEMPLIFICAZIONE DELLA STESSA ESRCITAZIONE IN BASE
ALL’IPOTESI DI FERMAT DELL’ ANALOGIA TRA LA Villaggio B
RIFRAZIONE E IL PROBLEMA DELLA SFIDA TRA I VILLAGGI

A
î
ARIA O D
ACQUA C
B
ALLIEVO
Cozzi Marco
………………………..
Data di consegna
24/04/1999
……………………...
VISTO
………………………
CONSIDERAZIONI SUL FENOMENI DELLA
RIFLESSIONE E DELLA RIFRAZIONE
Abbiamo studiato che quando un raggio di luce che si propaga nell’aria incontra la superficie liscia di acqua , si spezza in due raggi.
Uno rimbalza e continua a propagarsi nell’aria.
L’altro penetra dentro l’acqua e prosegue in una direzione leggermente diversa rispetto a quella iniziale.
Il primo dei due raggi si chiama raggio riflesso, il secondo si chiama raggio rifratto.
Ora noi prendiamo in considerazione il fenomeno della rifrazione.
FENOMENO DELLA RIFRAZIONE
Come abbiamo già detto la luce che passa da una sostanza ad un'altra sostanza con caratteristiche fisiche diverse subisce il fenomeno della rifrazione: in corrispondenza della superficie di separazione dei due mezzi il raggio di luce non continua a propagarsi in linea retta, come avviene in un mezzo omogeneo, ma cambia bruscamente direzione.
Ciò è dovuto al fatto che la luce si propaga nei due mezzi con velocità diverse. Il fenomeno della rifrazione è descritto dalla legge di Snell.
Tale legge afferma che il rapporto tra la proiezione del raggio incidente, e la proiezione del raggio rifratto è costante, cioè non dipende dall’ampiezza dell’angolo di incidenza.
Tale rapporto, costante, viene chiamato indice di rifrazione del primo mezzo rispetto al secondo.
LA SFIDA TRA I VILLAGGI
Due villaggi, A e B, si trovano sulle sponde opposte di un grande fiume largo 1Km. Mentre però le case del villaggio B sono situate proprio sulla sponda del fiume il villaggio A dista circa 1Km dall’altra sponda.
In oltre il villaggio B si trova a circa 2Km a est del villaggio A ogni anno tra i due villaggi si svolge una sfida.
Due concorrenti rappresentanti dei due villaggi partono dal villaggio A portando ciascuno una piccola canoa e corrono al fiume dove si imbarcano sulle rispettive canoe e remando cercano di raggiungere il villaggio B per primi. Ogni concorrente può scegliere liberamente il proprio percorso.
La velocità dei concorrenti è di 8Km/h a piedi e di 6Km/h in canoa.
Trascurando la corrente del fiume il tuo compito è quello di aiutare un concorrente a giungere nel minor tempo possibile al traguardo.
RISOLUZIONE DEL PROBLEMA
Il percorso più breve sarebbe certamente quello che congiunge A e B in linea retta se l’intero percorso fosse compiuto a velocità costante, non avremmo dubbi. Infatti, sappiamo dalla cinematica che, se un corpo si muove di moto rettilineo uniforme, la distanza che percorre è proporzionale al tempo che impiega a percorrerla, e perciò se è minima la distanza è pure minimo il tempo impiegato.
Però il problema che stiamo considerando prevede che il percorso sia effettuato a due velocità diverse. Questo potrebbe far si che distanza minima e tempo minimo non coincidano.
Quindi per risolvere il problema ho deciso di rappresentarlo con un disegno (vedere pagina 01) e di dare al campo di gara alcune lettere di riferimento. Ho chiamato C il punto in cui la perpendicolare tracciata da A al fiume incontra la sponda sinistra e ho indicato con D il punto in cui la perpendicolare tracciata da B attraverso il fiume incontra la stessa sponda,
infine ho indicato con O il punto in cui il concorrente entra nel fiume.
Verifica principio di Fermat
(CONTINUAZIONE )
Ora che abbiamo preso un punto qualsiasi fra C e D e lo abbiamo chiamato O il percorso del concorrente sarà formato dalle ipotenuse dei due triangoli rettangoli AOC e BOD.
Per calcolare quale sia il percorso che si compie in minor tempo non ci resta che calcolare per ogni diversa posizione del punto O, la somma dei tempi impiegati per percorrerle.
TABELLA
Per facilitare questa operazione posso realizzare una tabella dove prendo venti posizioni del punto O compreso tra C e D e mi calcolo per ognuna l’ipotenusa del primo e del secondo triangolo che si vengono a formare cioè il segmento AO e BO poi per ogni segmento calcolo il tempo impiegato a percorrerlo infine sommo i tempi parziali.
I dati ricavati li metto nelle rispettive posizioni della tabella di pagina 05. .
GRAFICO
Per evidenziare l’andamento del tempo in funzione della posizione del punto O ho fatto un grafico.
Ho posizionato sull’asse delle Y la colonna del tempo di percorrenza totale e sull’asse delle X ho messo i valori della colonna distanza CO.
Il grafico ottenuto ora mostra che il tempo di percorrenza ha il valore minimo in corrispondenza di CO = 1300m.

CONCLUSIONI
Questa esercitazione ci ha dimostrato la validità del principio di Fermat infatti la prova proponeva un problema analogo a quello della rifrazione, infatti come l’atleta tra tutti i percorsi ha scelto quello che può essere percorso nel minor tempo possibile così la luce sceglie il percorso più breve fra tutti i possibili.
DATI ESERCIZIO
Distanza da A al fiume: 1000m
Larghezza del fiume: 1000m
Distanza tra i punti C e D: 2000m
Velocità corsa: 2.2 m/s
Velocità canoa: 1.7m/s
TABELLA
CO
(m)
AO
(m)
OB
(m)
AB
(m)
Tempo 1
(s)
Tempo 2
(s)
Tempo
(s)

1000
2236
3236
450
1342
1792
100
1005
2147
3152
452
1288
1740
200
1020
2059
3079
459
1235
1694
300
1044
1972
3016
470
1183
1653
400
1077
1887
2964
485
1132
1617
500
1118
1803
2921
503
1082
1585
600
1166
1720
2887
525
1032
1557
700
1221
1640
2861
549
984
1533
800
1281
1562
2843
576
937
1514
900
1345
1487
2832
605
892
1497
1000
1414
1414
2828
636
849
1485
1100
1487
1345
2832
669
807
1476
1200
1562
1281
2843
703
768
1471
1300
1640
1221
2861
738
732
1470
1400
1720
1166
2887
774
700
1474
1500
1803
1118
2921
811
671
1482
1600
1887
1077
2964
849
646
1495
1700
1972
1044
3016
888
626
1514
1800
2059
1020
3079
927
612
1538
1900
2147
1005
3152
966
603
1569
2000
2236
1000
3236
1006
600
1606
IL principio di Fermat
Il problema della sfida tra i villaggi propone un problema simile a quello che si verifica quando un raggio di luce incontra nel suo cammino una superficie di separazione tra due sostanze entrambi trasparenti ma con diverse caratteristiche fisiche, come, ad esempio l’aria e l’acqua.
Anche i questo caso l’oggetto in movimento (la luce) passa da una data velocità ad una minore; anche in questo caso la traiettoria non è una linea retta ma una spezza.
Un famoso scienziato Pier Fermat formulò un ipotesi secondo cui l’analogia tra problema della sfida tra i villaggi e il fenomeno della rifrazione è ancora maggiore.
Infatti suggerì l’idea che la luce tra tutti i percorsi segua quello che può essere percorso nel minor tempo possibile.
La figura B rappresenta schematicamente un esperimento in cui un raggio di luce passa dall’aria all’acqua.
L’esperimento dovrebbe essere realizzato in laboratorio, ma possiamo descriverlo ugualmente, ammettendo la validità della legge di Snell.

A

C O D

B
FIGURA B
Cozzi Marco cl. 3 Atl pagina 06
Il cerchio rappresentato in figura B ha, nella realtà, un raggio di 5 cm. Noi teoricamente regoliamo il fascio di luce incidente, in modo che passi per O e che CO misuri 4 cm. Per la legge di Snell, conoscendo l’indice di rifrazione dell’acqua (1.333), possiamo calcolare OD:
OD=CO/1.333=3cm
Mediante il teorema di Pitagora calcoliamo le distanze dei punti A e B dalla superficie di separazione dei due mezzi.
Otteniamo:
AC=3cm
BD=4cm
Ora conosciamo la posizione dei punti di partenza e di arrivo del raggio luminoso sappiamo che la luce si propaga nell’aria alla velocità di 3*10⁸m/s e nell’acqua alla velocità di 2.26*10⁸m/s.
La verifica da eseguire consiste in questo: sappiamo che il raggio di luce, parte dal punto A e raggiunge il punto B; potrebbe scegliere tra infiniti percorsi. Conoscendo la velocità della luce nei due mezzi, determiniamo, fra tutti quello che la luce dovrebbe seguire per andare da A a B nel minor tempo possibile.
Se il percorso così calcolato risulterà identico a quello osservato sperimentalmente avremo la conferma dell’ipotesi di Fermat.
Verifica del principio di Fermat
TABELLA
Per eseguire la verifica ho usato la stessa tabella che avevo costruito per la sfida tra i villaggi, immettendo i nuovi valori.
GRAFICO
Come per la tabella anche il grafico l’ho fatto uguale al precedente solo cambiando i valori.
CONCLUSIONI
Questa esercitazione ci ha dimostrato la validità del principio di Fermat infatti la prova proponeva un problema analogo a quello della rifrazione, infatti come l’atleta tra tutti i percorsi ha scelto quello che può essere percorso nel minor tempo possibile così la luce sceglie il percorso più breve fra tutti i possibili.
Verifica del principio di Fermat
DATI ESERCIZIO

Lunghezza AC: 3 cm
Lunghezza BD: 4 cm
Distanza tra i punti CD: 7 cm
Velocità luce nell’aria: 3.00E+10 cm/s
Velocità luce nell’acqua: 2.26E+10 cm/s
TABELLA
CO
(cm)
AO
(cm)
OB
(cm)
AB
(cm)
Tempo 1
(s)
Tempo 2
(s)
Tempo
(s)
0.00
3.00
8.06
11.06
1.00E-10
3.57 E-10
4.57 E-10
0.35
3.02
7.76
10.78
1.01 E-10
3.43 E-10
4.44 E-10
0.70
3.08
7.46
10.54
1.03 E-10
3.30 E-10
4.33 E-10
1.05
3.18
7.17
10.35
1.06 E-10
3.17 E-10
4.23 E-10
1.40
3.31
6.88
10.19
1.10 E-10
3.05 E-10
4.15 E-10
1.75
3.47
6.60
10.07
1.16 E-10
2.92 E-10
4.08 E-10
2.10
3.66
6.33
9.99
1.22 E-10
2.80 E-10
4.02 E-10
2.45
3.87
6.06
9.93
1.29 E-10
2.68 E-10
3.97 E-10
2.80
4.10
5.80
9.90
1.37 E-10
2.57 E-10
3.93 E-10
3.15
4.35
5.55
9.90
1.45 E-10
2.46 E-10
3.91 E-10
3.50
4.61
5.32
9.92
1.54 E-10
2.35 E-10
3.89 E-10
3.85
4.88
5.09
9.97
1.63 E-10
2.25 E-10
3.88 E-10
4.20
5.16
4.88
10.04
1.72 E-10
2.16 E-10
3.88 E-10
4.55
5.45
4.69
10.14
1.82 E-10
2.08 E-10
3.89 E-10
4.90
5.75
4.52
10.26
1.92 E-10
2.00 E-10
3.91 E-10
5.25
6.05
4.37
10.41
2.02 E-10
1.93 E-10
3.95 E-10
5.60
6.35
4.24
10.59
2.12 E-10
1.88 E-10
3.99 E-10
5.95
6.66
4.14
10.80
2.22 E-10
1.83 E-10
4.05 E-10
6.30
6.98
4.06
11.04
2.33 E-10
1.80 E-10
4.12 E-10
6.65
7.30
4.02
11.31
2.43 E-10
1.78 E-10
4.21 E-10
7.00
7.62
4.00
11.62
2.54 E-10
1.77 E-10
4.31 E-10
I.P.S.
G. Ceconi
UDINE
Lab. fisica
ESERCITAZIONI
di
LABORATORIO
N……………...
DATA INIZIO PROVA
19/04/1999
……………………
OGGETTO DELLA ESRCITAZIONE: verifica del principio di Fermat ……… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Villaggio
A
A
1000m

C O D

1000m

2000m B
SEMPLIFICAZIONE DELLA STESSA ESRCITAZIONE IN BASE
ALL’IPOTESI DI FERMAT DELL’ ANALOGIA TRA LA Villaggio B
RIFRAZIONE E IL PROBLEMA DELLA SFIDA TRA I VILLAGGI

A
î
ARIA O D
ACQUA C
B
ALLIEVO
Cozzi Marco
………………………..
Data di consegna
24/04/1999
……………………...
VISTO
………………………
CONSIDERAZIONI SUL FENOMENI DELLA
RIFLESSIONE E DELLA RIFRAZIONE
Abbiamo studiato che quando un raggio di luce che si propaga nell’aria incontra la superficie liscia di acqua , si spezza in due raggi.
Uno rimbalza e continua a propagarsi nell’aria.
L’altro penetra dentro l’acqua e prosegue in una direzione leggermente diversa rispetto a quella iniziale.
Il primo dei due raggi si chiama raggio riflesso, il secondo si chiama raggio rifratto.
Ora noi prendiamo in considerazione il fenomeno della rifrazione.
FENOMENO DELLA RIFRAZIONE
Come abbiamo già detto la luce che passa da una sostanza ad un'altra sostanza con caratteristiche fisiche diverse subisce il fenomeno della rifrazione: in corrispondenza della superficie di separazione dei due mezzi il raggio di luce non continua a propagarsi in linea retta, come avviene in un mezzo omogeneo, ma cambia bruscamente direzione.
Ciò è dovuto al fatto che la luce si propaga nei due mezzi con velocità diverse. Il fenomeno della rifrazione è descritto dalla legge di Snell.
Tale legge afferma che il rapporto tra la proiezione del raggio incidente, e la proiezione del raggio rifratto è costante, cioè non dipende dall’ampiezza dell’angolo di incidenza.
Tale rapporto, costante, viene chiamato indice di rifrazione del primo mezzo rispetto al secondo.
LA SFIDA TRA I VILLAGGI
Due villaggi, A e B, si trovano sulle sponde opposte di un grande fiume largo 1Km. Mentre però le case del villaggio B sono situate proprio sulla sponda del fiume il villaggio A dista circa 1Km dall’altra sponda.
In oltre il villaggio B si trova a circa 2Km a est del villaggio A ogni anno tra i due villaggi si svolge una sfida.
Due concorrenti rappresentanti dei due villaggi partono dal villaggio A portando ciascuno una piccola canoa e corrono al fiume dove si imbarcano sulle rispettive canoe e remando cercano di raggiungere il villaggio B per primi. Ogni concorrente può scegliere liberamente il proprio percorso.
La velocità dei concorrenti è di 8Km/h a piedi e di 6Km/h in canoa.
Trascurando la corrente del fiume il tuo compito è quello di aiutare un concorrente a giungere nel minor tempo possibile al traguardo.
RISOLUZIONE DEL PROBLEMA
Il percorso più breve sarebbe certamente quello che congiunge A e B in linea retta se l’intero percorso fosse compiuto a velocità costante, non avremmo dubbi. Infatti, sappiamo dalla cinematica che, se un corpo si muove di moto rettilineo uniforme, la distanza che percorre è proporzionale al tempo che impiega a percorrerla, e perciò se è minima la distanza è pure minimo il tempo impiegato.
Però il problema che stiamo considerando prevede che il percorso sia effettuato a due velocità diverse. Questo potrebbe far si che distanza minima e tempo minimo non coincidano.
Quindi per risolvere il problema ho deciso di rappresentarlo con un disegno (vedere pagina 01) e di dare al campo di gara alcune lettere di riferimento. Ho chiamato C il punto in cui la perpendicolare tracciata da A al fiume incontra la sponda sinistra e ho indicato con D il punto in cui la perpendicolare tracciata da B attraverso il fiume incontra la stessa sponda,
infine ho indicato con O il punto in cui il concorrente entra nel fiume.
Verifica principio di Fermat
(CONTINUAZIONE )
Ora che abbiamo preso un punto qualsiasi fra C e D e lo abbiamo chiamato O il percorso del concorrente sarà formato dalle ipotenuse dei due triangoli rettangoli AOC e BOD.
Per calcolare quale sia il percorso che si compie in minor tempo non ci resta che calcolare per ogni diversa posizione del punto O, la somma dei tempi impiegati per percorrerle.
TABELLA
Per facilitare questa operazione posso realizzare una tabella dove prendo venti posizioni del punto O compreso tra C e D e mi calcolo per ognuna l’ipotenusa del primo e del secondo triangolo che si vengono a formare cioè il segmento AO e BO poi per ogni segmento calcolo il tempo impiegato a percorrerlo infine sommo i tempi parziali.
I dati ricavati li metto nelle rispettive posizioni della tabella di pagina 05. .
GRAFICO
Per evidenziare l’andamento del tempo in funzione della posizione del punto O ho fatto un grafico.
Ho posizionato sull’asse delle Y la colonna del tempo di percorrenza totale e sull’asse delle X ho messo i valori della colonna distanza CO.
Il grafico ottenuto ora mostra che il tempo di percorrenza ha il valore minimo in corrispondenza di CO = 1300m.

CONCLUSIONI
Questa esercitazione ci ha dimostrato la validità del principio di Fermat infatti la prova proponeva un problema analogo a quello della rifrazione, infatti come l’atleta tra tutti i percorsi ha scelto quello che può essere percorso nel minor tempo possibile così la luce sceglie il percorso più breve fra tutti i possibili.
DATI ESERCIZIO
Distanza da A al fiume: 1000m
Larghezza del fiume: 1000m
Distanza tra i punti C e D: 2000m
Velocità corsa: 2.2 m/s
Velocità canoa: 1.7m/s
TABELLA
CO
(m)
AO
(m)
OB
(m)
AB
(m)
Tempo 1
(s)
Tempo 2
(s)
Tempo
(s)

1000
2236
3236
450
1342
1792
100
1005
2147
3152
452
1288
1740
200
1020
2059
3079
459
1235
1694
300
1044
1972
3016
470
1183
1653
400
1077
1887
2964
485
1132
1617
500
1118
1803
2921
503
1082
1585
600
1166
1720
2887
525
1032
1557
700
1221
1640
2861
549
984
1533
800
1281
1562
2843
576
937
1514
900
1345
1487
2832
605
892
1497
1000
1414
1414
2828
636
849
1485
1100
1487
1345
2832
669
807
1476
1200
1562
1281
2843
703
768
1471
1300
1640
1221
2861
738
732
1470
1400
1720
1166
2887
774
700
1474
1500
1803
1118
2921
811
671
1482
1600
1887
1077
2964
849
646
1495
1700
1972
1044
3016
888
626
1514
1800
2059
1020
3079
927
612
1538
1900
2147
1005
3152
966
603
1569
2000
2236
1000
3236
1006
600
1606
IL principio di Fermat
Il problema della sfida tra i villaggi propone un problema simile a quello che si verifica quando un raggio di luce incontra nel suo cammino una superficie di separazione tra due sostanze entrambi trasparenti ma con diverse caratteristiche fisiche, come, ad esempio l’aria e l’acqua.
Anche i questo caso l’oggetto in movimento (la luce) passa da una data velocità ad una minore; anche in questo caso la traiettoria non è una linea retta ma una spezza.
Un famoso scienziato Pier Fermat formulò un ipotesi secondo cui l’analogia tra problema della sfida tra i villaggi e il fenomeno della rifrazione è ancora maggiore.
Infatti suggerì l’idea che la luce tra tutti i percorsi segua quello che può essere percorso nel minor tempo possibile.
La figura B rappresenta schematicamente un esperimento in cui un raggio di luce passa dall’aria all’acqua.
L’esperimento dovrebbe essere realizzato in laboratorio, ma possiamo descriverlo ugualmente, ammettendo la validità della legge di Snell.

A

C O D

B
FIGURA B
Cozzi Marco cl. 3 Atl pagina 06
Il cerchio rappresentato in figura B ha, nella realtà, un raggio di 5 cm. Noi teoricamente regoliamo il fascio di luce incidente, in modo che passi per O e che CO misuri 4 cm. Per la legge di Snell, conoscendo l’indice di rifrazione dell’acqua (1.333), possiamo calcolare OD:
OD=CO/1.333=3cm
Mediante il teorema di Pitagora calcoliamo le distanze dei punti A e B dalla superficie di separazione dei due mezzi.
Otteniamo:
AC=3cm
BD=4cm
Ora conosciamo la posizione dei punti di partenza e di arrivo del raggio luminoso sappiamo che la luce si propaga nell’aria alla velocità di 3*10⁸m/s e nell’acqua alla velocità di 2.26*10⁸m/s.
La verifica da eseguire consiste in questo: sappiamo che il raggio di luce, parte dal punto A e raggiunge il punto B; potrebbe scegliere tra infiniti percorsi. Conoscendo la velocità della luce nei due mezzi, determiniamo, fra tutti quello che la luce dovrebbe seguire per andare da A a B nel minor tempo possibile.
Se il percorso così calcolato risulterà identico a quello osservato sperimentalmente avremo la conferma dell’ipotesi di Fermat.
Verifica del principio di Fermat
TABELLA
Per eseguire la verifica ho usato la stessa tabella che avevo costruito per la sfida tra i villaggi, immettendo i nuovi valori.
GRAFICO
Come per la tabella anche il grafico l’ho fatto uguale al precedente solo cambiando i valori.
CONCLUSIONI
Questa esercitazione ci ha dimostrato la validità del principio di Fermat infatti la prova proponeva un problema analogo a quello della rifrazione, infatti come l’atleta tra tutti i percorsi ha scelto quello che può essere percorso nel minor tempo possibile così la luce sceglie il percorso più breve fra tutti i possibili.
Verifica del principio di Fermat
DATI ESERCIZIO

Lunghezza AC: 3 cm
Lunghezza BD: 4 cm
Distanza tra i punti CD: 7 cm
Velocità luce nell’aria: 3.00E+10 cm/s
Velocità luce nell’acqua: 2.26E+10 cm/s
TABELLA
CO
(cm)
AO
(cm)
OB
(cm)
AB
(cm)
Tempo 1
(s)
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Esempio