Formula di Blackman

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Testo

FORMULA DI BLACKMAN
Consideriamo il caso in cui ci interessi valutare l’impedenza che si osserva tra due morsetti di una rete. Per fare ciò posso applicare un generatore di tensione di prova e valutare la corrente che esso eroga oppure, in modo analogo, applicare un generatore di corrente di prova e valutare la tensione che si osserva ai suoi capi.
Supponiamo ora che il sistema con cui abbiamo a che fare sia un sistema reazionato. A seconda dei tipi di reazione posso assumere che la grandezza di ingresso sia una tensione e la grandezza di uscita una corrente, o viceversa, ma in ogni caos che si può analizzare, la funzione di trasferimento, per quanto visto prima avrà sempre la forma: .
Al denominatore comparirà sempre il guadagno d’anello.
Ora, a secondo delle grandezze scelte noi possiamo avere due tipi di funzioni:
I = f (V) oppure V = g (I)
Le due funzioni di trasferimento Xo/Xs , a seconda dei due casi prima esposti, avranno rispettivamente la dimensione di una resistenza e di una conduttanza, denominate:
Rif e 1/Rif
Dove la F sta per feedback.
Ovviamente i due valori sono legati dal fatto che uno non è altro che l’inverso dell’altro.
La formula di Blackman ci permette di calcolare la Rif nel seguente modo:
Vediamo come calcolare i vari termini nel caso dell’amplificatore di tensione:
La Rid, è la resistenza di sistema morto, ed è la resistenza che si osserva in ingresso quando si annulla il generatore pilotato, quindi nel nostro caso sarà:

Toc, vale Vi/Vi* quando tra i due morsetti c’è una circuito aperto (OC = OPEN CIRCUIT), equivale quindi a togliere il generatore Vs. In questo caso si vede che la Vi è nulla in quanto in Ri non circola corrente e quindi in questo circuito si ha:
Toc = 0
Tsc, vale Vi/Vi* quando tra i due morsetti vi è un cortocircuito (SC = SHORT CIRCUIT), bisogna quindi cortocircuitare Vs. SI ha quindi:
In definitiva, quindi si ha:
Sarei arrivato ad un analogo risultato facendo i conti utilizzando il generatore di prova.
ANALISI IN FREQUENZA DI AMPLIFICATORI REAZIONATI.
Quando si deve fare un progetto o valutare in prima approssiamzione cosa succede in un circuito , possono essere utili le formule ricavate in via generale per sistemi reazionati, e in particolare la formula che esprime il guadagno ad anello chiuso:
con G guadagno ad anello aperto e H reazione.
Questo approccio approssimato è particolarmente utile nell’analisi in frequenza di amplificatori reazionati.
Possiamo avere amplificatori a larga banda, cioè dotati sia di frequenza di taglio inferiore che di frequenza di taglio superiore o amplificatori operazionali che posseggono solo una frequenza di taglio superiore, a sua volta poi questi ultimi amplificatori possono avere uno o più poli che identificano la pendenza della curva dopo il taglio.
Iniziamo con l’analisi dell’amplificatore a larga banda.
AMPLIFICATORE A LARGA BANDA
La curva di risposta di un amplificatore a larga banda ha il seguente andamento:
Il guadagno G avrà la seguente forma:
Nella zona di guadagno piatto è come se nel circuito non ci fossero elementi reattivi, quindi non ha senso fare uno studio in frequenza in questa zona, possiamo invece analizzare cosa succede a basse e ad alte frequenze:
BASSE FREQUENZA: vediamo cosa succede applicando la reazione:
Come si vede da quanto scritto, la reazione fa si che: ad una diminuzione di guadagno, corrisponda una equivalente diminuzione della frequenza di taglio inferiore.
Ciò equivale a dire che il polo si sposta sempre più verso lo zero sul polo delle redici.
ALTE FREQUENZA: analogamente a prima ptteniamo:
Ancora, otteniamo che: diminuendo il guadagno si alza la frequanza di taglio superiore.
CONCLUSIONI: DIMINUENDO IL GUADAGNO SI AUMENTA LA BANDA PASSANTE.
Sul luogo delle radici ciò equivale ad uno spostamento delle radici verso gli zeri.
NOTA: La reazione sposta solo i poli e non gli zeri.
AMPLIFICATORE OPERAZIONALE
Consideriamo un amplificatore per continua con due poli, con la seguente curva di risposta:
Come prima andiamo a vedere cosa succede quando applichiamo una reazione:
Il sistema reazionato presenta ancora due poli, in generale questi due poli sono complessi coniugati.
Il denominatore dell’espressione trovata ha la seguente forma:
dove Q viene detto FATTORE DI MERITO e K FATTORE DI SMORZAMENTO.
Nel caso in cui K< o equivalentemente Q> la Gf presenta una massimo.
Consideriamo ora un caso particolare: studiamo la funzione quando il rapporta tra i due poli è pari al guadagno ad anello alle basse frequenze; cioè : .
Otteniamo la seguente espressione:
Se ipotizziamo che GoH >>1 allora possiamo scrivere:
Confrontando il denominatore di questa espressione con la forma generale prima riportata, si ottiene che in questo caso particolare; quindi il polo più alto ha la stessa pulsazione della frequenza di oscillazione non smorzata. Inoltre, si ha che Q=1 e quindi K=0.5, e allora per quanto detto la funzione presenta un massimo di dB=1,25 dB rispetto al guadagno a basse frequenze.
In generale, per un sistema del secondo ordine quale è questo possiamo riassumere le seguenti caratteristiche:
Se il rapporto > 4GoH ho due poli reali, per 2GoH

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