Sistemi di forze

Materie:	Riassunto
Categoria:	Costruzioni
Download:	535
Data:	26.06.2007
Numero di pagine:	7
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

Definizione di forza e rappresentazione vettoriale
Si intende per “forza” la causa che può modificare lo stato di quiete o di moto di un corpo.
Questa è la definizione di forza che ci viene fornita dalla Fisica. Si ricorderà inoltre la nota Legge di Newton che esprime la forza come prodotto della massa per l’accelerazione: . L’accelerazione è una grandezza vettoriale e quindi anche la forza può essere rappresentata con un vettore, di conseguenza ai sistemi di forze saranno applicabili tutte le operazioni e le proprietà dei sistemi di vettori.
Un vettore è rappresentato solitamente con una freccia più o meno allungata i cui elementi caratteristici sono la direzione, costituita dalla retta sulla quale giace il vettore, il verso, rappresentato con la punta della freccia e infine il modulo che è rappresentato dalla lunghezza freccia.
Il S.I. di unità di misure prevede di esprimere l’entità di un forza in Newton e di rappresentare tale misura con il simbolo N.
Nello stesso S.I. la massa si misura in Kg e l’accelerazione in (metri al secondo quadrato), quindi si definisce la Forza di 1 Newton quella forza che imprime ad una massa di 1 Kg l’accelerazione di 1.
Nel comune linguaggio, ma anche fino a pochi anni fa nel linguaggio tecnico, in Italia siamo abituati ad utilizzare come unità di misura delle forze il Kilogrammo forza (Kgf). Nel sistema tecnico italiano, per le norme vigenti non più applicabile, la forza di 1Kgf rappresenta la forza che si genera su una massa di 1Kg soggetta alla forza di gravità g.

Cioè una forza che nel sistema tecnico Italiano è pari a 1Kgf corrisponde nel S.I. ad una forza di 9,81N. Spesso per alcune grandezze le norme tecniche sulle costruzioni consentono di adottare in via approssimata un fattore di conversione tra Kgf e N pari a 10 ammettendo nella conversione un errore dell’ordine del 2%. Quindi in via approssimata la forza di 1Kgf=10N.
Nel corso di Costruzioni adotteremo sempre il S.I. e quindi esprimeremo le forze in N o in multipli e sottomultipli del Newton.
Nella tabella che segue sono rappresentati proprio i multipli ed i sottomultipli con i relativi simboli e fattori moltiplicativi. Una forza espressa con un multiplo o un sottomultiplo del Newton si scrive facendo seguire al numero la N preceduta dal simbolo di sottomultiplo o di multiplo. A titolo di esempio si fa notare che con l’approssimazione prima descritta, una forza di un 1Kgf nel sistema tecnico equivale ad una forza di 1 daN (decaNewton).
Multipli
Prefisso
Simbolo
Fattore moltiplicativo
deca
Da
etto
H
kilo
K
mega
M
giga
G
tera
T
peta
P
exa
E

Sottomultipli
Prefisso
Simbolo
Fattore moltiplicativo
deci
d
centi
c
milli
m
micro
µ
nano
n
pico
p
fento
f
atto
a

E’ utile ricordare che il S.I. prevede che l’unità di misura segua il numero senza l’aggiunta di punti.
Esempi:
1000 KN (si legge 1000 kiloNewton e corrispondono a 1000000 N)
100 daN (si legge 100 decaNewton e corrispondono a 1000 N)
100 dN (si legge 100 deciNewton e corrispondono a 10 N)
Per rappresentare graficamente una forza occorre adottare una scala grafica di rappresentazione. Se per esempio si adotta una scala grafica delle forze in cui 1 cm corrisponde a 1000 N, un vettore di lunghezza pari a 1,3 cm rappresenterà graficamente una forza di 1300 N, mentre nella stessa scala per rappresentare una forza di 2450 N occorrerà disegnare un vettore la cui lunghezza grafica è pari a cm. Un altro modo per definire la scala grafica consiste nel rappresentare graficamente il modulo di riferimento e la grandezza associata che corrisponde alla lunghezza di un modulo.

Nell’esempio rappresentato la lunghezza del modulo base corrisponde a 1500 N; si può verificare che la forza rappresentata ha un intensità pari 2250 N. Il vantaggio di questo tipo di rappresentazione di scala consiste nell’essere indipendente dall’unità di misura grafica delle lunghezze e quindi un grafico si fatto può essere riprodotto in qualsiasi scala grafica delle lunghezze senza la necessità di modificare la scala delle forze presa a riferimento.
Composizione di forze
Assegnate due forze, F1 giacente sulla retta r1 ed F2 sulla retta r2, la risultante R del sistema di forze può essere ottenuta con la “regola del parallelogramma”. Si prolunghino le rette r1 e r2 fino all’intersezione P e si traslino i vettori che rappresentano le due forze lungo le rispettive direzioni facendo in modo che queste escano dal punto P. Dall’estremo del vettore F1 si tracci un segmento parallelo a r2 e dall’estremo di F2 un segmento parallelo a r1 ottenendo così un parallelogramma. La diagonale del parallelogramma uscente da P rappresenterà in direzione, verso e modulo la risultante R dei vettori F1 e F2.
Un modo alternativo ma perfettamente equivalente per la ricerca della risultante si può ottenere ponendo la seconda forza F2 in modo che segua la forza F1. La risultante si ottiene in questo caso congiungendo il punto iniziale del vettore F1 con il punto finale del vettore F2.
La regola del parallelogramma individua in maniera univoca la risultante R, ma essendo applicabile a due forze per volta, risulta di non pratica applicazione quando i sistemi di forze sono costituiti da più forze.
Nel caso per esempio di tre forze coincidenti tutte in un punto, la ricerca della risultante con la regola del parallelogramma si ottiene determinando prima la risultante tra due delle tre forze e poi componendo questa con la terza forza ottenendo così la Risultante dell’intero sistema di forze.
Se le tre rette d’azione delle forze non si intersecano nello stesso punto, la costruzione grafica per la ricerca della risultante sfruttando la regola del parallelogramma, viene fatta sempre componendo la risultante delle prime due forze con la terza forza, ma questa seconda composizione avviene nel punto di intersezione tra le retta di giacenza della prima risultante con la retta di giacenza della terza forza.

Si può facilmente intuire che l’applicazione della regola del parallelogramma diviene ancora più laboriosa per i sistemi di forze costituiti da un maggior numero di forze. Per poter comporre sistemi costituiti da un maggior numero di forze risulta più conveniente costruire il poligono delle forze. Dato un sistema di forze, si costruisca un poligono lati sono ottenuti posizionando in sequenza, secondo la direzione e il verso di ogni forza, tutti i vettori che costituiscono il sistema di forze. Il vettore che si ottiene congiungendo il punto di partenza del primo vettore costituente il poligono e la punta dell’ultimo vettore, rappresenta la risultante del sistema di forze. Il poligono che abbiamo costruito viene detto poligono delle forze. Che il segmento 03 sia proprio la risultante del sistema costituito dalle tre forze si dimostra in modo facile considerando che il segmento 02 altro non è che la risultante tra le forze F1 e F2 e che il segmento 03 è la risultante tra 02 e F3. Il segmento 03 quindi rappresenta proprio la risultante del sistema di forze dato. Si noti che il poligono delle forze individua la risultante in modulo, verso e direzione, ma non ci individua la posizione delle retta d’azione della risultante. Per poter individuare la posizione della risultante occorre costruire sul sistema di forze anche il poligono funicolare.

Scelto sul poligono delle forze un polo P arbitrario, si uniscono quindi i punti 0, 1, 2, 3 con il polo P ottenendo i raggi proiettanti a, b, c, d. Si riporti ora alla sinistra di F1 un segmento arbitrario a’ parallelo al raggio proiettante a che intersecherà la retta sulla quale giace la forze F1. Da questa intersezione si procede col disegnare il segmento b’ parallelo a b fino ad intersecare la retta sulla quale giace F2, quindi dall’intersezione trovata si traccia il segmento c’ parallelo a c fino all’intersezione con la retta di F3. Per finire dall’ultima intersezione si traccia il segmento d’ parallelo a d. Il poligono costituito dai segmenti a’, b’, c’ e d’ è detto poligono funicolare. A questo punto per trovare la posizione della retta d’azione della risultante R, si prolungano il primo e l’ultimo lato del poligono funicolare trovando l’intersezione M. La retta parallela a R passante per il punto M intersezione del primo e ultimo lato del poligono funicolare è proprio la retta di azione di R.

La dimostrazione della validità della costruzione grafica è molto semplice. Dal poligono delle forze si evidenzia che la forza F1 può essere vista come la somma dei vettori 1P + P0; la forza F2 come la somma dei vettori 2P+P1; la forza F3 come la somma dei vettori 3P+P2. Si può quindi scrivere:
F1=P0 + 1P
F2= P1 + 2P
F3= P2 + 3P
Sommando membro a membro e tenendo conto la somma al primo membro altro non è che la Risultante R ed inoltre che il vettore P1 è uguale ed opposto a 1P così come anche uguali ed opposti sono i vettori 2P e P2, si ottiene:
R=P0 + 3P
In pratica con il poligono funicolare si sostituisce al sistema di forze F1, F2 ed F3 un sistema di forze equivalente in cui le forze giacciono sui lati del poligono a’, b’, c’ e d’. Sui lati b’ e c’ così facendo agiranno forze rispettivamente uguali e contrarie e quindi il sistema equivalente risulterà composto solo dalle forze P0 e 3P giacenti sui lati a’ e d’. La risultante R, uguale alla somma P0+3P, sarà applicata sull’intersezione di a’ con d’.
Si riporta ora un esempio applicativo basato su un sistema di 4 forze. Dato il sistema di forze si costruisce il poligono delle forze e quindi scelto il polo P si determinano i raggi proiettanti. Si costruisce quindi il poligono funicolare facendo attenzione alla corrispondenza tra le forze e i raggi relativi. Prolungando infine il primo e l’ultimo lato del poligono funicolare si definisce la posizione della risultante R.

Risultante di due forze parallele
Si consideri un sistema di due forze parallele e concordi. La risultante del sistema si ottiene ponendo le forze una dietro l’altra e sarà ovviamente anch’essa parallela alle due forze. Algebricamente il modulo della risultante è dato dalla somma dei moduli delle due forze. Per determinare la posizione della risultante si effettui la seguente costruzione grafica. Si riportino sulla retta di azione di F1 la forza F2 mentre sulla retta d’azione di F2 si riporta la Forza F1 con verso opposto. Si congiungono quindi con due segmenti la punta di F1 con la punta di F2 e la coda di F1 con la coda di F2. L’intersezione tra i due segmenti così costruiti individua la posizione della risultante R.
Posto che d1 sia la distanza della forza F1 dalla retta d’azione della risultante e che d2 sia invece la distanza di F2, considerando che i due triangoli di base F2 e F1 sono simili si può scrivere la
seguente relazione:

Dalla relazione appena ricavata si deduce che per F1>F2 sia ha d1