Cinematica

Materie:	Appunti
Categoria:	Meccanica
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Data:	18.11.2008
Numero di pagine:	8
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

CINEMATICA
Definizione:
La cinematica è quella branca della meccanica che studia il moto di un corpo trascurando le cause che lo hanno provocato.
Le cause che determinano il moto sono le forze. Quindi la cinematica non si occupa dello studio delle forze, ma analizza soltanto il modo in cui un corpo si muove.
Noi per semplicità considereremo un corpo come se fosse concentrato in un solo punto (per esempio il centro di massa) e studieremo il moto di quel punto.
Nella pratica un punto si può muovere…
lungo una retta
su di un piano
nello spazio
La cinematica studiando il moto di un punto in questi tre casi cerca di comprendere essenzialmente qual è la posizione, la velocità e l’accelerazione di un punto in ogni istante di tempo.

Definizioni:
Un punto materiale è in quiete quando occupa sempre la stessa posizione rispetto ad un altro punto considerato fermo (riferimento).
Un punto materiale è in moto quando occupa, al variare del tempo, posizioni diverse rispetto al sistema di riferimento.
Quindi non basta dire che un punto è in quiete o in moto, ma occorre specificare rispetto a quale riferimento. Un punto potrebbe essere in moto rispetto ad un riferimento ma in quiete rispetto ad un altro.
La figura seguente chiarisce il concetto.
Su di un treno che viaggia a 100Km/h sono seduti due passeggeri identificati dai punti O e P, un terzo individuo O’, fermo al suolo, guarda il treno passare.
Possiamo affermare che P è in moto con velocità 100 Km/h rispetto ad O’ e fermo rispetto ad O.
Se P si alza e inizia a camminare a 4 Km/h sempre nella direzione del moto del treno, la sua velocità rispetto ad O’ è 104 Km/h e 4Km/h rispetto ad O.
Adesso quindi P non è più in quiete nemmeno rispetto ad O.
A seconda del riferimento cambiano la posizione, la velocità e l’accelerazione, quindi occorre sempre tener conto del riferimento perché lo studio del moto del punto presuppone che si sia già stabilito a cosa riferirsi.
Definizione:
La traiettoria è la curva formata dall’insieme delle posizioni che il punto materiale occupa in tempi diversi.
Il significato di questa definizione si capisce dalla seguente figura in cui sono evidenziati alcuni punti (solo alcuni).

VELOCITÀ
La definizione di velocità media è data da una formula:

Questa formula afferma che per ottenere la velocità media dobbiamo dividere lo spazio, ∆s, percorso in un certo intervallo di tempo, per il valore dello stesso intervallo di tempo, ∆t.
Per esempio se sappiamo che una motocicletta alle 14.00 si trova in una città distante 10 Km da dove siamo noi e alle 15.00, dopo aver viaggiato per tutto il tempo, passa per una città distante 110Km, calcoliamo così la velocità media:
Da notare che l’unità di misura adottata è Km/h, che non appartiene al SI.
Per trasformare in m/s si deve dividere per 3,6.
In questo caso:
Vm=100Km/h=100/3,6 m/s= 27,78 m/s
Per passare da m/s a Km/h, al contrario, bisogna moltiplicare per 3,6.
Il concetto di velocità media non presuppone che il punto materiale si muova con velocità costante. Questa può variare continuamente nel tempo, ma con la formula presentata si calcola un valore medio, che tiene conto delle diverse velocità nei vari istanti.
Per esempio se sappiamo che una autovettura in un intervallo di tempo ∆t=1h percorre un tratto ∆s=120Km, viaggiando in alcuni tratti a 130Km/h, in altri a 100Km/h e in altri ancora a 110Km/h, non ci serve effettuare dei complicati calcoli per fare la media delle diverse velocità, ma è sufficiente calcolare
Se siamo a bordo della stessa automobile e invece della velocità media ci interessa quella istantanea, sappiamo che un’indicazione di questa velocità possiamo leggerla sul contachilometri.
Ma come si passa dal concetto di velocità media a quello di velocità istantanea?
Definizione di velocità istantanea:
(si legge: “limite per delta t che tende a zero di delta s fratto delta t”)
La formula significa che per calcolare la velocità che un punto materiale ha in un istante, occorre calcolare la velocità media in un istante piccolissimo.
Quanto piccolo?
∆t->0 (delta t che tende a zero) significa che si considera un intervallo di tempo che si avvicina sempre più a zero, cioè l’essere piccolo non ha limiti.
Quando si parla di “velocità”, comunemente di solito si intende “velocità media”.
La velocità è un vettore il cui modulo, che si calcola con la formula della velocità istantanea e nel SI si esprime in m/s, è un indicatore dell’entità dello spostamento del punto nel tempo.
Oltre al modulo, la direzione ci informa sull’orientamento dello spostamento, il verso ci dice da quale delle due parti il punto si muove e il punto di applicazione coincide con il punto stesso.
Il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria in ogni istante.
ACCELERAZIONE
Definizione di accelerazione media:
Questa definizione è simile a quella di velocità media, ma è una misura della variazione della velocità istantanea nel tempo e non dello spostamento.
Consideriamo l’esempio del test di accelerazione a cui sono sottoposte le autovetture.
Un Fiat Punto, partendo da ferma, raggiunge i 100Km/h in 14s. Calcolare l’accelerazione media.

Anche in questo caso, come per la velocità media, l’accelerazione istantanea può assumere valori diversi nei 14 secondi che la vettura impiega per arrivare a 100Km/h, ma alla fine la media è quella che è stata calcolata.
Per ottenere la media, anche qui, non è necessario effettuare laboriosi calcoli, per esempio sommare tanti contributi di velocità e poi dividere per il loro numero, ma più semplicemente è sufficiente conoscere le velocità iniziale e finale.
Per quanto riguarda, invece l’accelerazione istantanea ne facciamo esperienza diretta quando a bordo di un aereo o di una potente vettura siamo premuti contro il sedile perché questi stanno cambiando rapidamento la loro velocità.
Se si muovono velocemente, ma non variano la loro velocità l’accelerazione è nulla.
Per esempio a bordo di un aereo le accelerazione maggiori si registrano al decollo e in fase di atterraggio, mentre in volo, proprio quando la velocità è maggiore (circa 800÷900 Km/h), l’accelerazione è nulla e i passeggeri possono tranquillamente muoversi a bordo dell’aeromobile.
Definizione di accelerazione istantanea:
(si legge: “limite per delta t che tende a zero di delta v fratto delta t”)
Anche in questo caso come per la velocità istantanea, la formula significa che per calcolare la velocità l’accelerazione istantanea, si deve calcolare l’accelerazione media in un istante piccolissimo (senza un limite per essere piccolo).
Anche l’accelerazione, come la velocità è un vettore.
Ha due componenti, una parallela (a║) e una perpendicolare (a┴).
La prima è responsabile delle variazioni nel modulo della velocità ed è sempre tangente alla traiettoria in ogni punto, la seconda è responsabile di variazioni della direzione della velocità e pertanto ha l’effetto di curvare la traiettoria.
Questa seconda componente è sempre perpendicolare alla traiettoria.
Il modulo è quello definito dalla formula, il punto di applicazione coincide con il punto materiale stesso, la direzione e il verso dipendono invece dalla composizione di accelerazione parallela (a║) e perpendicolare (a┴).
MOTO RETTILINEO UNIFORME
Definizione:
Il moto di un punto materiale che segue una traiettoria rettilinea con velocità costante si chiama moto rettilineo uniforme.
Essendo la velocità istantanea costante (non varia nel tempo), questa coincide anche con la velocità media.
A partire da questa formula è possibile ricavare tre diagrammi, che rispondono al quesito iniziale: qual è la posizione occupata da un punto che si muove di moto rettilineo uniforme al variare del tempo? E la velocità? E l’accelerazione?
I diagrammi sono chiamati: spostamento-tempo (s-t), velocità-tempo (v-t) e accelerazione-tempo (a-t).
Come esempio di questi diagrammi si consideri il caso di un treno che si muove lungo dei binari, che supponiamo seguano una linea retta.
Alle ore 12.00 parte da un stazione a 50 Km di distanza da noi, che costituiamo il sistema di riferimento.
Dobbiamo tracciare il diagramma s-t, cioè un diagramma in cui ogni punto rappresenta la posizione del treno in un istante di tempo.
Dobbiamo tracciare una curva nel caso in cui la velocità con cui il treno, a partire dalle ore 12.00 (tempo), si allontana da noi sia 70Km/h, un’altra nel caso in cui questa sia 140Km/h, una nel caso in cui il treno dopo le 12.00 resti fermo ed una infine nel caso in cui il treno si avvicina a 70Km/h.
Dal grafico si nota come la pendenza delle rette sia maggiore quando la velocità è maggiore. Questo è ovvio perché è richiesta una percorrenza di spazi maggiori.
Inoltre se la velocità è nulla la retta è orizzontale, se è negativa, come nel caso in cui il treno si avvicina a noi la retta ha pendenza negativa.

A partire dal grafico s-t, anche senza possedere le informazioni che abbiamo sulle varie velocità, possiamo dedurre le curve riportate sul diagramma v-t.
Abbiamo riportato 4 rette orizzontali, poiché la velocità è costante.
Ognuna di queste rette la posiziono rispetto all’asse delle ascisse (asse x) ad una distanza proporzionale alla pendenza delle rette nel diagramma s-t.
La proporzionalità deriva dalla definizione v=vm=∆s/∆t, infatti ∆s/∆t non è altro che l’espressione di una pendenza che si può leggere sul grafico s-t.
Infine tracciamo il diagramma a-t per ognuna delle 4 rette.
Poiché la velocità è costante, l’accelerazione è zero nei 4 casi.
Questo grafico si ricava a partire dal diagramma v-t.
Le linee che sono state disegnate hanno un’espressione analitica, cioè un equazione che le rappresenta.
Le tre equazioni, una per la relazione s-t, una per v-t e una per a-t, sono chiamate equazioni del moto e assumono la forma seguente:
• s = v0t + s0
• v = v0
• a = 0
Si vede subito che sono le equazioni di tre rette del tipo y = ax + b.
Al posto di v0 si sostituisce il valore della velocità che è costante, al posto di s0 la posizione del punto materiale nell’istante iniziale rispetto al riferimento.
Bisogna prestare particolare attenzione affinché le unità di misura siano congrue.
Per esempio se le velocità sono espresse in km/h e i tempi in s, si possono trasformare i km/h in m/s moltiplicando per 3,6.
Nel nostro esempio se prendiamo il caso del treno che viaggia a 70 Km/h, esprimiamo tutto in Km e h (ore).
Abbiamo v0 = 70 Km/h e s0= 50 Km.
• s = 70t + 50 [Km]
• v = 70 [Km/h]
• a = 0
Le unità di misura sono congrue.
Se il moto è uniforme ma non rettilineo, cioè se se la traiettoria non è più una linea retta ma la velocità è costante, molte delle considerazioni sui diagrammi e sulle leggi del moto sono valide ma le velocità si riferiscono ai moduli che restano costanti e gli spostamenti si misurano lungo linee curve.

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Definizione:
Il moto di un punto materiale che segue una traiettoria rettilinea con accelerazione costante si chiama moto rettilineo uniformante accelerato.
L’accelerazione istantanea è costante nel tempo e coincide con l’accelerazione media.
Anche in questo caso possono ricavarsi i diagrammi spostamento-tempo (s-t), velocità-tempo (v-t) e accelerazione-tempo (a-t).
Partiamo dal diagramma s-t e consideriamo un punto che parte da fermo e aumenta la sua velocità con accelerazione costante.
Poiché, come abbiamo visto, la velocità sul diagramma s-t si legge come pendenza della curva, per un corpo che parte con velocità zero e poi aumenta sempre più la velocità ci aspettiamo che la curva abbia all’inizio pendenza nulla, ma questa aumenti sempre più con il passare del tempo.
Questo andamento si chiama “parabolico”.
Per mostrare il concetto riconsideriamo il caso del test di accelerazione su di una Fiat Punto e ipotizziamo che l’accelerazione sia costante nei 14 secondi che impiega per raggiungere i 100Km/h (anche se a rigore non è detto che sia così).
Il grafico s-t appare così:
Su questo diagramma si vede chiaramente come la pendenza all’inizio è nulla (velocità nulla) e poi aumenta con il tempo (velocità 100Km/h).
Anche adesso dal diagramma s-t è possibile dedurre quello v-t.
Leggiamo le pendenze sul diagramma s-t e le riportiamo sul diagramma v-t sotto forma di velocità.
La velocità all’inizio è zero (pendenza nulla), poi aumenta sempre più secondo una retta.
Il grafico a-t presenta una accelerazione costante, quindi ci aspettiamo una linea retta orizzontale.
Ai tre diagrammi visti corrispondono tre equazioni del moto che assumono la forma seguente:
• s = ½ a0 t2 + v0 t + s0
• v = a0t + v0
• a = a0
Dove v0 e s0 sono la velocità e la posizione nell’istante iniziale, a0 è l’accelerazione costante.
Nel nostro esempio v0 = 0 s0 = 0 e a0= ∆v/∆t = 25,71 m/s2.
Nel ricavare le equazioni del moto bisogna prestare molta attenzione, oltre alle unità di misura come già sottolineato, anche ai segni.
Se la velocità o la posizione iniziale sono negative occorre considerare il segno negativo. Se l’accelerazione è una decelerazione il segno è negativo.