Matematica

Materie:	Tesina
Categoria:	Matematica
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Data:	23.05.2008
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Funzioni marginali ed elasticità
Data una funzione f (x1, x2, ..., xn) definita in un sottoinsieme di Rn e ivi differenziabile, si dice funzione marginale rispetto alla variabile x1, la derivata parziale prima di f rispetto a x1.
Data una funzione z = f (x1, x2, ..., xn) definita in un sottoinsieme di Rn, si dice grado di elasticità parziale di z rispetto alla variabile x1, e indica con εzn, il rapporto che si viene a creare.

Il grado di elasticità parziale rispetto a x1, esprime la sensibilità di f nei confronti di una variazione infinitesima della variabile x1, supponendo che si mantengano costanti tutte le altre variabili.
➢ Se |ε| > 1 la domanda è elastica;
➢ Se |ε| < 1 la domanda è rigida;
➢ Se |ε| = 1 la domanda è unitaria.
Sia dunque d = (p1, p2, C) una funzione di domanda che dipende dal prezzo p1 del bene, dal prezzo p2 di un altro bene e dal reddito C del consumatore. Si chiama elasticità incrociata di d rispetto a p2 il grado di elasticità parziale di d rispetto a p2.
Valutando l'elasticità incrociata si possono presentare i seguenti casi:
* εdp2 > 0 significa che un aumento del prezzo del secondo bene provoca un aumento della domanda del primo, ovvero le richieste del consumatore traslano sul primo bene. I due beni si dicono succedanei. Esempio di beni succedanei è il burro con la margarina, l'olio d'oliva con quello di semi...
* εdp2 < 0 significa che un aumento del prezzo del secondo bene provoca una diminuzione della domanda del primo, in questo caso i due beni si dicono complementari.
Esempio di beni complementari è il trasporto su strada e il carburante perché un aumento del carburante fa diminuire i trasporti su strada...
* εdp2 = 0 significa che un qualsiasi aumento del prezzo del secondo bene non influenza direttamente il prezzo del primo; in questo caso non esiste alcuna relazione.
Esempio di beni non correlati può essere una bistecca con una telecamera...
La funzione di utilità
Consumatore è qualunque individuo che acquista dei beni per destinarli al proprio consumo.
Paniere di consumo è l'insieme dei beni che il consumatore acquista per il proprio sostentamento.
I beni in questione saranno denominati X e Y e il relativo paniere di consumo sarà costituito dalla coppia ordinata (x, y) in cui x rappresenta la quantità del bene X e y la quantità del bene Y, quindi supporremo che il paniere sia con x ≥ 0 e y≥ 0.
Dati due panieri fra quelli di consumo di due beni, il consumatore può preferire il primo al secondo oppure essergli indifferente preferire il secondo al primo.
La preferenza del consumatore nei confronti di due panieri viene espressa mediante il simbolo≻, mentre per indicare l'indifferenza si utilizza il simbolo ∼, così che:
* (x1, y1) ≻ (x2, y2) per indicare la preferenza del paniere (x1, y1) al paniere (x2, y2);
* (x1, y1) ∼ (x2, y2) per indicare che sia il paniere (x1, y1) che (x2, y2) sono indifferenti al consumatore.
Inoltre data una qualsiasi costante λ non negativa, assumeremo che λ (x, y)=(λx, λy).
Nell'insieme dei panieri di consumo dei due beni X e Y si possono verificare i seguenti assiomi:
* Riflessività: (x, y) ≽ (x, y)
Ogni paniere di consumo è desiderato almeno quanto se stesso.
* Completezza:
Per il consumatore è sempre possibili confrontare due panieri di consumo, ossia dati (x1, y1) e (x2, y2), o il consumatore preferisce (x1, y1) a (x2, y2), o preferisce (x2, y2) a (x1, y1), oppure gli sono indifferenti.
Si verifica quindi una sola delle tre relazioni:
(x1, y1) ≻ (x2, y2) (x2, y2) ≻ (x1, y1) (x1, y1) ∼ (x2, y2)
* Transitività:
Dati tre panieri di consumo (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) se (x1, y1)≻ (x2, y2) e (x2, y2) ≻(x3, y3) allora anche (x1, y1) ≻(x3, y3).
* Continuità:
Dati due panieri di consumo (x1, y1) e (x2, y2), se (x1, y1) ≻ (x2, y2), allora qualunque paniere sufficientemente similare a (x1, y1) è preferito a (x2, y2).
* Non sazietà:
Dati sue panieri di consumo (x, y1) e (x, y2), cioè due panieri in cui la quantità del bene X è la stessa, se si verifica che y1 > y2 allora (x1, y1)≺(x2, y2). Stessa situazione la si ha quando la stessa quantità del bene Y se x1 > x2 allora (x1, y) ≻ (x2, y).

* Stretta convessità:
Dati tre panieri di consumo (x1, y1), (x2, y2),( x3, y3), se (x1, y1)≽(x3, y3) e anche (x2, y2)≽(x3, y3), allora λ (x1, y1) + (1- λ) (x2, y2)≽(x3, y3) per ogni λ compreso tra 0 e 1.
Da quest'ultimo assioma tra due panieri indifferenti, il consumatore ne preferisce un terzo composto da una combinazione intermedia dei due beni.
I primi quattro assiomi ci assicurano la possibilità di rappresentare la preferenza del consumatore mediante una funzione definita nell'insieme dei panieri di consumo e avente come codominio l'insieme dei numeri reali positivi; tale funzione prende il nome di funzione di utilità e viene indicata con il simbolo U (x, y).
Quindi tramite la funzione di utilità noi siamo in grado di capire la preferenza del consumatore verso il paniere (x, y).
Con la funzione utilità si verifica:
⇒ (x1, y1) ≻ (x2, y2) U (x1, y1) > U (x2, y2)
Vale a dire che se un paniere è preferito ad un altro, il valore assunto dalla funzione utilità nel primo paniere è maggiore di quello assunto nel secondo e viceversa;
⇒ (x1, y1)∼ (x2, y2) U (x1, y1) = (x2, y2)
Vale a dire che se due panieri sono indifferenti per il consumatore, la loro funzione di utilità è la stessa.
Osservazioni circa la funzione di utilità:
• Una funzione di utilità rende possibile valutare la preferenza del consumatore per un paniere rispetto ad un altro, anche se non viene spiegata il perché di tale preferenza o come essa si sia venuta a determinare;
• Il nome di utilità dato dalla funzione si è creato in seguito al desiderio da parte del consumatore di acquistare una certa combinazione di prodotti e tale desiderio dimostra che i beni sono utili, rappresentano una necessità per il consumatore stesso;
• Si suppone che la funzione di utilità sia continua e dotata di derivate parziali prime e seconde anch'esse continue;
• Le derivate prime della funzione di utilità rispetto a x e rispetto a y sono le funzioni di utilità di ciascun bene ed esprimono la variazione dell'utilità in relazione a variazioni infinitesime delle quantità x e y;
• Per le funzioni di utilità marginale vale il principio dell'utilità marginale decrescente , ossia che l'utilità marginale di un bene decresce quanto maggiore è la quantità che di quel bene viene consumata.
Per esempio se una persone è assetata, il primo bicchiere d'acqua avrà un gradimento molto elevato, il secondo avrà un gradimento minore del primo, il terzo ancora minore...
Le curve di indifferenza
Tra due panieri presentati il consumatore può decretarli indifferenti.
Ciascuno di questi panieri darà luogo allo stesso valore per la funzione di utilità; indicando con k tale valore, i panieri fra loro indifferenti sono quelli che soddisfano la relazione:
U (x, y) = k
ovvero sono i punti delle linee di livello della funzione di utilità. A tali linee di livello si darà il nome di curve di indifferenza.
Le curve di indifferenza vennero utilizzate per la prima volta dall'economista inglese Francis Ysidoro Edgeworth, docente di economia politica all'università di Oxford.
Nella funzione utilità al crescere di k le curve di indifferenza si allontano dall'origine del sistema di riferimento e non si intersecano mai. Ogni curva di indifferenza divide il quadrante in due parti, quella concava, più vicina all'origine darà al consumatore un soddisfacimento minore, mentre quella convessa, più esterna, più lontana dall'origine, darà un soddisfacimento maggiore rispetto ai panieri della curva considerata.
L'insieme di tutte le curve di indifferenza relative ad una funzione di utilità si dice mappa di indifferenza.
La curva di indifferenza è un'insieme di panieri aventi una relazione di indifferenza per il consumatore. Vediamo la sua rappresentazione grafica:

Sugli assi del diagramma cartesiano sono misurate le quantità dei due beni, mentre i diversi panieri in grado di fornire il medesimo livello di utilità costruiscono la curva di indifferenza.
Esempio. Il paniere A ed il paniere B nella figura sono esattamente indifferenti per il consumatore, ovvero forniscono la medesima utilità.
La curva di indifferenza si riferisce ad un dato livello di utilità, possiamo quindi costruire una curva di indifferenza per ogni valore della funzione di utilità. In tal modo si individua la famiglia delle curve di indifferenza.

La curva di indifferenza più esterna fornisce una maggiore utilità rispetto alle precedente poiché, a parità di condizioni, è compatibile con maggiori combinazioni quantitative dei due beni.
Esempio: dati 10 quantità del primo bene (vedi figura nell'asse delle ordinate) la terza curva di indifferenza è compatibile con 15 quantità del bene 2 rispetto alle 5 quantità della prima curva e alle 10 della seconda.
Il saggio o tasso marginale di sostituzione è la quantità di bene a cui si è disposti a rinunciare per ottenere una unità aggiuntiva di un altro bene mantenendo costante l'utilità. Ad esempio, il tasso marginale di sostituzione tra il bene x e il bene y è la quantità di y cui una persona è disposta a rinunciare per ottenere un'unità in più di x.

Le curve di indifferenza di una funzione di utilità U hanno le seguenti caratteristiche:
• Sono funzioni decrescenti e quindi hanno una pendenza negativa in ogni punto;
• Hanno concavità rivolta verso l'alto;
• Non si intersecano mai;
• A curve di indifferenza più alte corrispondono livelli di soddisfazione più elevati.
Le forme che una curva di indifferenza può assumere sono essenzialmente tre:
* La curva di indifferenza è costituita da 1 retta, e questo sta a significare che il consumatore sostituisce i beni sempre nella stessa proporzione. In questo caso si parla di beni sostituti perfetti e si verifica che il saggio marginale di sostituzione è costante. Esempio di beni sostituti perfetti sono 3 bistecche sostituite da 6 uova.
* Il consumatore per essere soddisfatto deve avere una quantità minimale non nulla di ciascuno dei due beni rappresentata dal punto d'angolo della curva di indifferenza. Si parla di beni complementari perfetti, lungo il ramo orizzontale della curva si ha che SMS è nullo, mentre è infinito lungo il ramo verticale. Esempio di beni complementari perfetti sono 2 uova e 360 g di farina necessari per fare una torta, mentre se il consumatore possedesse 30 uova ma con lo stesso quantitativo iniziale di farina, farebbe in tutti i casi sempre una torta.
* Il consumatore ha lo stesso livello di soddisfazione quando all'aumentare della quantità del primo bene quella del secondo diminuisce senza però farlo in maniera proporzionale. Si parla si beni sostituti imperfetti.

Il vincolo di bilancio
Un consumatore acquista dei beni per rendere il più grande possibile il suo grado di soddisfacimento dovevo inoltre rispettare il parametro del reddito C e se px e py sono i prezzi dei beni x e y, l'insieme dei panieri (x, y) che danno soddisfacimento al consumatore è tale da soddisfare la relazione
px ∙ x + py ∙ y ≤ C con x, y ≥ 0
cioè l'insieme dei punti del triangolo individuato dalla retta
px ‧ x + py ‧ y = C e dagli assi cartesiani.
La relazione px ‧ x + py ‧ y = C si dice vincolo d bilancio.
Se il reddito del consumatore aumenta, la retta del vincolo di bilancio subisce una traslazione verso l'alto; se sono i prezzi dei due beni a subire variazioni, la retta del vincolo cambia la sua inclinazione rispetto all'asse x. Ogni linea che esprime il vincolo di bilancio si chiama isospesa.
Ciò che il consumatore deve prefiggersi è trovare il massimo assoluto della sua funzione di utilità con un vincolo di bilancio rappresentato da una retta.
Il consumatore può decidere di acquistare il paniere che gli permette di raggiungere il più alto livello di utilità compatibile con il suo vincolo di bilancio.
Il punto di massimo si deve trovare nel punto di tangenza delle curve di indifferenza con la retta del vincolo di bilancio.