Le operazioni di prestito

Materie:Appunti
Categoria:Matematica

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Testo

Matematica finanziaria
Classe V ITC
Dispensa n° 4
Le operazioni di prestito e quelle di sconto sono le più semplici operazioni di scambio finanziario:
• Un’operazione di prestito non è altro che uno scambio fra il capitale C e il montante M: si cede C in cambio di M alla scadenza del prestito;
• Un’operazione di sconto non è altro che uno scambio fra il capitale C e il valore scontato V: si cede C, esigibile dopo un certo tempo, in cambio di V.
Perché lo scambio avvenga i capitali scambiati debbono essere giudicati equivalenti dal punto di vista finanziario. In sostanza:
• Per scambiare C contro M bisogna ritenere indifferente disporre di C oppure di M dopo un certo tempo;
• Per scambiare V contro C bisogna ritenere indifferente disporre di V al posto di C dopo un certo tempo.
Per chiarire questo concetto è sufficiente esaminare l’esempio seguente:
Per dare una risposta a questa domanda è necessario procedere a un confronto tra i due capitali, i quali non sono direttamente confrontabili in quanto riferiti ad epoche diverse. Perché si possa confrontarli è necessario riferirli alla stessa epoca. Per rendere possibile il confronto assumiamo come epoca di riferimento il tempo 5 e trasferiamo il capitale di 800€ in avanti di 5 anni. Bisogna calcolare il montante di questo capitale e quindi decidere il regime finanziario e il tasso di interesse da utilizzare.
Se decidiamo di usare il regime dell’interesse composto annuo al tasso dell’8% si tratta di fare un confronto tra:
800 (1,08)5 e 1175,46
si trova 1175,46 e 1175,46
Poiché i due capitali coincidono, si può desumere che, utilizzando il regime dell’interesse composto annuo, il tasso dell’8% e utilizzando come epoca di riferimento il tempo 5, i due capitali sono finanziariamente equivalenti.
Se prendiamo come epoca di riferimento il tempo 5 e calcoliamo il montante a interesse composto annuo a un tasso diverso dall’8% l’equivalenza finanziaria non sussiste più.
Se prendiamo come epoca di riferimento il tempo zero non dobbiamo calcolare il montante di 800€ ma il valore attuale del capitale di 1175,46€. In questo caso, se calcoliamo il valore attuale con sconto composto al tasso dell’8% troviamo:
1175,46 (1,08)-5 = 800

e quindi diciamo che i due capitali sono finanziariamente equivalenti. Se usiamo un tasso diverso l’equivalenza non sussiste più.
Il trasferimento in avanti, o indietro, può anche essere fatto usando il regime dell’interesse semplice, o dello sconto commerciale.
Per decidere se due capitali sono equivalenti in senso finanziario occorre:
1. fissare un’epoca;
2. trasferire i capitali all’epoca di riferimento la qual cosa può richiedere il calcolo di montanti, oppure di valori scontati o, anche, di montanti e di valori scontati al contempo;
3. confrontare i valori ottenuti.
Dati un insieme A e un insieme B di capitali si dice che essi sono equivalenti a un’epoca stabilita se il valore dell’insieme A e quello dell’insieme B, calcolati a quell’epoca, sono uguali.

La scelta dell’epoca di riferimento, che può essere scelta liberamente, solitamente dipende dal tipo di obiettivo e di accordo finanziario che si vuole raggiungere. Supponiamo che una persona abbia diritto a ricevere la somma C1 al tempo 5 e la somma C2 al tempo 10. se chiede di avere, in cambio, la somma unica C al tempo 12 è chiaro che, per determinare la somma unica c, si farà riferimento al tempo 12. La somma C verrà determinata in modo che chi deve pagare trovi indifferente dal punto di vista finanziario pagare C1 al tempo 5 e C2 al tempo 10 oppure C al tempo 12.
Per la scelta delle leggi di valutazione non esiste nessun vincolo, anche se, in concreto, vigono consuetudini ben precise:
1. si fa uso dell’interesse semplice e dello sconto commerciale quando le scadenze cadono in un breve arco di tempo;
2. si usa l’interesse composto e lo sconto composto quando le scadenze cadono in un arco di tempo non breve.
Quando si usa l’interesse e lo sconto composto viene applicato lo stesso tasso di interesse e in questo caso l’equivalenza finanziaria risulta indipendente dall’epoca di riferimento.
Ciò vuol dire che se due insiemi sono equivalenti ad una data epoca lo sono a qualsiasi epoca venga presa in esame.
L’indipendenza dall’epoca di valutazione non esiste nel caso di interesse semplice e sconto commerciale.
Mentre per le operazioni di prestito è possibile una interpretazione in termini dinamici, per le operazioni di sconto è possibile soltanto una interpretazione in termini statici. La cosa dipende dal fatto che mentre le operazioni si prestito durano e si evolvono nel tempo, le operazioni di sconto non hanno durata. Volendo possiamo dire che mentre le operazioni di prestito hanno effetti che si distribuiscono nel tempo le operazioni di sconto hanno effetti istantanei.
Quando si parla di montante a interesse composto si fa distinzione a seconda che la capitalizzazione sia annua o frazionata. Ciò non è possibile nel caso dello sconto composto: si parla di sconto composto ricollegando questo al solo interesse composto annuo e non si può parlare di uno sconto composto frazionato.
L’ipotesi di variazione di tasso che presenta notevole importanza concreta nel caso delle operazioni di prestito non presenta importanza alcuna nel caso delle operazioni di sconto. Nel caso delle operazioni di sconto l’ipotesi di variazione di tasso è priva di qualsiasi fondamento logico. Non ha senso pensare a un’operazione di sconto a tasso variabile dato che l’operazione di sconto non ha durata e si esaurisce istantaneamente.
Lo sconto composto gode della proprietà della scindibilità. In questo caso la proprietà ha significato puramente algebrico ma non finanziario.
Si parla di trasferimento di un capitale nel tempo per indicare il fatto che la sua disponibilità viene spostata da un’epoca all’altra. È naturale dedurre che se un capitale viene trasferito nel tempo muta il valore che gli viene attribuito.
Il concetto di trasferimento di un capitale nel tempo presenta due aspetti a seconda che si tratti di trasferimento in avanti oppure di trasferimento all’indietro.
Trasferimento in avanti
Con l’operazione di prestito si ha lo scambio fra la situazione economico finanziaria caratterizzata dalla disponibilità della somma C al tempo zero e la situazione economico finanziaria caratterizzata dalla disponibilità del montante M al tempo t.
Il capitale viene trasferito nel tempo da zero a t e il suo valore diventa M (maggiore di C); si parla di trasferimento in avanti nel tempo. Il trasferimento in avanti può essere visto, più in generale come trasferimento da un’epoca qualsiasi, diversa da zero, a un’epoca più lontana.
Trasferimento all’indietro
Con l’operazione di sconto si ha lo scambio fra la situazione economico finanziaria caratterizzata dalla disponibilità della somma C al tempo t e la situazione economico finanziaria caratterizzata dalla disponibilità del montante V al tempo zero.
Il capitale viene trasferito nel tempo da t a zero e il suo valore diventa V (minore di C); si parla di trasferimento all’indietro nel tempo. Il trasferimento all’indietro può essere visto, più in generale come trasferimento da un’epoca qualsiasi più vicina, diversa da zero.
Si parla di valore scontato quando un capitale viene trasferito da un’epoca a una più vicina ma diversa da zero. Si parla di valore attuale quando un capitale viene trasferito da un’epoca al tempo zero.
In ogni caso possiamo dire che il trasferimento all’indietro di un capitale comporta il calcolo di un valore scontato, o di un valore attuale.
In matematica finanziaria si parla frequentemente di valutazione di un capitale a una certa epoca. Il concetto è strettamente connesso a quello di trasferimento di un capitale nel tempo.
Fino ad ora abbiamo considerato situazioni molto semplici caratterizzate dalla presenza di un solo capitale. Nel caso di situazioni più complesse, caratterizzate dalla presenza di più capitali, il modello utilizzato più ricorrente è quello che porta alla considerazione di una rendita.
Per esempio:
• Costituisce una rendita una sequenza di crediti ciascuno dei quali è esigibile a una determinata scadenza;
• Costituisce una rendita la sequenza degli incassi che una persona realizza a titolo di riscossione interessi in conseguenza dello stacco delle cedole di un’obbligazione;
• Costituisce una rendita la sequenza degli incassi che il proprietario di un appartamento realizza in seguito alla locazione dello stesso.
Così come accade per un singolo capitale anche per le rendite sorgono problemi di valutazione. A questo proposito occorre distinguere tre casi a seconda che la valutazione venga fatta ad un’epoca:
• Anteriore a tutte le scadenze o coincidente con la scadenza della prima rata;
• Posteriore a tutte le scadenze o coincidente con la scadenza dell’ultima rata;
• Compresa tra la scadenza della prima e quella dell’ultima rata.
Nel primo caso la rendita viene valutata al tempo zero, di conseguenza ciascuna rata deve essere trasferita all’indietro e al tempo zero. In sostanza, di ciascuna rata occorre calcolare il valore al tempo zero, cioè il valore attuale. Quindi, per ottenere il valore della rendita in zero, cioè il suo valore attuale, bisogna fare la somma dei valori attuali delle singole rate.
Il valore di una rendita a un’epoca anteriore a tutte le scadenze o coincidente con la scadenza della prima rata è uguale alla somma dei valori che si ottengono scontando le singole rate all’epoca di valutazione.
Nel secondo caso (valutazione posteriore a tutte le scadenze) ciascuna rata deve essere trasferita in avanti nel tempo. Di ciascuna rata occorre calcolare il montante alla scadenza. Quindi, per ottenere il valore della rendita alla scadenza, occorre fare la somma dei montanti delle singole rate.
Il valore di una rendita a un’epoca posteriore a tutte le scadenze o coincidente con la scadenza dell’ultima rata è uguale alla somma dei montanti delle singole rate calcolati all’epoca di valutazione.
Nel terzo caso (valutazione compresa tra la scadenza della prima e quella dell’ultima rata), le rate che scadono prima del momento di valutazione devono essere trasferite in avanti e quelle che scadono dopo devono essere trasferite all’indietro.
Il valore di una rendita a un’epoca compresa tra la scadenza della prima e quella dell’ultima rata è uguale alla somma dei montanti delle rate che scadono prima e dei valori scontati delle rate che scadono dopo.
In generale si fa uso di interesse composto e sconto composto nella valutazione che hanno lunga durata mentre si fa uso di interesse semplice e sconto commerciale nel caso di valutazione di rendita che hanno durata breve. In ogni caso, quando l’epoca di valutazione è compresa tra la scadenza della prima rata e quella dell’ultima si segue il criterio seguente:
• Se i montanti vengono calcolati a interesse semplice i valori scontati vengono calcolati con sconto commerciale;
• Se i montanti vengono calcolati a interesse composto i valori scontati vengono calcolati con sconto composto. In questo caso il tasso per il calcolo dei montanti può essere diverso da quello usato per il calcolo dei valori scontati. Solitamente, però, il tasso è uguale.
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