Interpolazione lineare

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	10.07.2007
Numero di pagine:	2
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

L’interpolazione è un procedimento secondo cui si determinano i dati mancanti di una rilevazione matematica, ad esempio quando si vuole vedere l’andamento della popolazione di un paese si fa il censimento, se si vuole invece valutare la popolazione sempre di quel paese in un anno compreso tra due censimenti si ricorre all’interpolazione.
Ci sono due tipi di interpolazione:
- per punti noti (consiste nella ricerca di una funzione il cui grafico serve per determinare i dati mancanti e il grafico deve passare per i punti rilevati);
- fra punti noti (consiste nel determinare una funzione che ha per grafico un diagramma di dispersione).

Data una serie di coppie di punti (x1,y1), (x2,y2), .... innanzitutto si devono rappresentare in un grafico, chiamato diagramma di dispersione. Questo è una rappresentazione grafica degli n punti che sono forniti dalle coppie date; dopo questo bisogna determinare la retta interpolante ovvero la funzione che approssima i punti relativi. Per determinare la retta ci sono due fasi da seguire:
1. scegliere la funzione più adatta ad esprimere la relazione tra x e y;
2. determinare i parametri della funzione.

Per la prima fase, ovvero quella di scegliere la funzione più adatta, occorre prima tracciare il diagramma di dispersione e vedere l’andamento del fenomeno, se si tratta di una funzione lineare, esponenziale, quadratica...

Per la seconda fase invece il metodo per determinare una funzione è quello dei minimi quadrati che si basa sulla ricerca del valore minimo rispetto alla funzione data.

La funzione interpolante sarà data da una curva irregolare o da una retta e possiamo distinguere la yi e la yi; la yi equivale ai valori che si trovano sulla retta in corrispondenza delle yi rilevate e la differenza tra la y e la y è detta scostamento. Se la y e la y si trovano sulla stessa retta allora non ci sarà nessuno scostamento.

Per ottenere un valore più preciso dello scarto si minimizzano i quadrati degli scarti con (simbolo sommatoria) (yi – yi)2. Questa condizione è detta condizione di scostamento e si può scrivere anche

Fi = [yi – f (x1; a, b, ... k)]2

yi
Per calcolare i minimi della funzione Fi dobbiamo annullare le derivate parziali di ogni variabile; dopo aver trovato la funzione approssimatrice si procede a determinare gli scostamenti con i cosiddetti indici di scostamento.
Nel caso della funzione lineare la funzione è data da y = a + bx. Dopo aver tracciato il grafico si calcolano i valori della a e della b e si ricava la y e compilando una apposita tabella si possono ricavare tutti i risultati utili da poter sostituire nelle formule degli indici per determinare gli scostamenti.