Integrali: definizioni sintetiche di matematica

Materie:Riassunto
Categoria:Matematica

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Testo

PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE. Una funzione F(x) si dice primitiva di una funzione f(x), continua e definita nell’intervallo [a;b], se F(x) risulta derivabile in tutto l’intervallo e la sua derivata coincide con f(x). La funzione f(x) viene detta funzione integrabile. Se una funzione f(x) ammette una primitiva F(x), allora ammette infinite primitive del tipo F(x) + c, con c numero reale qualunque. INTEGRALE INDEFINITO. Si chiama integrale indefinito della funzione f(x), e si indica con ∫f(x) dx, l’insieme di tutte le primitive F(x) + c di f(x), con c numero reale qualunque. La primitiva F(x) che si ottiene per c=0 si chiama primitiva fondamentale. Nella formula ∫f(x) dx, la funzione f(x) è detta funzione integrando e la variabile x variabile di integrazione. L’integrazione indefinita agisce come l’inverso della derivazione. INTEGRALE DEL PRODOTTO DI UNA COSTANTE PER UNA FUNZIONE CONTINUA. L’integrale del prodotto di una costante per una funzione continua è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione. ∫k f(x) dx = k ∫f(x) dx. INTEGRALE DELLA SOMMA DI FUNZIONI CONTINUE. L’integrale di una somma di funzioni continue è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni. ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx. L’INTEGRALE PER SOSTITUZIONE. Si può cercare di utilizzare il metodo di sostituzione nel calcolo di un integrale, quando la funzione integranda è una funzione composta f(g(x)). Si procede nel seguente modo: 1) si pone t = g(x); 2) si calcola il differenziale di t, ossia dt = g’(x) dx; 3) si esegue la sostituzione nell’integrale di partenza, ottenendo un integrale nella variabile t; 4) si trovano le primitive F(x) + c; 5) si sostituisce nella primitiva F(t) la funzione g(x), ottenendo F(g(x)) + c. L’INTEGRAZIONE PER PARTI. La formula di integrazione per parti è la seguente: ∫f(x)g’(x) dx = f(x) g(x) – ∫f’(x) g(x). Si ricava dalla regola di derivazione del prodotto di due funzioni f(x) g(x). D(f(x) g(x)) = f’(x) g(x) + f(x) g’(x). Integriamo entrambi i membri ∫D(f(x) g(x)) dx = ∫f’(x) g(x) dx + ∫f(x) g’(x) dx, f(x) g(x) = ∫f’(x) g(x) dx + ∫f(x) g’(x) dx. Portiamo al primo membro ∫f’(x) g(x) dx: f(x) g(x) - ∫f’(x) g(x) dx = ∫f(x) g’(x) dx e scriviamo l’uguaglianza da destra a sinistra, ottenendo ∫f(x) g’(x) dx = f(x) g(x) – ∫f’(x) g(x) dx. Per applicare la formula di integrazione per parti occorre tenere presente tre problemi: 1)scegliere fra le due funzioni quella da utilizzare come g’(x); 2) determinare ∫f’(x) g(x) dx; 3) fare in modo che l’integrale ∫f’(x) g(x) dx sia facilmente calcolabile.

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