Integrali ed equazioni differenziali

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Testo

Matematica
CLASSE 5A A/CH
A.S. 2008/2009
Differenziale di una funzione
Il differenziale di una funzione y = f(X) in un punto in cui la funzione è derivabile è il prodotto tra la derivata alla funzione stessa in quel punto e l’incremento della variabile indipendente
si usa nella risoluzione delle funzioni differenziali
Integrali
• Indefiniti
- Definizione:
Data una funzione y = f(x) continua si dice integrale indefinito della funzione data la totalità delle sue primitive, ovvero la famiglia di funzioni (differenti per una costante K) che hanno come derivata la funzione stessa.
- Proprietà:
L’integrale della somma di due funzioni nella stessa variabile è uguale alla somma delle integrali delle due funzioni
Una costante moltiplicativa può sempre essere portata dentro o fuori dall’integrale
L’operazione di integrale è quindi lineare e le due proprietà sopra descritte valgono anche insieme
- Risoluzione:
Integrali immediati
Integrazione immediata di funzioni composte

Metodo della scomposizione
Quando è possibile si scompone un’unica funzione nella somma di funzioni integrabili con le formule relative alla funzione data
Metodo dell’integrazione per parti
Schema riassuntivo dell’integrazione di funzioni razionali fratte
grado N(X) > grado D(X) →
∆ > 0 →

N(X) di grado 1 o 0 ∆ = 0

∆ < 0 →
• Definiti
- Definizione:
y = f(X) continua in [a ; b]
ST = ?
y = f(X) continua in [a ; b] m , M; ∆x

sn = ∆xm1 + ∆xm2 + ... = =
Sn = ∆xM1 + ∆xM2 + ... = =
Data una funzione f(X) continua in [a ; b] , si chiama integrale definito il valore comune del limite per n → + ∞ della sn e della Sn.
Le successioni delle somme integrali inferiori e superiori relative a una funzione f(X) continua nell’intervallo chiuso e limitato [a ; b] sono convergenti e ammettono per n → + ∞ lo stesso limite finito.
Questo limite finito si chiama integrale definito di f(X) in [a; b] e si indica come ; L’integrale definito avrà come risultato sempre un numero. In particolare:
• f(X) > 0 → = S (>0) = SABCD
• f(X) < 0 → = S ( 0)
y = f(X) continua in [a ; b] m , M → RABED < TABCD < RABCF →
→(b-a) ∙ m < < (b-a) ∙ M → f(C) per Darboux →

f(C) = valore medio della funzione →
Geometricamente il teorema della media dice che l’area del trapezoide è equivalente a quella di un rettangolo con base AB e per altezza il valore medio f(C).
- Teorema del calcolo di Torricelli
Dimostrazione
Se la funzione y = f(X) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a;b] la corrispondente funzione integrale F(X) è derivabile per ogni x appartenente ad [a;b] e quindi
F’(X) = f(X)
Conseguenza:
L’integrale definito di una funzione è uguale alla differenza dei valori assunti da una qualsiasi delle sue primitive rispettivamente nell’estremo superiore e in quello inferiore di integrazione
- Area di una superficie piana mistilinea
f(X), g(X) continue in [a ; b] f(X) > g(X)
- Volume di solidi di rotazione
f(X)) continua in [a ; b]
- Integrali impropri o generalizzati
- un estremo = ∞
- nell’estremo b la funzione è discontinua
Equazioni differenziali
Un’equazione differenziale è un’equazione matematica dove figurano la variabile indipendente x, la funzione incognita y ed alcune sue derivate.
Una equazione differenziale è detta di ordine n quando n è l’ordine massimo delle derivate presenti.
Soluzione o integrale di un’equazione differenziale è una funzione che la soddisfa e il grafico si chiama curva integrale.
Le soluzioni generali sono infinite e dipendono un numero di variabili pari all’ordine n dell’equazione differenziale.
Per avere la soluzione particolare si deve specificare la K imponendo delle condizioni iniziali (generalmente coordinate di un punto per il quale debba passare la curva integrale).
• Risoluzione di equazioni differenziali del 1° ordine (a variabili separabili o lineari)
- A variabili separabili:
Si sostituisce con , si separano le variabili mettendone una a primo membro e una a secondo membro e si
calcola l’integrale nelle due variabili separate.
- Lineari
Un’equazione differenziale si dice lineare quando la y e la y’ sono del primo grado.
Il modello di riferimento è questo:
∙ b(X) = 0 → l’equazione è omogenea
formula risolutiva: ― →
∙ b(X) ≠ 0 → l’equazione è completa
formula risolutiva:
Serie numeriche
Una successione numerica è una particolare funzione che assegna ad un numero naturale un numero reale
f:N → R
Viene così a generarsi un insieme dove n indica il posto occupato da An in questo insieme. An è il termine generale.
PROBLEMA: la somma dei termini di una successione è la somma di infiniti termini. Come fare per “calcolarla”?
Questo problema è risolto dalla teoria delle serie numeriche.
Serie numerica: la somma degli infiniti termini di una successione numerica
Studiare il carattere di una serie significa studiare se una serie è convergente, divergente o indeterminata.

Esempio



  



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