Il Calcolo combinatorio

Materie:Appunti
Categoria:Matematica

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Testo

Calcolo Combinatorio

[Conta l’ordine] [L’ordine non conta]

Disposizioni semplici:
Def: Dati n elementi distinti, si chiama disposizione semplice degli n elementi presi k a k, con k ≤ n, un gruppo ordinato formato da k degli n elementi dati.
N.B. Nelle disposizioni semplici non ci sono ripetizioni, pertanto due disposizioni differiscono sia quando hanno elementi diversi, sia quando hanno gli stessi elementi me è diverso l’ordine.
Teo: Il numero delle disposizioni semplici di n elementi di classe k è dato da:
Ovvero è il prodotto di k numeri consecutivi decrescenti a partire da n.
Ex: Ad un concorso con 4 posti partecipano 12 concorrenti. Quante solo le possibili graduatorie di vincitori? .
Permutazioni semplici:
Def: Si chiama permutazione semplice di n elementi una disposizione semplice di n elementi presi ad n a n:
(fattoriale).
Ex: In quanti modi 4 giocatori si possono disporre attorno ad un tavolo quadrato?
Disposizioni con ripetizione:
Def: Dati n elementi distinti si dice disposizione con ripetizione degli n elementi presi a k a k, con k intero qualunque, un gruppo ordinato di k elementi in cui ogni elemento può essere ripetuto fino a k volte.
Teo:
Ex: In quanti modi si può rispondere ad un test di V/F di 12 domande? .

Combinazioni semplici:
Def: Dati n elementi distinti, si chiama combinazione semplice degli n elementi di classe k con k ≤ n ogni sottoinsieme formato da k elementi.
N.B. Dato I ={a1, a2,…,an} la combinazione di classe k, sono tutti i sottoinsiemi di I di cardinalità k (con elementi).
In generale, le combinazioni sono: .
Teo:
Oss: Le combinazioni di n elementi di classe k si indicano con il simbolo chiamato coefficiente binomiale. Pertanto: proprietà dei tre fattoriali
Ex: Quante sono le combinazioni possibili per fare 6 al superenalotto?

Proprietà del Coefficiente binomiale

Richiami:

Rappresenta il numero di sottoinsiemi di cardinalità k di un insieme di n elementi.
Proprietà:
(1) => l’insieme vuoto
=> ogni sottoinsieme ha un solo sottoinsieme vuoto

(2) =
(3) proprietà delle classi complementari (ogni sottoinsieme di cardinalità ne individua un altro di cardinalità n-k).
(4) formula di Stifel EX:
(5) Binomio di Newton
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 TRIANGOLO DI TARTAGLIA
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Esempio