Funzioni spline

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	13.12.2000
Numero di pagine:	2
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

Relazione sull’area di progetto Calcolo e Matematica
interpolazione con funzioni spline naturali

Definiamo le funzioni Spline, come funzioni polinomiali interpolatrici che ci consentono di passare tra i vari punti basi nella maniera più dolce possibile.
Se i punti base subiscono delle variazioni molto brusche utilizzeremo polinomi d’ordine più basso raccordandoli opportunamente nei punti d’incontro, ottenendo così un’approssimazione più adeguata. Per utilizzare le curve spline dobbiamo suddividere gli n+1 punti dati in gruppi di m+1, e interpolare ogni gruppo con polinomi di grado m senza discontinuità e raccordando i tratti in modo che nelle unioni non si abbiano >.
Possiamo distinguere le Spline in tre ordini:

Primo Ordine:
- Utilizzando spline del primo ordine, per m=1 otteniamo segmenti di retta, cioè nei nodi sono presenti punti angolosi. In altre parole la funzione approssimatrice non è nei nodi perché la derivata prima non è continua, perciò il loro impiego risulta limitato.

L’espressione generale di queste funzioni è:

f(x)=f(xi)+mi(x-xi)

Grafico della funzione

f(x)

Spline del 1° Ordine

2

0 x

Secondo Ordine:
- Se invece utilizziamo spline del secondo ordine, per m=2, otteniamo segmenti di parabola. L’espressione generale di queste funzioni è:

fi(x)=aix2+bix+ci

Per n+1 punti base vi sono n intervalli, pertanto bisogna determinare tre n costanti per tre n condizioni, o equazioni.

1° condizione

I valori delle curve spline devono essere uguali in corrispondenza dei nodi interni:

ai-1 Xi-12 + bi-1-1Xi-1 + ci-1=f(xi-1)
ai-1 Xi-12+ bi-1Xi-1 + c =f(xi-1) per i=1,2,……,n

2° condizione

La prima e l’ultima curva spline devono passare per i corrispondenti punti esterni:

a1 X02+ b1X0 + c1 =f(x0)
aN XN2+ bN XN + cN =f(xN)

3° condizione

Le derivate prime delle coppie di spline adiacenti devono essere uguali nei nodi:

2ai-1 Xi + bi-1=2ai Xi + bi per i=2,……,n

4° condizione

La derivata seconda è nulla in corrispondenza del punto X0 cioè a1=0.
Otterremo la soluzione dell’interpolazione risolvendo il sistema un sistema lineare 3n*3n; una volta risolto il sistema, notaremo due aspetti negativi:
i primi due punti sono uniti da una retta e l’ultima spline tende verso l’alto. Per questo motivo le spline del secondo ordine non hanno molta importanza.
Spline del 2° Ordine
f(x)

2

x
0

Terzo Ordine:
- Le Curve spline del terzo ordine, dette anche cubiche naturali, sono quelle che più ci interesano, che collegano i nodi delimitanti ogni intervallo con una funzione polinomiale del terzo ordine del tipo:

fi(X)=aiX3+b1X2+ciX+di con Xi-1