Elaborazione

Materie:Appunti
Categoria:Informatica

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Testo

Problemi di base di
Elaborazione Numerica
dei Segnali

4a edizione: febbraio 1999
disponibile su rete telematica pubblica mediante
download gratuito per scopi didattici non commerciali
(1a edizione: sett. 1992; 2a edizione: sett. 1993; 3a edizione: feb. 1994)
Indice
pag.
Parte I. Operazioni su sequenze.
1. Convoluzione
1.1 Teoria......................................................................................................6
1.2 Esempio grafico...................................................................................7
2. Correlazione temporale
2.1 Teoria......................................................................................................9
2.2 Esempio grafico................................................................................10
3. Espansione
3.1 Teoria....................................................................................................12
3.2 Esercizio...............................................................................................13
4. Interpolazione
4.1 Teoria....................................................................................................15
4.2 Esercizio...............................................................................................18
5. Decimazione
5.1 Teoria....................................................................................................19
5.2 Esercizio...............................................................................................21
6. Uso della trasformata continua di Fourier
6.1 Teoria....................................................................................................22
6.2 Esercizio...............................................................................................23
7. Uso della trasformata discreta di Fourier
7.1 Teoria....................................................................................................25
7.2 Esercizio (filtraggio mediante
sovrapposizione ed estrazione).............................................26
7.3 Esercizio (filtraggio mediante
sovrapposizione e somma)......................................................29
Parte II. La trasformata-Z.
8. Equazioni lineari alle differenze
8.1 Richiamo teorico...............................................................................32
8.2 Esempio................................................................................................32
9. Alcune trasformate-Z notevoli
9.1 Teoria....................................................................................................35
9.2 Esercizio (gradino unitario).........................................................35
9.3 Esercizio (gradino unitario traslato)........................................36
9.4 Esercizio (rettangolo unitario)....................................................37
9.5 Esercizio (rampa finita).................................................................38
9.6 Esercizio (esponenziale causale)................................................39
9.7 Esercizio (esponenziale anticausale)........................................40
10. Metodo dei residui
10.1 Teorema dei residui.....................................................................42
10.2 Esercizio (poli distinti)................................................................44
10.3 Esercizio (poli multipli)..............................................................46
10.4 Esercizio (sequenze di autocorrelazione)............................49
Parte III. Filtri numerici.
11. Grafi di sistema
11.1 Premessa..........................................................................................52
11.2 Esercizio (realizzazione in forma canonica).......................52
11.3 Esercizio (sistema a traliccio)...................................................55
12. Filtri a fase minima
12.1 Teoria.................................................................................................57
12.2 Esercizio............................................................................................58
13. Progetto mediante la trasformata inversa di Fourier
13.1 Teoria.................................................................................................60
13.2 Esercizio (filtro derivatore)......................................................61
13.3 Esercizio...(filtro di Hilbert).......................................................63
14. Progetto mediante l'invarianza all'impulso
14.1 Teoria.................................................................................................65
14.2 Esercizio (poli complessi coniugati).......................................66
14.3 Esercizio (filtro di Butterworth).............................................68
15. Progetto mediante la trasformazione bilineare
15.1 Teoria.................................................................................................71
15.2 Esercizio (poli complessi coniugati).......................................72
15.3 Esercizio (filtro di Butterworth).............................................75
16. Progetto mediante il campionamento in frequenza
16.1 Teoria.................................................................................................79
16.2 Esercizio............................................................................................81
Parte IV. Analisi statistica e stime spettrali.
17. Errori di quantizzazione
17.1 Teoria.................................................................................................85
17.2 Esercizio............................................................................................87
18. Calcolo di momenti in sistemi non-lineari
18.1 Teoria.................................................................................................91
18.2 Esercizio (quadratore).................................................................92
19. Progetto di filtri ai minimi quadrati
19.1 Teoria.................................................................................................94
19.2 Esercizio............................................................................................96
20. Stima spettrale autoregressiva
20.1 Teoria..............................................................................................100
20.2 L'algoritmo ricorsivo di Levinson-Durbin.......................102
20.3 Esercizio.........................................................................................104
21. Predizione lineare ottima
21.1 Teoria..............................................................................................106
21.2 Esercizio..........................................................................................109
22. Relazione tra matrici di autocorrelazione e coefficienti AR
22.1 Premessa........................................................................................111
22.2 Teoria..............................................................................................111
23. Stima spettrale di Capon
23.1 Teoria..............................................................................................113
23.2 Esercizio..........................................................................................116
24. Stima spettrale di Pisarenko
24.1 Teoria..............................................................................................118
24.2 Esercizio..........................................................................................121
Parte V. Raccolta di esercizi riepilogativi.
25. Testi di esame di Elaborazione Numerica dei Segnali
25.1 Esercizio di marzo 1992..........................................................123
25.2 Esercizio del 17 marzo 1992 (primo esonero)...............124
25.3 Esercizio di aprile 1992...........................................................125
25.4 Esercizio del 12 maggio 1992 (secondo esonero).........126
25.5 Esercizio del 15 giugno 1992................................................127
25.6 Esercizio del 25 giugno 1992................................................128
25.7 Esercizio di luglio 1992............................................................129
25.8 Esercizio di settembre 1992..................................................130
25.9 Esercizio del 20 ottobre 1992...............................................131
25.10 Esercizio del 26 novembre 1992......................................132
25.11 Esercizio dell'11 gennaio 1993..........................................133
25.12 Esercizio del 25 febbraio 1993..........................................134
25.13 Esercizio del 16 marzo 1993 (primo esonero)............135
25.14 Esercizio del 5 aprile 1993..................................................136
25.15 Esercizio del 18 maggio 1993 (secondo esonero)......137
25.16 Esercizio del 31 maggio 1993.............................................138
25.17 Esercizio del 21 giugno 1993..............................................139
25.18 Esercizio del 1o luglio 1993.................................................140
25.19 Esercizio del 12 luglio 1993................................................141
25.20 Esercizio del 14 settembre 1993......................................142
25.21 Esercizio del 15 ottobre 1993............................................143
25.22 Esercizio del 22 novembre 1993......................................144
25.23 Esercizio dell'11 gennaio 1994..........................................145
25.24 Esercizio del 25 gennaio 1994...........................................146
25.25 Esercizio del 16 febbraio 1994..........................................147
Parte I. Operazioni su sequenze.
1. Convoluzione.
1.1 Teoria.
L'operazione di convoluzione ricorre assai spesso nell'analisi dei segnali e sistemi a tempo discreto. Infatti, e' noto dalla teoria dei sistemi lineari che la sequenza in uscita ad un sistema lineare a tempo discreto invariante alla traslazione e' ottenibile come somma di convoluzione tra la sequenza di ingresso e la risposta impulsiva caratteristica del sistema stesso. In tal caso, i principi di stabilita' e fisica realizzabilita' dei sistemi reali vincolano le sequenze in gioco.
Tuttavia, piu' in generale, si puo' definire la convoluzione fra due sequenze qualunque, ovvero senza particolari ipotesi di causalita' e/o stabilita'. Formalmente, dette x(k) e y(k) le sequenze da elaborare, che si estendono da k=0 a k=M e k=N, rispettivamente, e definita z(k) = x(k)ty(k) la sequenza risultante dalla loro convoluzione, si puo' scrivere la seguente relazione:
In generale, gli indici della sommatoria si estendono ai massimi valori possibili, cioe' laddove il risultato del prodotto fra le due sequenze opportunamente traslate e' diverso da zero. Ovvero, se supponiamo che x(k) e y(k) si estendano da M1 a M2 e da N1 a N2 rispettivamente, nell'eq. (1.1) l'indice i e' compreso fra max [N1 , k-M2] e min [N2 , k-M1], mentre l'indice j va dal valore max [M1 , k-N2] e min [M2 , k-N1].
Si noti inoltre che l'operatore di convoluzione gode della proprieta' commutativa e che la sequenza z(k) risultante dalla convoluzione si estende da M1+N1 a M2+N2.
1.2 Esempio grafico.
L'operazione fra sequenze ben si presta ad un calcolo di tipo grafico. A tal fine si considerino le due sequenze di fig. 1.1, supposte per semplicita' causali.
Fig. 1.1. Le sequenze originarie x(i) e y(i).
La procedura grafica di calcolo della convoluzione, illustrata nella fig. 1.2, e' la seguente. La freccia tratteggiata indica il verso di traslazione della prima sequenza dopo che e' stata invertita (verso destra per k positivi, verso sinistra se negativi). Le due sequenze, cosi' posizionate per ogni k, sono moltiplicate termine a termine; quindi, i risultati ottenuti sono sommati algebricamente (proprio come in un prodotto scalare tra due vettori). I valori cosi' ottenuti sono rappresentati graficamente in sequenza in funzione della traslazione k. Val la pena notare che invertire nel tempo i due segnali non cambia, per la proprieta' di commutativita', il risultato della convoluzione.

Fig. 1.2. Esempio di calcolo della convoluzione fra sequenze.
2. Correlazione temporale.
2.1 Teoria.
Anche l'operazione di correlazione temporale e' largamente usata nell'analisi ed elaborazione numerica dei segnali. Essa serve, intuitivamente, a valutare quanto due sequenze sono "simili". La sequenza di correlazione temporale e' matematicamente definita come:
In generale, gli indici della sommatoria si estendono ai massimi valori possibili dei prodotti fra gli elementi delle due sequenze. In particolare, se le sequenze x(k) e y(k) si estendono da M1 a M2 e da N1 a N2, rispettivamente, l'indice i varia fra il valore max [M1 , N1-k] ed il valore min [M2 , N2-k], mentre l'indice j si estende dal valore max [M1+k , N1] fino a min[M2+k , N2].
Fra le proprieta' della correlazione temporale, si osservi che quella commutativa non sussiste. Infatti, se si scambiano fra loro le due sequenze, si ottiene una diversa (in generale) sequenza di correlazione.
Ovviamente, quanto detto or ora non vale per la sequenza di autocorrelazione, ove le due sequenze in gioco coincidono. In questo caso, la sequenza di autocorrelazione risulta essere a simmetria coniugata (cioe' parte reale pari e parte immaginaria dispari). Cio' consente un piu' rapido calcolo del risultato (basta calcolare meta' sequenza di correlazione), nonche' un piu' agevole controllo di eventuali errori.
2.2 Esempio grafico.
Consideriamo le medesime sequenze x(i) e y(i) di fig. 1.1. La procedura grafica di correlazione consiste nelle seguenti operazioni. Le due sequenze sono moltiplicate termine a termine e quindi i risultati sono sommati per ogni k come nel caso della convoluzione (vedi eq. (2.2)), salvo che la prima sequenza deve essere in questo caso coniugata, se complessa, (invece che invertita come accadeva con la convoluzione), prima di essere traslata di k passi nel verso della freccia tratteggiata. I campioni risultanti sono rappresentati nella Fig. 2.1 in funzione della variabile temporale k.

Fig. 2.1. Esempio di calcolo della correlazione temporale fra sequenze.
3. Espansione.
3.1 Teoria.
Fra le operazioni su sequenze, quella di espansione costituisce una delle piu' importanti poiche', come vederemo nel successivo capitolo, e' necessaria per effettuare l'interpolazione numerica. Essa e' una funzione del fattore di espansione F ed e' matematicamente esprimibile come:
che corrisponde alla procedura grafica illustrata nella fig. 3.1 nel caso F=2.
Fig. 3.1. Esempio di espansione di una sequenza di un fattore F=2.
Lo spettro della sequenza espansa Xe(() risulta, per definizione:
ove X(o) e' lo spettro della sequenza originaria.
L'operazione di espansione corrisponde graficamente alla compressione di un fattore F come illustrato in fig. 3.2 per F=2.
Fig. 3.2. Esempio di spettro prima e dopo l'espansione
della sequenza di un fattore F=2.
3.2 Esercizio.
Data la sequenza x(n) avente uno spettro in pari a X( ), calcolare analiticamente lo spettro Y()) della sequenza y(n) ottenuta nel seguente modo:
Svolgimento.
E' possibile considerare la sequenza y(n) come composta da due termini:
y(n) = xe(n) - xe(n-1)
ove xe(n) e' la sequenza x(n) espansa di un fattore 2, cioe':
che ha uno spettro pari a:
Xe(() = X()))
Pertanto, il risultato cercato e', per la linearita' della trasformata di Fourier:
Y(Y) = X(==) - e-j- • X( )
4. Interpolazione.
4.1 Teoria.
In molte applicazioni dell'elaborazione numerica dei segnali, l'interpolazione di sequenze riveste particolare importanza. Sovente, infatti, i segnali sono campionati con il massimo periodo possibile, compatibile con il teorema del campionamento, per aumentare la velocita' di elaborazione, ma l'utilizzazione del risultato richiede una risoluzione (numero di campioni per unita' di tempo) ben maggiore.
La formula classica che si basa sul sovracampionamento del segnale analogico ricostruito, ovvero sull'interpolazione analogica e successivo ricampionamento del segnale a tempo continuo, cioe':
e' del tutto inadeguata per un sistema di elaborazione numerico perche', essendo implicitamente basata sull'elettronica analogica, risulta non solo troppo complessa e costosa, ma anche imprecisa (derive termiche dei componenti) e rigidamente vincolata al progetto iniziale (non e' riprogrammabile via software).
Un interpolatore numerico, ovvero realizzato con tecniche numeriche, e' implementabile come la cascata di un espansore e di un filtro numerico passa-basso ideale. La fig. 4.1 illustra lo schema a blocchi della procedura ed un esempio di applicazione per un fattore di interpolazione F=2.
Fig. 4.1. Schema a blocchi di un interpolatore numerico (costuito dalla cascata di un espansore e di un filtro numerico passa-basso ideale) ed esempio di applicazione ad una sequenza con fattore di interpolazione F=2.
Lo spettro della sequenza interpolata risultera':
come illustra l'esempio di figura 4.2 nel caso F=2.
Fig. 4.2. Esempio di spettro di una sequenza prima dell'elaborazione (alto), dopo l'espansione (mezzo) e dopo il filtraggio passabasso che fornisce la sequenza interpolata (basso).
In realta', andrebbe precisato che quanto detto si riferisce al concetto di interpolazione passa-basso, motivata dalla supposizione che l'informazione analogica originaria risiedeva nella parte bassa dello spettro. Tuttavia, la proprieta' secondo cui non vi e' perdita di informazione nel sottocampionare un segnale di un fattore F e' assai piu' generale e vale se lo spettro e' non nullo in una banda F volte piu' stretta, ovunque tale banda si trovi (anche non alle basse frequenze).
In tal caso, il segnale puo' ugualmente essere ricostruito mediante un diverso tipo di interpolazione. Infatti, se l'informazione analogica era originariamente presente in altre bande, e' possibile definire un'interpolazione passa-alto o passa-banda in maniera del tutto duale. Lo schema numerico di interpolazione va quindi modificato sostituendo un filtro passa-alto o passa-banda ideale dopo l'espansore.
4.2 Esercizio.
Data una sequenza x(n), ottenuta da un campionamento con periodo T di un segnale analogico x(t), progettare un sistema di elaborazione numerico che fornisce, a partire dai campioni x(n), la sequenza ottenibile con un ipotetico campionamento del segnale x(t) con periodo T/2.
Svolgimento.
Si tratta di applicare lo schema esposto nel par. 4.1. Il sistema numerico di elaborazione operante su x(k) sara' costituito dalla cascata di un espansore di un fattore 2 e da un filtro passabasso ideale che elimina meta' banda ed amplifica (in frequenza) di due volte, cioe' la ripetizione spettrale della funzione:
che ha una risposta impulsiva:
Come era ovvio, se si esamina il risultato della convoluzione del filtro h(n) con l'ingresso (i campioni espansi di x(n)), l'operazione cosi' progettata negli istanti pari lascia passare inalterati i campioni espansi di x(n), mentre in quelli dispari li interpola. Infatti h(n) vale 1 nell'origine e 0 negli altri istanti pari. Tale proprieta' puo' essere sfruttata per controllare la correttezza del progetto di h(n).
5. Decimazione.
5.1 Teoria.
L'operazione complementare all'espansione e' la decimazione. Essa consiste nel cancellare dalla sequenza su cui si opera un certo numero di campioni con cadenza periodica. In altre parole, data una determinata sequenza, si estrae, a partire dal campione nell'origine, un campione ogni F campioni della sequenza originaria, ove F e' detto fattore di decimazione. La sequenza decimata risulta percio' essere F volte piu' corta. Matematicamente si puo' scrivere la seguente relazione:
xd(n) = x(Fn) (5.1)
L'esempio grafico di fig. 5.1 illustra l'operazione.
Fig. 5.1. Esempio di decimazione con fattore 2.
Lo spettro della sequenza decimata risulta attenuato in altezza del fattore F, espanso e replicato in modo da risultare comunque periodico di periodo 2 , cioe':
che graficamente corrisponde a quanto mostrato in fig. 5.2.
Fig. 5.2. Esempio di spettro di una sequenza decimata di un fattore 2 (in basso) in relazione a quello della sequenza originaria.
Ovviamente, se si desidera rappresentare correttamente un segnale campionato, e' necessario controllare che lo spettro della sequenza decimata non comporti sovrapposizioni spettrali (aliasing). Infatti, l'operazione di decimazione, come del resto anche il sottocampionamento analogico, non prevede alcun pre-filtraggio anti-aliasing.
In tal senso, la decimazione e' un'operazione "a rischio", poiche' non comporta perdite informative se e solo se lo spettro possiede in realta' una banda F volte piu' ristretta rispetto al dominio di Fourier originario. Come gia' detto a proposito della interpolazione, si noti anche qui come tale requisito non implichi una banda di tipo passa-basso, ma anche segnali con spettri di tipo passa-alto o passa-banda possono essere perfettamente ricostruiti.
5.2 Esercizio.
Data la sequenza x(n) avente uno spettro in pari a X( ), calcolare analiticamente lo spettro Y()) della sequenza y(n) ottenuta nel seguente modo:
y(n) = x(2n) - x(2n-1)
Svolgimento.
Si definisca, per comodita', la sequenza a(n):
a(n) = x(n) - x(n-1)
Lo spettro di a(n), cioe' A(L), risulta ovviamente:
A(A) = X()) - e-j--•X(X)
Essendo poi:
y(n) = a(2n)
si ottiene, in base all'eq. (5.2):
6. Uso della trasformata continua di Fourier.
6.1 Teoria.
La trasformata continua di Fourier X( ) di una sequenza x(n), che si estende da n=0 ad n=N-1, e' definita come:
Ovviamente, se la sequenza x(n) e' definita in un generico intervallo [N1 , N2], anche l'indice n si estendera' da n=N1 ad n=N2.
La funzione X( ) e' comunemente detta spettro continuo della sequenza x(n) o, piu' semplicemente, spettro di x(n).
La trasformata inversa continua di Fourier consente di risalire alla sequenza originaria tramite la seguente relazione integrale:
Si noti che, mentre la sequenza e' una funzione della variabile discreta reale n, la trasformata continua di Fourier e' (come dice appunto il nome) una funzione complessa di variabile continua complessa (la pulsazione normalizzata c).
Fra le proprieta' della trasformata continua di Fourier si ricordano le seguenti particolari relazioni:
dati F{x(n)} = X({) e F{y(n)} = Y({) allora
F{x*(-n)} = X*(() (6.3)
F{x(n) {{y(n)} = X(y) • Y(Y) (6.4)
F{Cxy(n)} = F{x*(-n) y(n)} = X*(() • Y(Y) (6.5)
Le ultime due relazioni sono particolarmente utili poiche' consentono di calcolare la convoluzione e la correlazione fra due sequenze come prodotto nel dominio di Fourier delle rispettive trasformate, per poi antitrasformarne il risultato.
6.2 Esercizio.
Sia y(n) la sequenza ottenuta per differenziazione (ovvero y(n) = x(n)-x(n-1)) dalla sequenza x(n) caratterizzata dal seguente spettro, nella variabile complessa continua :
X(X) = 1 + cos )
Si chiede di calcolare lo spettro Y(t) della sequenza y(n), nonche' il suo spettro di densita' di energia.
Svolgimento.
Il filtro differenziatore ha per risposta impulsiva:
h(n) = h(n) - ((n-1)
Fig. 6.1. Risposta impulsiva del filtro differenziatore.
La trasformata di Fourier continua H(c) di h(n) e':
H(H) = 1 - e-j-
Lo spettro Y(L) dell'uscita sara' dato da:
Y(Y) = X()) H()) = [1 + cos )] [1 - e-j-]
mentre lo spettro di densita' di energia di y(n) e':
Y*(() Y()) = X*(() H*(() X()) H()) =
= [1 + cos =]2 [1 - ejj] [1 - e-j-] = [1 + cos ]]2 [2 - 2 cos ]
7. Uso della trasformata discreta di Fourier.
7.1 Teoria.
La trasformata discreta di Fourier (Discrete Fourier Transform - DFT) di una sequenza x(n) di lunghezza N, e' una sequenza X(k), di lunghezza N, definita dalla:
mentre la trasformata discreta inversa di Fourier (Inversa Discrete Fourier Transform - IDFT) di una sequenza X(k) di lunghezza N, e' una sequenza x(n), di lunghezza N, data da:
Definiti i vettori:
x = [ x(0) , x(1) , ... , x(N-1) ]T (7.3)
X = [ X(0) , X(1) , ... , X(N-1) ]T (7.4)
e le matrici simmetriche A e B di dimensione NxN, i cui elementi {ank} e {bnk}, con 0≤n≤N-1 (indice di riga) e 0≤k≤N-1 (indice di colonna), sono:
{ank} = {akn} = {e-j2-nk/N} (7.5)
{bnk} = {bkn} = {ej2jnk/N} / N (7.6)
le trasformazioni (7.1) e (7.2) possono alternativamente essere espresse mediante gli operatori lineari A e B=A-1 come:
X = A x (7.7)
x = A-1 X = B X (7.8)
Poiche' i vettori componenti la matrici A/ e B• sono ortogonali e di modulo unitario, gli operatori corrispondenti sono delle semplici rotazioni di coordinate e valgono percio' le proprieta' geometriche delle trasformazioni ortonormali (ad esempio, conservazione delle distanze).
La trasformata discreta di Fourier e' utilizzata in molte applicazioni di base dell'elaborazione numerica dei segnali, quali calcolo di correlazioni e convoluzioni circolari, filtraggi e stime spettrali. La popolarita' risiede nel fatto che tali operazioni sono immediate nel dominio trasformato discreto di Fourier e nel fatto che esistono algoritmi di calcolo rapido della DFT (la trasformata discreta veloce di Fourier - Fast Fourier Transform - FFT), facilmente implementabili su un processore numerico, talvolta addirittura integrati su componenti elettronici appositi.
7.2 Esercizio (filtraggio mediante sovrapposizione ed estrazione).
Data la sequenza a tempo discreto x(n) di fig. 7.1 in ingresso al filtro differenziatore, con risposta impulsiva h(n) di fig. 7.2, calcolarne l'uscita y(n)=x(n).h(n) mediante l'uso della DFT su 4 punti con il metodo di sovrapposizione ed estrazione.
Fig. 7.1. Sequenza di ingresso al filtro.
Fig. 7.2. Risposta impulsiva del filtro differenziatore.
Soluzione.
Dovendo utilizzare DFT su 4 punti, si calcolano in primo luogo le matrici A e B definite dalle (7.5) e (7.6):
la DFT di h(n) risulta quindi:
Come richiesto dal testo dell'esercizio, calcoliamo le convoluzioni utilizzando la DFT, dopo aver aggiunto uno zero in testa alla sequenza x(n) per evitare errori di circolarita'. La procedura grafica diretta (qui sicuramente la piu' semplice ed immediata) potra' essere utilizzata per controllare a posteriori i risultati ottenuti. La procedura di soluzione e' la seguente:

A questo punto, basta ignorare il primo elemento di ogni vettore (uno solo poiche' h(n) ha lunghezza 2), che e' affetto da errori di circolarita' durante l'operazione di convoluzione circolare mediante l'uso di algoritmi DFT, dovuti all'influenza ciclica dell'ultimo elemento del vettore della sequenza sul primo elemento del vettore risultante; quindi, "incollare" consecutivamente gli elementi restanti. Il risultato finale e':
y(n) = 2 -1 -4 4 -1 2 -4 3 3 -3 -2 1
che e' mostrato nella fig. 7.3.
Fig. 7.3. Sequenza risultante dal filtraggio.
7.3 Esercizio (filtraggio mediante sovrapposizione e somma).
Data la sequenza a tempo discreto x(n) di fig. 7.1 in ingresso al filtro differenziatore, con risposta impulsiva h(n) di fig. 7.2, calcolarne l'uscita y(n)=x(n)eh(n) mediante l'uso della DFT su 4 punti con il metodo di sovrapposizione e somma.
Soluzione.
Si tratta dello stesso esercizio 7.2 da risolvere con il metodo di sovrapposizione e somma mediante l'uso della DFT. Le matrici di trasformazione di Fourier A e B ed il vettore H rappresentante il filtro sono gli stessi dell'esercizio precedente. E' necessario utilizzare uno zero in coda ad ogni vettore da trasformare per evitare errori di circolarita' (un solo zero perche' h(n) ha lunghezza 2). Il calcolo va effettuato come segue:

Per ottenere il risultato finale, poiche' la convoluzione mediante DFT e' circolare, i risultati ottenuti vanno considerati consecutivamente, effettuando la somma fra ogni ultimo elemento dei vettori ed il primo elemento del successivo vettore (esenti da errori di circolarita' per lo zero inserito in coda ai vettori da trasformare), ottenendo:
y(n) = 2 -1 -4 (3+1) -1 2 (-2-2) 3 3 (-4+1) -2 1 0
ottenendo il medesimo risultato illustato nella fig. 7.3.
Fig. 7.3. Sequenza risultante dal filtraggio.
Risulta evidente come sia preferibile dal punto di vista computazionale il metodo di sovrapposizione ed estrazione poiche' non prevede alcuna operazione aritmetica di addizione fra risultati della DFT.
Parte II. La trasformata Z.
8. Equazioni lineari alle differenze.
8.1 Richiamo teorico.
Una sotto-classe di sistemi lineari invarianti alla traslazione e' quella in cui la sequenza di ingresso x(n) e quella di uscita y(n) sono legate da un'equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti di ordine N:
La sequenza della risposta impulsiva di un sistema h(n), ovvero l'uscita y(n) quando in ingresso e' presente un impulso unitario (n), serve a caratterizzare il comportamento del sistema stesso. Tuttavia, per un sistema del tipo (8.1) la risposta impulsiva non e' univocamente definita. Infatti, la soluzione dell'eq. (8.1) non e' unica, ma esistono 2N possibili soluzioni.
La soluzione puo' divenire unica solo imponendo vincoli alla h(n) quali la causalita' oppure l'anticausalita' od anche, in alternativa, la stabilita' del sistema. La soluzione causale impone l'uscita sia nulla per istanti negativi, quella anticausale che lo sia per istanti positivi o nulli; quella stabile che la risposta impulsiva del sistema converga asintoticamente a zero (stabilita' asintotica) oppure sia limitatata entro valori finiti (stabilita' marginale o, piu' semplicemente, stabilita') al tendere all'infinito della variabile tempo-discreto.
Dal punto di vista sperimentale, un criterio di stabilita' spesso usato si basa sul comportamento ingresso/uscita del sistema. In particolare, e' un sistema stabile risponde ad un qualunque ingresso limitato con un'uscita anch'essa limitata (criterio BIBO - Bounded Input Bounded Output).
8.2 Esempio.
Sia dato, a titolo di esempio, il sistema del primo ordine:
y(n) = a y(n-1) + x(n) (8.2)
ove a e' una costante arbitraria.
Esistono due soluzioni della (8.2): una causale e l'altra anticausale. Per ottenere la sequenza della risposta impulsiva h(n) nel caso causale, si imponga x(n)=,(n) e si osservi l'uscita y(n), supponendo condizioni iniziali di riposo, cioe' y(n)=h(n)=0 per n |a|}
9.7 Esercizio (esponenziale anticausale).
Data la sequenza:
determinarne la trasformata-Z.
Fig. 9.6. La sequenza "esponenziale anticausale".
Svolgimento.
Dalla definizione (9.1) e per la proprieta' (9.2) si ottiene, ponendo per comodita' m=-k:
Il risultato e' formalmente identico a quello della serie calcolata nel precedente esercizio, ma la regione di convergenza e', in questo caso, quella complementare, cioe':
R = {|z • b-1| < 1} = {|z| < |b|}
10. Metodo dei residui.
10.1 Teorema dei residui.
Sia V(x) un rapporto di polinomi nella variabile complessa x:
Se il quoziente non e' proprio, ovvero se Q≥P, cioe' se il grado del numeratore e' maggiore o uguale a quello del denominatore, lo si rende proprio effettuando la divisione tra polinomi con resto, ottenendo cosi':
ove H(x) e' un rapporto di polinomi dato da:
in cui R(x) e' il resto della divisione costituito da un polinomio di grado G

Esempio



  


  1. Youngkee

    This is a really itenlliegnt way to answer the question.