Appunti del corso di Fisica

Materie:	Appunti
Categoria:	Informatica
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Data:	02.02.2001
Numero di pagine:	34
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FISICA I
(docente Maria Adele Dodero)
Testo di riferimento
Fisica 1 (Raymond A. Serway)
Lezione 1 (22 settembre 1999)
Introduzione al corso: prerequisiti richiesti, programma, modalitа d'esame, ecc.…
Lezione 2 (27 settembre 1999)
La fisica и una “scienza sperimentale”.
Le sue leggi sono infatti state “verificate” tramite degli opportuni esperimenti (riproducibili da chiunque si ponga nelle condizioni idonee).
Per studiare un fenomeno fisico occorre prima di tutto effettuare una osservazione di tipo “qualitativo” (es. “un corpo privato di sostegno cade verso terra”), poi occorre considerare quali “grandezze fisiche” caratterizzano il fenomeno (es. “velocitа”, “massa”, ecc.), in quale “misura” e in che modo queste grandezze interagiscono fra loro.
Misura di grandezze fisiche
Misurare una grandezza fisica significa effettuare un “confronto” fra la grandezza da misurare e un “campione”, opportunamente scelto, in modo da stabilire una corrispondenza univoca tra la grandezza stessa e un “numero” che ne rappresenta la “misura” nell’unitа di misura prescelta.
N.B. Una misura ha significato solo se si specifica l’unitа di misura presa in considerazione.
Dal momento che la precisione di una misura и sempre limitata (dipende dalla precisione dello strumento utilizzato, dalla tecnica con la quale si esegue la misura e dalla possibilitа, sempre presente di errori accidentali) bisognerebbe sempre associare, ad ogni misura, il relativo “errore”.
Leggi fisiche
Definire una “legge fisica” significa individuare le relazioni che legano fra loro le varie grandezze fisiche che compaiono nel fenomeno.
N.B. Dal momento che tutte le misure delle grandezze effettuate contengono degli errori il risultato ottenuto con l’applicazione della legge fisica conterrа a sua volta degli errori (in base alla “legge di propagazione degli errori”).
Visto che, in base a quanto detto sopra, le grandezze fisiche non sono “indipendenti”, ma collegate fra loro, и possibile scegliere un numero minimo di grandezze fisiche indipendenti ed esprimere tutte le altre in funzione di quelle prescelte.
Nel campo della “fisica meccanica” sono state scelte tre grandezze fisiche indipendenti fondamentali: lunghezza, massa e tempo (indicati rispettivamente con L, M e T).
Per quantificare queste grandezze si utilizzano comunemente le unitа di misura del Sistema Internazionale (S. I.) e cioи il metro (m.), il chilogrammo (Kg.), e il secondo (s.).
In precedenza venivano utilizzati anche altri due “sistemi di misura”:
il sistema M. K. s. (cioи metro, chilogrammo e secondo)
il sistema c. g. s. (cioи centimetro, grammo e secondo)
Nota Il S. I. si differenzia dal sistema M. K. s. in quanto comprende anche l’unitа di misura di una quarta grandezza fisica fondamentale (presente nello studio dell’elettromagnetismo): l’intensitа di corrente che viene misurata in ampere (A.).
Equazioni dimensionali
Di ogni grandezza fisica и possibile dare una “equazione dimensionale”, cioи un’equazione che esprima la grandezza fisica presa in considerazione in “funzione” di L, M e T.
Esempi
la velocitа и una grandezza fisica derivata che si esprime in funzione dello spazio percorso e del tempo impiegato:
l’accelerazione, a sua volta, puт essere ricavata dalla velocitа: EMBED Equation.3
Nella formulazione di una “legge fisica” bisogna tenere conto della “omogeneitа dimensionale”, cioи le equazioni dimensionali dei due membri dell’equazione che esprime la legge stessa devono essere equivalenti (in caso contrario significa che sono presenti degli errori).
Esempio: h(t) = h0 - Ѕgt2 ( [L] = [L] - [L T-2] T2 ( [L] = [L]
(da notare che il valore Ѕ и un numero e, quindi, “adimensionale” )
Grandezze fisiche “scalari” e “vettoriali”
Le grandezze fisiche possono essere di due tipi:
scalari sono le grandezze per le quali и sufficiente conoscerne il valore nell’unitа di misura prescelta (es. tempo, temperatura, ecc.);
vettoriali sono le grandezze individuate tramite l’utilizzo di un “vettore”, cioи quelle grandezze per le quali occorre definire, oltre al modulo, anche una direzione e un verso (es. velocitа, spostamento, accelerazione, ecc.).
C I N E M A T I C A
La cinematica и la parte della fisica che studia il movimento dei corpi (senza perт occuparsi delle cause che hanno prodotto il movimento stesso, che sono invece oggetto di studio della “dinamica”).
Cinematica del punto
Per studiare il movimento di un corpo и necessario avere a disposizione:
un sistema di “coordinate spaziali” (es. coordinate cartesiane ((x, y, z) con i versori associati EMBED Equation.3 );
un “orologio” (per misurare gli intervalli di tempo).
Studiare il movimento di un corpo significa, infatti, studiare la sua posizione, nelle coordinate considerate, rispetto al tempo.
Un oggetto и considerato un “punto materiale” quando le sue dimensioni possono essere trascurate, cioи quando le sue dimensioni sono molto piщ piccole (come ordine di grandezza) rispetto alle dimensioni del problema che sto considerando.
Non и quindi importante considerare le dimensioni “assolute” dell’oggetto considerato, ma le sue dimensioni “relative” all’interno del contesto preso in esame.
Moti unidimensionali (moto rettilineo)
Nello studio del moto rettilineo и sufficiente utilizzare un solo asse coordinato (ad esempio l’asse x). In questo caso le grandezze vettoriali (spostamento, velocitа e accelerazione) avranno la stessa direzione del versore EMBED Equation.3 . Possiamo quindi effettuare i calcoli tenendo conto solo del “modulo”.
Supponiamo che sia: x1 = posizione dell’oggetto all’istante t1
x2 = posizione dell’oggetto all’istante t2
Definizione: Definiamo “spostamento” del corpo lo spazio percorso dallo stesso nell’intervallo di tempo ( EMBED Equation.3 ) e lo indichiamo con EMBED Equation.3 .
Questo spostamento puт essere positivo (x2 > x1) se si tratta di un “moto progressivo”, cioи che avviene nello stesso verso di EMBED Equation.3 , oppure negativo (x2 < x1) se si tratta di un “moto regressivo”.
Definizione: Definiamo “velocitа media” di un corpo il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo: EMBED Equation.3 .
La velocitа media non fornisce perт un’informazione “reale”, ma solo un’indicazione “media”.
Per ottenere informazioni piщ precise occorre restringere gli intervalli di tempo considerati. Supponendo di arrivare a intervalli di tempo infinitesimali otteniamo:
Definizione: “Velocitа istantanea”: EMBED Equation.3
Supponiamo ora che sia: v1 = velocitа dell’oggetto all’istante t1
v2 = velocitа dell’oggetto all’istante t2
Definizione: “Accelerazione media”: EMBED Equation.3 (con (v = v2 - v1)
Come nel caso della velocitа media, anche l’accelerazione media non fornisce un’informazione reale. Per ottenere informazioni piщ precise occorre, anche in questo caso, restringere gli intervalli di tempo considerati. Supponendo quindi di arrivare a intervalli di tempo infinitesimali otteniamo:
Definizione: “Accelerazione istantanea”: EMBED Equation.3 .
Possiamo considerare due tipi di “moto rettilineo”:
Il moto rettilineo uniforme
Il moto rettilineo uniformemente accelerato
Nel primo caso la velocitа si mantiene costante (sia in modulo che in direzione e verso) e quindi l’accelerazione и uguale a zero.
Questo и l’unico caso nel quale ciт и possibile. Infatti, negli altri casi, pur non variando il modulo, il vettore velocitа non puт essere costante in quanto varia la direzione e/o il verso e, di conseguenza, l’accelerazione и sempre diversa da zero.
Considerando quindi che v = v0 e a = 0, calcoliamo la “equazione oraria del moto”, cioи la posizione dell’oggetto in funzione del tempo e della sua posizione iniziale:
EMBED Equation.3 (con “c” costante arbitraria).
La costante arbitraria “c” deve essere valutata sulla base delle “condizioni iniziali”. Se infatti, nell’equazione ottenuta, poniamo “t = 0”, otteniamo “x = c”. In pratica la costante rappresenta la posizione dell’oggetto nell’istante t0, cioи nell’istante iniziale.
Chiamando x0 la posizione iniziale dell’oggetto otteniamo quindi la seguente equazione oraria del moto rettilineo uniforme: x = x0 + v0 t.
Nel caso del moto rettilineo uniformemente accelerato, invece, и l’accelerazione a mantenersi costante. Operando in modo analogo al precedente possiamo quindi calcolare la relativa equazione oraria in funzione del tempo e della posizione e velocitа iniziale di un oggetto:
EMBED Equation.3 (con v0 = velocitа iniziale).
Dal momento che EMBED Equation.3 , possiamo sostituire questo valore nell’equazione precedente ottenendo:
EMBED Equation.3
Chiamando nuovamente x0 la posizione iniziale dell’oggetto otteniamo l’equazione oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato: x = x0 + v0 t + Ѕ a t2.
Lezione 3 (28 settembre 1999)
Riepilogo lezione precedente:
Moto rettilineo uniforme: a = 0 v = cost. ( EMBED Equation.3

Moto rettilineo uniformemente accelerato: a = cost v = v0 + at ( EMBED Equation.3

Prendendo in considerazioni le equazioni del moto rettilineo uniformemente accelerato и possibile esprimere la relazione tra lo spostamento e i valori di accelerazione, velocitа iniziale e velocitа finale (eliminando dall’equazione la variabile “tempo”) nel seguente modo:
Dall’equazione EMBED Equation.3 possiamo ricavare: EMBED Equation.3
Sostituendo questo valore di “t” nell’equazione EMBED Equation.3 si ottiene: EMBED Equation.3 Quindi possiamo affermare che: EMBED Equation.3
Osservazione
Occorre tenere presente che alcune delle grandezze fisiche considerate sono in realtа delle grandezze vettoriali. Finora abbiamo indicato solo i moduli di tali grandezze in quanto, trattandosi di un moto “rettilineo” non si hanno cambiamenti di direzione o verso dei relativi vettori.
In effetti perт sarebbe piщ esatto indicare le grandezze considerate nel seguente modo:
Spostamento lungo l’asse delle x: EMBED Equation.3
Velocitа media: EMBED Equation.3 Velocitа istantanea: EMBED Equation.3
Accelerazione media: EMBED Equation.3 Accelerazione istantanea: EMBED Equation.3
Caduta libera dei gravi
Un oggetto posto in vicinanza della superficie terrestre и sottoposto ad un’accelerazione g, diretta secondo la verticale del luogo, che prende il nome di “accelerazione di gravitа” e ha un valore di circa 9,8 m/s2.

In realtа anche il modulo del vettore g non и costante, bensм varia in base alla distanza. Anche in questa caso и comunque possibile considerare questo valore costante per distanze molto piccole rispetto al raggio terrestre.
N.B. L’accelerazione di gravitа и una costante valida per ogni corpo in modo del tutto indipendente dalla sua “massa”: due corpi lasciati cadere nel vuoto cadono esattamente alla stessa velocitа.
(Le differenze di velocitа osservate nella vita quotidiana sono dovute alla “resistenza” esercitata dall’aria).
Caduta di gravi ( Moto uniformemente accelerato
v0 =0 y0 = altezza iniziale
g = 9,8 m/s2 ( EMBED Equation.3 ( a = - j)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (*)
Il tempo di caduta si ricava ponendo y = 0 nell’equazione (*): EMBED Equation.3 .
Conoscendo t и possibile calcolare la velocitа dell’oggetto quando tocca il suolo: EMBED Equation.3 .
Nota: trasformazione tra km/h e m/s
EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 e EMBED Equation.3
Moti curvilinei
( posizione del punto materiale all’istante t1
( posizione del punto materiale all’istante t2
( spostamento della particella lungo la traiettoria
(viene persa l’informazione relativa alla traiettoria effettiva)
( traiettoria effettiva compiuta dal punto materiale
EMBED Equation.3
Per avere informazioni piщ dettagliate occorre “restringere” l’intervallo di tempo (t.
EMBED Equation.3 ( dr ( ds (spostamento infinitesimo lungo la traiettoria)
La velocitа istantanea ha direzione “tangente” alla traiettoria nel punto considerato.
Possiamo pensare di scomporre il vettore velocitа indicandone separatamente il “modulo” e la “direzione”. Per far questo utilizziamo un “versore” ut per indicare la direzione e il verso di v.
Riscriviamo quindi la formula di v nel seguente modo: EMBED Equation.3 .
N.B. Un moto curvilineo и sempre “accelerato” in quanto la velocitа varia sempre. Infatti anche quando il modulo resta costante, varia comunque la direzione.
L’accelerazione
( velocitа del punto all’istante t1
( velocitа del punto all’istante t2
EMBED Equation.3
Da notare che la direzione del vettore accelerazione и diretta sempre verso l’interno della curva.
Anche in questo caso, per avere informazioni piщ dettagliate occorre “restringere” l’intervallo (t.
Si ottiene cosм l’accelerazione istantanea: EMBED Equation.3 .
In generale il vettore accelerazione и formato da due componenti (individuati tramite la scomposizione secondo la regola del parallelogramma):
accelerazione tangenziale (direzione tangente alla curva)
accelerazione normale o centripeta (direzione ortogonale a quella dell’accelerazione tangenziale)
Lezione 4 (4 ottobre 1999)
Ricavare le componenti “tangenziale” e “normale” dell’accelerazione
Possiamo scrivere il vettore velocitа indicando separatamente la parte direzionale (versore ut) dalla parte di modulo (v). Scriveremo quindi: v = ut v.
Calcoliamo la derivata di ut rispetto a ( (variazione del vettore ut al variare dell’angolo ( ).
EMBED Equation.3
Da cui otteniamo: EMBED Equation.3
an = variazione della “direzione” della velocitа
at = variazione del “modulo” della velocitа
ds и uno “spostamento infinitesimo” che approssima lo spostamento lungo la traiettoria “curvilinea”, abbiamo quindi: EMBED Equation.3
Possiamo ora calcolare la derivata di ut rispetto al tempo: EMBED Equation.3
Otteniamo infine: EMBED Equation.3 .
Osservazione
L’accelerazione normale dipende dal raggio di curvatura della traiettoria e varia come v2.
La presenza di un’accelerazione implica la presenza di una “forza” che imprima l’accelerazione stessa facendo variare il modulo e/o la direzione del vettore velocitа.
Schema riassuntivo Moto rettilineo uniforme at = 0 an = 0 Moti rettilinei non uniformi at ( 0 an = 0 Moti curvilinei uniformi at = 0 an ( 0 Moti curvilinei non uniformi at ( 0 an ( 0
Moto “piano” nel piano xy
Un qualunque moto piano puт essere considerato come la composizione di due moti rettilinei.
Nel caso che consideriamo (piano xy) sarа la composizione di un moto lungo l’asse delle x e di uno lungo l’asse delle y.
Abbiamo dunque: EMBED Equation.3 e EMBED Equation.3
Possiamo perciт applicare le formule giа adoperate per i moti rettilinei:
EMBED Equation.3 e EMBED Equation.3 per il moto lungo l’asse delle x
EMBED Equation.3 e EMBED Equation.3 per il moto lungo l’asse delle y
Moto del “proiettile”
asse x asse y moto rettilineo uniforme
ax = 0
vx = v0x = v0 cos(
x = x0 + v0 cos( t moto rettilineo uniformemente accelerato
ay = - g
vy = v0 sen( - g t
y = y0 + v0 sen ( t - Ѕ g t2
In ymax la velocitа ha solo la componente orizzontale (v0x); la componente vy si и annullata per effetto dell’accelerazione negativa “- g”.
Ponendo vy = 0 otteniamo: EMBED Equation.3
Sostituendo nell’equazione della y il valore di t troviamo: (supponiamo y0 = 0)
EMBED Equation.3
Dal momento che la curva и simmetrica il tempo di volo sarа esattamente (in assenza di attrito) il doppio del tempo necessario a raggiungere ymax, cioи: EMBED Equation.3 ;
Risulta quindi immediato calcolare la gittata: EMBED Equation.3 ;
Possiamo inoltre determinare l’angolo per il quale si ottiene la massima gittata (a paritа di altre condizioni): il valore “massimo” di xmax si ottiene quando sen 2( = 1, cioи quando ( = 45°.
Moto circolare
La velocitа angolare non и una grandezza scalare, ma vettoriale; oltre a definirne il modulo occorre quindi indicarne anche la direzione e il verso: la direzione и ortogonale al piano del movimento mentre il verso и determinato secondo la “regola della mano destra” tenendo conto della seguente relazione: v = ( ( r (dove il segno ( indica il prodotto vettoriale fra due vettori).
Lezione 5 (5 ottobre 1999)
Moto circolare uniforme
Da notare che, essendo una circonferenza, il raggio и costante, quindi lo и anche l’accelerazione normale (e di conseguenza l’accelerazione totale).
Equazione oraria del moto circolare uniforme
Si tratta di calcolare l’angolo ( in funzione del tempo.
Poniamo, come condizioni iniziali: t0 = 0 e ( = (0 .
EMBED Equation.3
Moto circolare uniformemente accelerato
Schema riassuntivo RETTILINEO CIRCOLARE Moto uniforme x = x0 + v t ( = (0 + ( t Moto uniformemente accelerato v = v0 + a t
x = x0 + v0 t + Ѕ a t2 ( = (0 + ( t *
( = (0 + (0 t + Ѕ ( t2 **
* Condizioni iniziali: t0 = 0; ( = (0 ( EMBED Equation.3
** Condizioni iniziali: t0 = 0; ( = (0 ( EMBED Equation.3
Moto circolare e oscillazioni armoniche
Se esaminiamo le proiezioni sull’asse x delle varie posizioni del punto (A’, B’, ecc.) ci accorgiamo che la “x” oscilla fra “- r” e “r” mentre il punto compie la sua traiettoria circolare.
Osserviamo che: A’ = r cos ( = r cos ( t.
In generale possiamo affermare che: x = x0 cos (( t + (0)
Questa equazione rappresenta il moto di un punto materiale che oscilla da “- x0” a “x0”.
In questo caso la ( prende il nome di “pulsazione del moto armonico”.
Si ottiene un risultato analogo considerando le proiezioni sull’asse y: y = y0 sen (( t + (0)
Definiamo “periodo” (che indichiamo con “ T ”) il tempo impiegato dalla particella ad effettuare un movimento periodico completo (da - x0 a x0 e ritorno).
tempo impiegato per compiere un intero giro (moto circolare)
T
tempo impiegato per compiere un’oscillazione completa (moto oscillatorio)

Se il moto и uniforme, si ha: EMBED Equation.3 , cioи: EMBED Equation.3 da cui otteniamo: T = EMBED Equation.3
Definiamo “frequenza” (che indichiamo con “ f ”) l’inverso del periodo: f = EMBED Equation.3
La frequenza indica quanti giri (nel caso di moto circolare) o quante oscillazioni complete (nel caso di moto oscillatorio) vengono effettuate in un secondo. Si misura in “hertz” ( 1 hz = 1 s-1).
Poniamo (0 = 0 e consideriamo x = x0 cos (( t + (0).
Per t = 0 abbiamo x = x0 (il corpo parte alla massima distanza dall’origine).
Consideriamo ora la velocitа: EMBED Equation.3
La quantitа “ - ( x0 ” prende il nome di “ampiezza della velocitа” e dipende dall’ampiezza dell’oscillazione ( x0 ) e dalla pulsazione del moto armonico ( ( ).
Osserviamo che: EMBED Equation.3
L’accelerazione и proporzionale allo spostamento x, quindi anche la forza che causa l’accelerazione dovrа essere proporzionale a x. Inoltre questa forza tende a riportare l’oggetto nella posizione di “equilibrio” centrale. Per questo viene definita come “forza di richiamo”.
Equazione differenziale del moto armonico
Considerando che EMBED Equation.3 , possiamo dire che un’equazione differenziale del secondo ordine del tipo EMBED Equation.3 avrа come soluzione: EMBED Equation.3 .
RELATIVITA’ GALILEIANA
Ci poniamo il problema di come legare le varie grandezze fisiche nei diversi sistemi di riferimento. Ogni fenomeno, infatti, “appare” in modo diverso in base al sistema di riferimento considerato.
La “relativitа galileiana” si basa su due postulati fondamentali:
Gli intervalli di tempo sono gli stessi, misurati nei diversi sistemi di riferimento ((t = (t’);
Le lunghezze sono uguali, misurate in tutti i sistemi di riferimento (l = l’).
Queste considerazioni sono valide solo per oggetti che abbiano una velocitа molto inferiore a quella della luce (fino a un valore v = 0,1 ( 0,2 C con C = velocitа della luce = 3 ( 108 m/s).
Per la regola della somma fra vettori si ha: EMBED Equation.3 quindi: EMBED Equation.3 da cui: EMBED Equation.3
con v = velocitа nel sistema di riferimento o e v’ = velocitа nel sistema di riferimento o’ .
Per quanto riguarda l’accelerazione possono verificarsi due diversi casi:
Il sistema o’ si muove con velocitа uniforme vR rispetto al sistema o
EMBED Equation.3 da cui, visto che EMBED Equation.3 si ricava: EMBED Equation.3
Nei due sistemi si ha la stessa “legge del moto”.
Il sistema o’ si muove rispetto al sistema o con velocitа vR non costante
EMBED Equation.3 da cui otteniamo: EMBED Equation.3
L’accelerazione non и la stessa in tutti i sistemi di riferimento. Nel sistema di riferimento o’ possono esserci delle accelerazioni dipendenti da aR che vengono chiamate anche “accelerazioni fittizie” in quanto non provocate dall’azione di nessuna forza (v. esempio del tram che frena).
Lezione 6 (11 ottobre 1999)
Le trasformazioni di Galileo furono messe in crisi da esperimenti effettuati nell’Ottocento con i quali si dimostrт che la luce si propaga nel vuoto sempre alla stessa velocitа in qualunque sistema di riferimento. L’errore и dovuto proprio ai due postulati. Ad altissime velocitа (prossime a quelle della luce) si ha una “dilatazione dei tempi” e una “contrazione delle lunghezze”.
D I N A M I C A
La dinamica и la parte della fisica che studia le cause che producono il movimento dei corpi.

Le leggi della dinamica di Newton
La dinamica classica (di Newton) si basa sull’ipotesi che la massa inerziale di un corpo sia costante (indipendentemente dalla sua velocitа). In realtа, secondo la teoria relativistica, la massa di un corpo dipende dalla sua velocitа nel seguente modo: EMBED Equation.3
Se poniamo v = 0,1 C otteniamo: EMBED Equation.3 .
Risulta quindi evidente che, per valori molto inferiori alla velocitа della luce, и possibile considerare la massa come se fosse costante e applicare le leggi della dinamica di Newton.
Dinamica classica
La dinamica classica si prefigge lo scopo di scoprire le cause che determinano una “accelerazione” nei corpi causandone il movimento o, al contrario, arrestandone il moto.
Queste “cause” prendono il nome di “forze” e sono determinate dalle interazioni fra i corpi.
LE TRE LEGGI DELLA DINAMICA DI NEWTON
I) PRINCIPIO D’INERZIA
Un corpo permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo e uniforme fino a che non intervenga una causa (forza) esterna a modificare questo stato di quiete o di moto rettilineo e uniforme.
(Nota: lo stato di quiete и un particolare stato di moto rettilineo e uniforme con v costante = 0).
In un “sistema accelerato” non vale il principio d’inerzia: lo stato di un corpo puт cambiare anche senza che si verifichi alcuna interazione fra i corpi (v. esempio del tram).
Un sistema di riferimento viene definito “sistema di riferimento inerziale” se и possibile verificare che in quel particolare sistema di riferimento и valido il principio d’inerzia (almeno nei confronti del tipo di esperimento che si intende effettuare). Il pianeta terra, per esempio, puт essere considerato un sistema inerziale per certi esperimenti (ad esempio oscillazione del pendolo in un periodo di tempo relativamente breve) e non per altri (ad esempio oscillazione del pendolo in un periodo di tempo relativamente lungo: v. esperimento del pendolo di Foucault).
Osservazione
Se un sistema di riferimento и inerziale allora tutti i sistemi di riferimento che si muovono con velocitа costante (moto rettilineo e uniforme) rispetto ad esso sono sistemi di riferimento inerziali.
Massa inerziale
Definiamo “massa” (inerziale) di un oggetto l’inerzia che ha l’oggetto stesso a cambiare il suo stato di quiete o di moto rettilineo e uniforme. Quando si applica una “forza” a un oggetto questo acquista un’accelerazione che и “inversamente proporzionale” alla sua massa inerziale. A paritа di forza applicata, quindi, un oggetto con massa inerziale maggiore acquisterа un’accelerazione minore di uno con massa inerziale inferiore.
Per misurare la massa si utilizza una “massa campione”. Si applica la stessa forza sia alla massa campione che a quella in esame. Si misurano le accelerazioni ottenute e si ricava il valore della massa cercata nel seguente modo: EMBED Equation.3 (mc e ac indicano rispettiv. massa e accelerazione del campione).
Inoltre si verifica sperimentalmente che l’accelerazione acquistata dal corpo ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza applicata. Anche la forza, infatti, и una grandezza vettoriale.
II) SECONDA LEGGE DELLA DINAMICA
La seconda legge della dinamica и una diretta conseguenza di quanto appena detto.
La forza applicata ad un corpo di massa “m” и uguale al prodotto della massa per l’accelerazione acquistata dal corpo. In pratica si ha: EMBED Equation.3 .
Se ad un corpo si applicano piщ forze per ognuna и valida la legge di Newton. L’accelerazione acquistata dal corpo и determinata dalla “risultante” di tutte le forze applicate: EMBED Equation.3 .
Ovviamente se si ha un “equilibrio di forze”, cioи se la risultante delle forze applicate и “nulla” si avrа un’accelerazione uguale a zero.
III) PRINCIPIO DI AZIONE E REAZIONE
F12 и la forza esercitata da m2 su m1 (agisce su m1)
F21 и la forza esercitata da m1 su m2 (agisce su m2)
Il principio di “azione e reazione” afferma che queste due forze sono uguali in modulo e direzione, ma hanno verso opposto: F12 = - F21.
FORZA PESO
P = m g g = 9,8 m/s2 = accelerazione di gravitа (forza con la quale la Terra e un oggetto si attraggono).
La forza и una grandezza fisica “derivata”.
“Equazione dimensionale”: [F] = [M] [a] = [M L T-2]
Nel sistema MKS (normalmente utilizzato) si ha: F = Kg m s-2 = 1 N (newton)
Nel sistema CGS (ormai in disuso) si ha: F = gr cm s-2 = 1 d (dina)
QUANTITA’ DI MOTO
Definiamo “quantitа di moto” di un oggetto il prodotto della sua massa per la velocitа.
p = m v ( p и parallelo al vettore velocitа e quindi tangente in ogni punto alla traiettoria percorsa
Se ci troviamo in un sistema isolato come quello considerato in precedenza, abbiamo:
EMBED Equation.3 e EMBED Equation.3 da cui, per il “principio di azione e reazione” si ha: EMBED Equation.3
Si verifica uno “cambio di quantitа di moto”: la quantitа di moto persa (o guadagnata) dall’oggetto uno viene guadagnata (o persa) dall’oggetto due.
Osserviamo anche che: EMBED Equation.3 la somma delle quantitа di moto non varia rispetto al tempo (derivata nulla) quindi possiamo affermare che: EMBED Equation.3 и costante.
Principio di conservazione della quantitа di moto
In un sistema isolato la quantitа di moto и costante. Infatti l’esempio da noi considerato su un sistema isolato di soli due oggetti, puт essere esteso al caso di un sistema isolato di “n particelle”.
Si avrа quindi: EMBED Equation.3 (quantitа di moto totale del sistema).
Attenzione! La quantitа di moto delle singole particelle puт variare (e in generale varia). И solo la quantitа di moto totale a rimanere costante.
Esempio
Un fucile di massa mf = 5 Kg spara un proiettile di massa mp = 20 gr a una velocitа vp = 100 m/s.
Calcolare la velocitа di rinculo del fucile.
Condizione iniziale: pf + pp = 0 Condizione finale: pf + pp = 0
EMBED Equation.3 m/s (con verso opposto rispetto a vp).
Lezione 7 (12 ottobre 1999)
Vincoli: forze vincolari
N = “reazione del vincolo”: forza esercitata dal piano sul blocco.
(all’interno del piano sono presenti delle “forze molecolari” che a loro volta controbilanciano la forza N evitando che il piano si deformi).
Se invece ci si trova su un piano inclinato bisogna scindere la forza P nelle sue due componenti Pn e Pt. In questo caso non si avrа piщ N = P, bensм N = Pn.
In questo caso la forza con la quale il blocco schiaccia il piano non и piщ la forza peso, ma solo la sua componente “normale” rispetto al piano (Pn).
Non solo il modulo, ma anche la direzione di N и uguale alla direzione di Pn (ovviamente con verso opposto) e non a quella di P.
La componente normale del peso и equilibrata dalla reazione del vincolo: Pn + N = 0.
La componente Pt invece tende ad accelerare il corpo lungo la direzione del piano.
In assenza di forze frenanti (forze di attrito) si ha: Pt = m a, da cui: a = g sen (.
L’angolo ( и l’angolo formato dal piano sul quale scorre il blocco rispetto alla direzione orizzontale (su un piano orizzontale si ha quindi a = g sen 0 = 0 ( non si ha alcuna accelerazione dovuta all’azione della forza peso). All’aumentare dell’angolo ( si ha un aumento del modulo della componente Pt e, di conseguenza, un aumento dell’accelerazione e una diminuzione della forza con la quale il blocco schiaccia il piano (caso limite: piano verticale ( ( = 90° ( a = g e N = 0).
I VINCOLI PIU’ FREQUENTI
FILO
Esaminiamo il caso di un oggetto appeso ad un filo “inestensibile” (cioи che non si allunga quando vi si appende un oggetto) a sua volta fissato a un piano indeformabile.
Esaminiamo ora quali forze agiscono nel filo:
La tensione applicata dal blocco al filo si trasmette al soffitto: un filo inestensibile di massa trascurabile trasmette semplicemente la tensione da un punto ad un altro.
Per ogni forza si puт identificare una “azione” e una corrispondente “reazione” (uguale e contrario secondo il terzo principio della dinamica). Non sempre perт ci interessa conoscerle entrambe.
Nel caso del filo attaccato al soffitto, per esempio, non ci interessa la forza di reazione esercitata dalle forze molecolari presenti all’interno della struttura del soffitto che ne impediscono la deformazione o il crollo.
GUIDA CIRCOLARE ORIZZONTALE
Esaminiamo il caso di un oggetto che si muove all’interno di una “guida circolare” posta su un piano orizzontale. Il corpo и vincolato dalla presenza della guida a compiere un percorso circolare.
Supponiamo inoltre che la guida sia “indeformabile”.
LE FORZE DI ATTRITO
Fino ad ora abbiamo sempre considerato delle superfici perfettamente “lisce” che non opponessero nessuna resistenza al movimento degli oggetti.
Nella realtа perт ciт non accade mai a causa della presenza delle “forze di attrito”.
Se immaginiamo di appoggiare un oggetto su un piano e poi di inclinare gradualmente il piano stesso vediamo che il corpo non si mette in movimento fino a quando non raggiungiamo un certo angolo di inclinazione (che varia in base alle caratteristiche del piano e dell’oggetto).
Fino a quando il corpo non si mette in movimento significa che la componente Pt della forza peso (quella che dovrebbe determinare l’accelerazione del corpo) и esattamente equilibrata dalle “forze di attrito”. In questo caso si parla di “attrito statico di strisciamento”, cioи di un attrito che si manifesta su un oggetto fermo quando cerchiamo di metterlo in movimento facendolo strisciare.
La forza di attrito non и costante: aumenta proporzionalmente alla forza applicata fino a quando non si raggiunge una situazione di “attrito massimo” oltre la quale il corpo inizia a muoversi.
Il valore “Fas max” (forza di attrito massimo) dipende da due componenti:
la forza (N = Pn) che il corpo esercita sul piano di scorrimento;
il “coefficiente di attrito statico” ((s): un parametro che dipende dalle caratteristiche delle superfici che vengono a contatto.
Quindi: Fas max = (s N ; (possiamo anche dire che in ogni momento si ha Fas ( (s N).
La direzione del vettore Fas и sempre uguale (ma di verso opposto) a quella della forza che causa il movimento del corpo al quale Fas si oppone.
Attrito dinamico di strisciamento
A differenza della forza di attrito statico, la forza di attrito dinamico и costante.
Si ha: Fad = (d N (dove (d indica il “coefficiente di attrito dinamico” e N = Pn).
Misura del coefficiente di attrito statico
Fino a quando l’oggetto non si muove significa che c’и “equilibrio di forze” nelle due direzioni:
“ortogonale” al piano: Pn + N = 0
“parallela” al piano: Pt + Fas = 0
Dalla seconda relazione otteniamo che Fas max = Pt, ma si ha anche Fas max = (s m g cos (, quindi: m g sen ( = (s m g cos ( ( (s = tg (.
Il “coefficiente di attrito” и determinato dal rapporto fra due forze, quindi risulta adimensionale.
Altri tipi di attrito
Oltre al tipo di attrito fin qui esaminato, ne esistono altri due tipi:
attrito volvente: attrito causato da un corpo che “rotola” (per esempio una ruota che gira). Il suo valore и generalmente molto basso.
attrito viscoso: attrito esercitato da un fluido (un gas o un liquido) su un corpo che si muove all’interno di esso. La direzione della forza di attrito и opposta a quella del vettore v che indica la velocitа di movimento del corpo.
Si ha: Fav = k ( v
k = coefficiente geometrico (“cx” ( dipende dalla forma dell’oggetto)
( = viscositа del fluido (dipende dalle caratteristiche del fluido stesso)
Esaminiamo il caso di un corpo in caduta libera in un fluido
Consideriamo la velocitа iniziale uguale a zero: l’attrito, di conseguenza, sarа nullo. All’aumentare della velocitа si avrа un progressivo aumentare dell’attrito viscoso. Ad un certo punto perт la forza di attrito viscoso controbilancerа esattamente la forza peso.
A questo punto (cioи quando mg - k(v = 0) l’accelerazione diventa nulla e la velocitа resta costante.
A causa della presenza dell’attrito viscoso, quindi, un corpo in caduta libera non puт acquistare una velocitа superiore ad una certa velocitа limite (dipendente dal coefficiente geometrico del corpo e dal coefficiente di attrito viscoso del fluido): EMBED Equation.3 .
Lezione 8 (18 ottobre 1999)
Tipi di forze in Natura
In Natura esistono solo quattro tipi di forze:
Forze gravitazionali (si esercitano fra le masse: agiscono a livello macroscopico);
Forze elettromagnetiche (si esercitano fra le cariche: agiscono fra le molecole; mantengono unito l’atomo e sono responsabili delle “forze di attrito”);
Forze deboli (o interazioni nucleari deboli: si trovano nei “decadimenti radioattivi”);
Forze nucleari (si esercitano all’interno del nucleo atomico).
L’ordine di grandezza dell’intensitа di queste forze и notevolmente diverso. Se poniamo idealmente l’intensitа delle forze nucleari pari a “1”, avremo che l’intensitа delle forze deboli e dell’ordine di 10-7, quella delle forze elettromagnetiche и dell’ordine di 10-2 e quella delle forze gravitazionali и dell’ordine di 10-38. L’intensitа di queste forze, perт, varia notevolmente in base alla distanza che divide i “corpi” sui quali agisce: l’intensitа della forza gravitazionale, ad esempio, и inversamente proporzionale al quadrato della distanza, mentre le forze nucleari sono molto forti solo per particelle particolarmente vicine, ma decrescono molto rapidamente all’aumentare della distanza.
Nota: In realtа due oggetti non si “toccano” mai, infatti, quando la distanza fra di essi и sufficientemente piccola, entrano in azione le forze elettromagnetiche: le cariche di segno opposto di attirano e quelle dello stesso segno si respingono. I contatti fra due corpi (a livello macroscopico) sono solo “apparenti”.
Il concetto di “campo”
Per spiegare come avvenga l’interazione fra due oggetti sottoposte alle varie forze, nell’Ottocento Faraday introdusse il concetto di “campo”.
Ogni oggetto genera intorno a sй un campo (gravitazionale, elettrico, ecc.) che esiste in maniera del tutto indipendente rispetto alla presenza di altri oggetti e che si estende all’infinito.
Per esempio: il Sole, possedendo una massa “M” genera intorno a sй un “campo gravitazionale” che esiste comunque indipendentemente dalla presenza della Terra o di altri corpi celesti. Se inseriamo la Terra all’interno del campo gravitazionale generato dal Sole vediamo che su di essa viene esercitata una forza F che “attira” la Terra verso il Sole.
Una situazione analoga si ha per le forze elettromagnetiche che generano un “campo elettrico”.
LAVORO DI UNA FORZA
Consideriamo un oggetto puntiforme di massa “m” che si muova sotto l’azione di una forza (il concetto di “lavoro” и sempre legato a uno spostamento).
Osservazione:
Tenendo conto delle proprietа del prodotto scalare di due vettori possiamo affermare che:
dW assume il massimo valore positivo se F e ds sono paralleli e hanno lo stesso verso;
dW assume il massimo valore negativo se F e ds sono paralleli, ma hanno verso opposto;
dW assume valore nullo se F e ds sono ortogonali (ad esempio forza peso che agisce su un oggetto che si sposta su un piano orizzontale).
Se consideriamo un punto che si muove lungo una traiettoria finita (da un punto A ad un punto B) possiamo definire il “lavoro finito” W svolto dalla forza F:
EMBED Equation.3
ENERGIA CINETICA
Quando un corpo si muove con velocitа v questo ha un’energia cinetica (o di movimento) che и pari a: EMBED Equation.3 (grandezza scalare sempre positiva che si misura in “joule”).
Teorema dell’energica cinetica
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
(solo la componente tangenziale della forza compie lavoro, la componente normale NO).
EMBED Equation.3
Il lavoro compiuto da una forza и uguale alla differenza fra l’energia cinetica finale e quella iniziale.
L’energia cinetica varia tutte le volte che varia il “modulo” della velocitа (se si cambia solo la direzione della velocitа non si hanno variazioni di energica cinetica).
Questo teorema vale per “qualsiasi tipo di forza”. Nella dimostrazione abbiamo applicato solo l’ipotesi che la massa fosse costante (e questo и sempre vero nella “dinamica classica”), non abbiamo fatto alcuna ipotesi sulla natura della forza, quindi possiamo dire che vale per ogni F.
Forze conservative
Una forza и conservativa se il lavoro da essa svolto dipende SOLO dai punti “iniziale” e “finale” dello spostamento e NON dalla traiettoria seguita (es. forza peso, forze elastiche, ecc.).
Dimostriamo che la “forza peso” и una forza conservativa
EMBED Equation.3
Il lavoro effettuato dipende solo dalla coordinata “y” del punto iniziale e del punto finale, non dalla traiettoria percorsa, quindi possiamo affermare che la forza pesт и una forza conservativa.
ENERGIA POTENZIALE (o energia di posizione)
L’energia potenziale di un punto materiale dipende dalla sua “posizione” ed и “associata” alla presenza di una “forza conservativa”. Anche questa si misura in Joule.
In presenza di una “forza conservativa” possiamo dire che: W = Epi - Epf.
Ad esempio, nel caso precedentemente considerato, della forza peso si ha Ep = m g y + c
“c” и una costante che dipende dal valore di riferimento rispetto al quale calcoliamo l’altezza y (il suo valore и praticamente ininfluente in quanto lavorando su “differenze” di energia potenziale e non su valori assoluti la costante viene “eliminata” e non influisce sul risultato finale).
Teorema di conservazione dell’energia totale meccanica (vale solo per le forze conservative)
Quando sul moto di un corpo agiscono SOLO forze conservative si ha:
EMBED Equation.3
Se definiamo l’energia totale meccanica come: E = Ec + Ep , possiamo affermare che, durante un moto sotto l’azione di forze conservative, l’energia totale meccanica si mantiene costante.
Possiamo anche dire che: EMBED Equation.3 .
Si ha uno trasformazione di “forme di energia”: ciт che viene perso come energia cinetica viene acquistato come energia potenziale e viceversa.
Lezione 9 (19 ottobre 1999)
Abbiamo dimostrato che la forza peso и una forza costante.
Sappiamo anche che la forza peso: EMBED Equation.3 и una forza costante in modulo, direzione e verso (nell’ipotesi di essere sufficientemente vicino alla superficie terrestre da poter tralasciare la curvatura della Terra e la variazione di g in base alla distanza dal centro della Terra).
И possibile estendere la dimostrazione effettuata per la forza peso a tutte le forze costanti (prendendo un sistema di riferimento diretto secondo la direzione della forza stessa) e affermare che: le forze “costanti” sono tutte “conservative”.
Quindi, in presenza di forze costanti, vale il “principio di conservazione dell’energia meccanica”.
Macchina di Atwood
Proviamo a calcolare la velocitа delle due masse (si noti che и la stessa per entrambe) quando la massa m2 и scesa di (h (quindi, analogamente, la massa m1 sarа salita di (h).
EMBED Equation.3
Lo stesso risultato si potrebbe ottenere effettuando delle “considerazioni energetiche”, cioи applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica (si noti che и possibile in quanto nel sistema agisce solo la forza peso che и una forza conservativa).
Si tenga conto che le considerazioni energetiche devono essere fatte sul “sistema” nella sua totalitа e non sulle singole masse.
EMBED Equation.3
Pendolo semplice
Conservazione dell’energia
In qualunque punto del movimento del pendolo (trascurando la presenza delle forze di attrito) si ha:
EMBED Equation.3
In assenza di forze dissipative il pendolo compie delle “oscillazioni persistenti” intorno alla propria posizione di equilibrio.
Se fossero presenti delle forze dissipative si avrebbero invece delle “oscillazioni smorzate”.
Piccole oscillazioni
Quando l’angolo ( и abbastanza piccolo (cioи sia tale che “sen ( ( (”) si puт dimostrare che le oscillazioni compiute dal pendolo sono delle “oscillazioni armoniche”.
EMBED Equation.3
(( и l’accelerazione angolare; ( и la pulsazione del pendolo; il segno - compare perchй la forza che agisce sul pendolo и una “forza di richiamo” che tende a riportarlo nella posizione di equilibrio, quindi l’accelerazione ha sempre verso opposto a quella nella quale avviene il movimento).
Si ha anche EMBED Equation.3 cioи la pulsazione del pendolo и determinata solo dal valore di g e dalla lunghezza del filo (non dipende dalla massa attaccata al filo) e si ha: EMBED Equation.3 .
(Un pendolo lungo 1 m ha un periodo di oscillazione di circa 2 secondi).
Se gli angoli sono piщ grandi le oscillazioni sono sempre periodiche, ma non sono piщ armoniche.
Forze elastiche
Sono delle forze che “contrastano le deformazioni”.
Quando si deforma un oggetto si creano al suo interno delle forze proporzionali alla deformazione stessa che, una volta eliminata la forza che l’aveva causata, tendono a eliminare la deformazione ritornando alla situazione iniziale (sempre che non sia stata superata la caratteristica di “elasticitа” propria del corpo che и stato deformato).
Un classico esempio и quello di una “molla”.
Si ha: F = - k x (k и detta “costante elastica” e dipende dal materiale con cui и costruita la molla)
Energia potenziale elastica
EMBED Equation.3
Il lavoro compiuto dipende solo dall’allungamento della molla: la forza elastica и una forza conservativa.
Definiamo “energia potenziale elastica”: EMBED Equation.3 cost ( W = Epi - Epf = Ecf - Eci.
Vale il principio di conservazione dell’energia meccanica.
In una situazione fisica reale и possibile che si debbano considerare contemporaneamente piщ energie potenziali diverse (ad esempio nel caso di un oggetto “appeso” a una molla), in questo caso si puт affermare che: EMBED Equation.3 .
Lezione 10 (25 ottobre 1999)
La relazione: Forza elastica F = - k x prende il nome di “legge di Hooke”.
La costante elastica “k” si misura in N/m.
Quando si sposta un oggetto attaccato a una molla dalla sua “posizione di equilibrio” il sistema “molla + massa” acquista energia. Dal momento che vale il principio di conservazione dell’energia meccanica и evidente che questa “energia acquisita” deve essere fornita dall’esterno.
L’aumento di energia del sistema и uguale al “lavoro” compiuto dalle forze esterne.
Per effetto delle forze esterne che comprimono o allungano la molla il sistema acquista una certa “energia potenziale iniziale” pari a EMBED Equation.3 (in questo momento si ha Ep = max e Ec = 0).
Quando si elimina l’azione delle forze esterne lasciando l’oggetto libero di muoversi quest’ultimo sarа soggetto all’azione di una “forza di richiamo” che tenderа a riportare l’oggetto nella posizione di equilibrio. Il sistema perderа gradualmente energia potenziale che si trasformerа in energia cinetica. Una volta raggiunta la posizione di equilibrio si avrа: Ep = 0 e Ec = max.
Il sistema continua comunque a muoversi nella stessa direzione ritrasformando gradualmente energia cinetica in energia potenziale fino a raggiungere la posizione “-x0” nella quale si avrа nuovamente Ep = max e Ec = 0.
И evidente che il sistema avrа velocitа massima nel punto di equilibrio e nulla nei due punti estremi; per l’accelerazione invece si avrа un massimo nei due estremi e zero nel punto di equilibrio.
In assenza di forze di attrito il sistema oscilla indefinitamente tra la posizione x0 e la posizione -x0.
Si puт dimostrare che si tratta di “oscillazioni armoniche”.
EMBED Equation.3
dove la pulsazione ( и uguale a EMBED Equation.3 , da cui si ottiene che il periodo T и uguale a EMBED Equation.3 .
I valori xo e ( che compaiono nell’equazione del moto armonico dipendono dalle condizioni iniziali del sistema. Il periodo di oscillazione invece dipende solo dalle caratteristiche del sistema (massa e costante elastica della molla), ma, come nel caso del pendolo, non dipende dall’allungamento x0.
Il tempo impiegato per compiere un’oscillazione completa (in assenza di attrito) и indipendente dall’ampiezza dell’oscillazione stessa (se l’oscillazione и piщ ampia risulterа maggiore la velocitа).
Nella realtа la presenza delle forze d’attrito genera delle “oscillazioni smorzate” fino a fermare il sistema nella sua posizione di equilibrio (si ha: EMBED Equation.3 ( presenza di attrito viscoso).
EMBED Equation.3 .
La soluzione di questa equazione differenziale del secondo ordine corrisponde all’equazione del “moto armonico smorzato”. Il fattore di smorzamento (che dipende dalla velocitа e dalla massa dell’oggetto) causa l’introduzione nella soluzione di un esponenziale negativo.
Massa “appesa” a una molla
Per misurare le forze spesso si usa un “dinamometro” il cui principio di funzionamento и basato sulla “misura” dell’allungamento di una molla sotto l’azione di una forza.
Si raggiunge la posizione di equilibrio quando la forza peso и bilanciata esattamente dalla forza elastica della molla, quindi si avrа: EMBED Equation.3 .
Nella situazione iniziale si ha: Ecinetica = 0 - Epot.molla = 0 - Epot.peso = max.
Quando l’oggetto viene lasciato libero la molla si allunga verso il basso: si ha una perdita di energia potenziale della forza peso che si trasforma in energia cinetica e energia potenziale elastica.
Una volta raggiunta la posizione di equilibrio l’oggetto continuerа a muoversi trasformando l’energia cinetica acquistata in energia potenziale elastica raggiungendo una posizione simmetrica a quella iniziale rispetto al punto di equilibrio (allungamento totale: l + 2xeq).
In questo caso si ha un bilancio della “conservazione dell’energia” con due diverse energie potenziali (peso e elastica).
EMBED Equation.3 (x = allungamento totale molla)
Interazione gravitazionale e “legge di gravitazione universale”
Prese due masse puntiformi poste a una certa distanza “r” fra queste due masse si esercita una forza di tipo attrattivo direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza: EMBED Equation.3
(G = costante di gravitazione universale = 6.67 10-11 N m2 / Kg2; la misura di questa costante и molto “delicata” in quanto bisogna supporre che le due masse interagiscano solo fra di loro, senza interferire con altre masse del mondo esterno).
Osservazione
Il concetto di “massa gravitazionale” и teoricamente diverso da quello di “massa inerziale”.
Infatti la “massa gravitazionale” и la proprietа di un oggetto che fa sм che esso interagisca con altri oggetti attraendoli e venendo a sua volta attratto da essi.
La “massa inerziale” invece и l’inerzia che ha un corpo a cambiare il suo stato di quiete o di moto rettilineo e uniforme.
In realtа si puт dimostrare che hanno lo stesso valore, si puт quindi parlare genericamente di “massa” senza distinguere tra “inerziale” e “gravitazionale”.
Supponiamo che una delle due masse sia ferma (per esempio se и molto maggiore dell’altra oppure se и fissata). Consideriamo solo la forza che agisce sulla massa in movimento.
La Forza di gravitа и una “forza centrale”, ciт diretta sempre verso uno stesso punto che viene detto “centro di forza” (sarebbe centrale anche se avesse verso opposto).
Energia potenziale gravitazionale
Dimostriamo che il lavoro fatto dalla forza gravitazionale dipende solo dal punto iniziale e da quello finale e non dal percorso compiuto.
EMBED Equation.3 : il lavoro svolto non dipende dalla traiettoria.
Possiamo quindi definire l’energia potenziale gravitazionale: EMBED Equation.3 e affermare che, come nei casi precedenti si ha: W = Epi - Epf.
La forza gravitazionale и una forza centrale. Si puт dimostrare che tutte le forze centrali sono conservative (si puт applicare il principio di conservazione dell’energia meccanica).
Nota: la forza peso (studiata in precedenza) и un caso particolare di “interazione gravitazionale”.
Conoscendo il valore della massa e del raggio della Terra и possibile calcolare il valore di g.
EMBED Equation.3 .
In realtа и abbastanza facile calcolare sperimentalmente il valore di g.
Questo procedimento и stato applicato in senso inverso per calcolare la massa della Terra.
Lezione 11 (26 ottobre 1999)
Relazione tra forza ed energia potenziale (nelle Forze Conservative).
EMBED Equation.3 : il lavoro compiuto dipende solo dal punto iniziale e da quello finale.
Energia di posizione: Ep = f (x, y, z) ( coordinate spaziali “cartesiane”
Ep = f (r, (, () ( coordinate spaziali “sferiche”
(r = raggio della terra, ( = latitudine, ( = longitudine)
Superfici equipotenziali
Una “superficie equipotenziale” и il luogo dei punti nei quali si ha Ep = costante.
La forma della superficie equipotenziale dipende ovviamente dall’equazione che esprime Ep.
Esempio: Forza peso ( Ep = m g y (solo funzione di y)
Le superfici equipotenziali sono dei piani paralleli alla superficie terrestre.
Forza gravitazionale ( Ep = EMBED Equation.3 (solo funzione di r)
In questo caso и piщ pratico utilizzare le coordinate polari.
Le superfici equipotenziali sono delle superfici sferiche.
Si osserva anche che il vettore di una forza conservativa и diretto sempre ortogonalmente alla sua superficie equipotenziale e punta nel verso nel quale l’energia potenziale decresce.
Infatti se ci muoviamo lungo una superficie equipotenziale si ha Ep = costante e quindi W = 0.
Dal momento che EMBED Equation.3 si deve avere necessariamente ( = 90° (assumendo che sia lo spostamento che la forza abbiano modulo diverso da zero).
Conoscendo la formula che esprime l’energia potenziale и possibile ricavare il vettore della corrispondente forza conservativa F.
Infatti visto che: EMBED Equation.3 possiamo dire che la quantitа EMBED Equation.3 и il “differenziale esatto” della funzione Ep cambiato di segno.
EMBED Equation.3 variazione della funzione Ep al variare di x, y e z (di dx, dy e dz).
EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3
da cui si ha: EMBED Equation.3 .
Nota: Ep и una grandezza scalare, mentre il “gradiente di Ep” и una grandezza vettoriale.
Si ha un gradiente ogni volta che si ha una “variazione” nella grandezza considerata.
Dal momento che F = - grad (Ep) si puт dire che il gradiente и sempre ortogonale alla superficie equipotenziale e punta nel verso nel quale l’energia potenziale aumenta.
Punti di Equilibrio (grafici dell’energia potenziale)
Disegniamo una ipotetica curva che rappresenti un energia potenziale funzione della sola x:
Il punto A и un “punto di equilibrio instabile”: non appena un corpo inizialmente fermo in A si sposti, per una causa qualsiasi, in una delle due direzioni le forze legate all’energia potenziale tenderanno ad allontanarlo definitivamente dal punto di equilibrio.
Il punto B и un “punto di equilibrio stabile”: non appena un corpo inizialmente fermo in B si sposti, per una causa qualsiasi, in una delle due direzioni le forze legate all’energia potenziale tenderanno a riportarlo nella posizione di equilibrio stabile.
Lavoro su una linea chiusa (circuitazione di F)
Una forza conservativa compie un lavoro nullo agendo lunga una linea chiusa.
In generale, quando si parla di “circuitazione”, non и detto che ci si riferisca ad un “lavoro”.
Si ha la “circuitazione di un vettore” quando si calcola l’integrale lungo una curva chiusa del prodotto scalare del vettore stesso per il vettore ds.
Il vettore potrebbe non essere una forza, ma un vettore qualsiasi. In questo caso quindi non si parla piщ di “forze conservative”, ma di “campo conservativo”.
FORZE NON CONSERVATIVE (Le Forze di Attrito)
Dimostriamo che le forze d’attrito non sono conservative, cioи che il lavoro da esse svolto “dipende” dalla traiettoria percorsa.
Nota: Le forze di attrito hanno sempre la stessa direzione del movimento, ma con verso opposto; quindi l’angolo compreso tra i vettori “forza” e “spostamento” sarа di 180° (( radianti).
EMBED Equation.3
(S1 rappresenta la “lunghezza del percorso” compiuto tra i e f; abbiamo anche supposto, per semplicitа di calcolo, che la forza fosse costante, ma questa ipotesi non и necessaria).
Abbiamo dimostrato che il lavoro svolto dalle forze di attrito и uguale alla “forza” esercitata per la “lunghezza del percorso”. Quindi se si cambia il percorso anche il lavoro compiuto cambia.
In presenza di forze non conservative NON si puт applicare il principio di conservazione dell’energia meccanica, и comunque valido il teorema dell’energia cinetica.
EMBED Equation.3
Non si ha piщ conservazione dell’energia meccanica.
Dal momento che le forze di attrito producono sempre un lavoro negativo si avrа Ef < Ei (l’attrito fa perdere energia meccanica). Globalmente comunque l’energia si conserva. La parte di energia meccanica “persa” a causa dell’attrito si trasforma in altre forme di energia (es. energia termica).
IMPULSO DI UNA FORZA
In generale le forze applicate non sono costanti, ma variano in funzione del tempo.
Osservazione: per ottenere la stessa variazione di quantitа di moto non и necessario applicare sempre una stessa forza, и sufficiente che le due forze applicate abbiano lo “stesso impulso” (cioи che l’area sottesa alla curva che rappresenta la variazione della forza rispetto al tempo sia la stessa).
Forze impulsive
Sono forze molto intense che agiscono per un tempo molto breve (ad esempio nel caso degli urti).
Momento della quantitа di moto (o momento angolare)
Momento della forza
Relazione fra “momento angolare” e “momento della forza”
EMBED Equation.3
Conservazione del momento angolare
Vogliamo scoprire quando si “conserva” il momento angolare, cioи in quali condizioni L и costante.
EMBED Equation.3
Il momento angolare si conserva se non c’и nessun momento di forza, quindi se la risultante delle forze applicate и nulla oppure и applicata parallelamente al vettore posizione (ad esempio nel caso di una forza centrale quando l’origine и nel centro di forza).
Lezione 12 (2 novembre 1999)
Sistemi di particelle
Sistema discreto: sistema costituito da un certo numero di “particelle puntiformi”.
Sistema continuo: corpo rigido (lo trattiamo in modo analogo al caso precedente immaginando di dividerlo in tanti elementini di massa dm ognuno dei quali sia abbastanza piccolo da poter essere considerato puntiforme).
Centro di massa: punto ideale di un corpo nel quale (almeno per certi tipi di problemi) si puт pensare che sia “concentrata” tutta la massa del corpo (coincide con il “centro di gravitа”).
Ad esempio un corpo sferico di densitа uniforme avrа il centro di massa nel centro della sfera.
Centro di massa di un sistema di particelle
immaginiamo di avere due corpi di massa “m” posti sull’asse x rispettivamente nel punto x1 e nel punto x2, allora possiamo dire che: EMBED Equation.3 (media aritmetica);
se invece i due corpi avessero massa diverse (rispettivamente m1 e m2) il centro di massa risulterebbe “spostato” verso la massa piщ grande: EMBED Equation.3 (media ponderata);
estendendo quanto sopra a un generico sistema formato da “n” particelle e lavorando in tre dimensioni si ha: EMBED Equation.3 (dove con ri intendiamo il vettore posizione della i-esima particella e con M la massa totale del sistema).
Centro di massa di un corpo rigido
Operiamo in modo analogo al caso di “n” particelle. Supponiamo di dividere il corpo in tante masse dm tanto piccole da poter essere considerate puntiformi e poi integriamo: EMBED Equation.3 .
In realtа il calcolo non viene effettuato sulla massa, ma sul volume applicando la relazione EMBED Equation.3 (dove ( rappresenta la “densitа” del corpo, che puт essere o meno uni