Teorema Pitagora e Euclide

Materie:	Appunti
Categoria:	Geometria
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Data:	30.05.2005
Numero di pagine:	2
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• TEOREMA DI PITAGORA
T. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa и equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Sia ABC il triangolo. Costruiamo sull’ipotenusa il quadrato BCDE, sul cateto AB il quadrato che indicheremo con Q1 e sul cateto AC il quadrato contrassegnato con Q2. Vogliamo dimostrare che il quadrato costruito sull’ipotenusa и equivalente alla somma dei quadrati Q1, Q2 costruiti sui cateti. Condotta per A la perpendicolare a BC, si viene a scomporre il quadrato BCDE nei due rettangoli BLME, LCDM che indicheremo rispettivamente con R1, R2. Per il primo teorema di Euclide abbiamo: R1=Q1; R2=Q2.
Da ciт segue per il terzo postulato sull’equivalenza che R1 + R2=Q1 + Q2.
Dunque, il quadrato costruito sull’ipotenusa и equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

• PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE
T. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto и equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
Dato il triangolo ABC si costruiscano, come mostra la figura, il quadrato ABDE=Q ed il rettangolo BFGH=R, avente per dimensione la proiezione BF del cateto BA sull’ipotenusa ed il segmento BH uguale all’ipotenusa BC. Vogliamo dimostrare che Q = R. Le rette BH ed AF intersecano la retta DE rispettivamente nei punti I e K. Il quadrilatero IKAB = P и un parallelogramma perchй i suoi lati opposti sono paralleli per costruzione.
I triangoli rettangoli ABC, DBI sono uguali in quanto hanno: AB=DB come lati del quadrato Q, ABC=DBI perchй complementari dello stesso angolo IBA. Segue da ciт che sono uguali le loro ipotenuse BC,BI. D’altra parte и BC=BH per costruzione. Per cui si conclude che и BI=BH. Il rettangolo R ed il parallelogramma P, oltre ad avere uguale altezza BF (perchй compresi fra le parallele HI, GK), hanno dunque uguali anche le basi BI, BH; per cui essi sono equivalenti. Analogamente sono equivalenti il parallelogramma P ed il quadrato Q che hanno la stessa base AB ed uguali altezze (perchй entrambi compresi nella striscia di lati BA, DK). Pertanto, avendosi R=P e P=Q, si conclude che R=Q.

• SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE
T. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa и equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Dato il triangolo ABC, si costruiscano sull’altezza AD relativa all’ipotenusa, sulla proiezione BD del cateto BA e sul cateto BA, rispettivamente i quadrati: ADGH=Q1; DBIK=Q2 ; Baml=Q3.
Si costruisca poi il rettangolo IFEK=R avente le dimensioni IF, IK rispettivamente uguali alle proiezioni DC, BD dei cateti sull’ipotenusa e si osservi che il rettangolo BFED=Q2 + R ha l’altezza BF uguale all’ipotenusa BC. Vogliamo dimostrare che Q1 = R. Per il primo teorema di Euclide e per il teorema di Pitagora apllicati rispettivamente ai triangoli rettangoli ABC, ADB, abbiamo:
Q3=Q2 + R; Q3=Q1 + Q2.
Ne segue, per la proprietа transitiva dell’equivalenza che Q1 + Q2 = Q2 + R. Sottraendo Q2 da ambo i membri otteniamo Q1=R.