Grandezze omogenee

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Categoria:	Geometria
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Data:	30.05.2005
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GRANDEZZE OMOGENEE E LORO MISURA
CLASSI DI GRANDEZZE
Due grandezze si dicono omogenee se si possono confrontare e si possono sommare; per esempio due segmenti o due angoli sono grandezze omogenee, un segmento ed un’area non sono grandezze omogenee perchй non ha senso confrontarle o sommarle.
Un insieme di enti geometrici costituisce una classe di grandezze omogenee o della stessa specie,ogni volta che per tali enti possono definirsi i concetti di uguaglianza e di disiguaglianza, nonchи l'operazione di addizzione.
Due grandezze non omogenee si dicono eterogenee.
Proprietа:
1)Ogni grandezza и uguale a se stessa (riflessiva)
2)Se una grandezza A и uguale ad una grandezza B, allora B и uguale ad A (simmetrica)
3)Due grandezze uguali ad una terza sono uguali tra loro (transitiva)
4)Se una grandezza и maggiore di un'altra e questa и maggiore di una terza allora la prima и maggiore della terza.(transitiva della disuguaglianza) Se A>B e se B>C allora A>C
5)Date due grandezze A e B, si verifica sempre uno ed uno solo dei seguenti casi: A=B, AB
6)La somma di due o piщ grandezze non cambia se si cambia l'ordine di esse (commutativa)
7)La somma di due o piщ grandezze non cambia se a due o piщ di esse si sostituisce la loro somma(associativa)
8)Somme di grandezze uguali sono uguali
9)Differenze di grandezze uguali sono uguali.
MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI DI UNA GRANDEZZA
*Data una grandezza B ed un numero naturale m, la grandezza A somma di m grandezze tutte uguali a B si dice multipla di B secondo m. A= mB
*B и sottomultipla di A secondo il numero m. B= 1/m A
Postulato della divisibilitа.Ogni grandezza и sempre divisibile in un numero qualunque di parti uguali.
Ammette che esiste sempre la sottomultipla B di A secondo m: B=1/m A ossia A= mB
Postulato di Eudosso-Archimede.Date due grandezze omogenee disuguali,esiste sempre una multipla della minore che supera la maggiore.
GRANDEZZE COMMENSURABILI ED INCOMMENSURABILI
Due grandezze omogenee si dicono commensurabili se ammettono una sottomultipla comune; si dicono incommensurabili se non ammettono una sottomultipla comune.
T. Il latoe la diagonale di un quadrato sono segmenti incommensurabili.
RAPPORTO DI DUE GRANDEZZE
*Il rapporto di due grandezze commensurabili и un numero razionale
T. Se il rapporto di due grandezze и un numero razionale, allora le due grandezze sono commensurabili
*Il rapporto di due grandezze incommensurabili и un numero irrazionale
NUMERI REALI=Due numeri reali sono uguali se hanno gli stessi valori approssimati per difetto e per eccesso.
POSTULATO DELLA CONTINUITA'=Due insiemi separati di grandezze di una stessa classe ammettono almeno un elemento di separazione.
T. Due insiemi continui di grandezze ammettono un solo elemento di separazione.
MISURA DELLE GRANDEZZE= Dicesi misura di una grandezza A rispetto ad un'altra U omogenea con A, il numero reale che espime il rapporto di A ad U. A/U=
T. Il rapporto di due grandezze omogenee и uguale al quoziente delle loro misure rispetto ad una stessa unitа.

PROPORZIONI TRA GRANDEZZE= Quattro grandezze A,B,C,D, si dicono in proporzione se il rapporto tra A e B и uguale al rapporto tra C e D. A:B=C:D
T. la condizione necessaria affinchи quattro grandezze siano in proporzione, и che siano in proporzione le loro misure.
Proprietа:
1)In ogni proporzione tra grandezze si puт scambiare ogni antecedente col suo conseguente (prop. dell'invertire) B:A=A:D
2)In ogni proporzione tra grandezze tutte omogenee, si possono scambiare i medi oppure gli estremi (prop. del permutare) A:C=B:D e D:B=C:A
3)In ogni proporzione tra grandezze la somma dei promi due termini sta al primo come la somma degli altri due termini sta al terzo. (prop. del comporre) (A+B):A=(C+D):C e (A+B):B(C+D):D
4)In ogni proporzione tra grandezze,se ogni antecedente и maggiore del proprio conseguente,la differenza tra il primo ed il secodo termine sta al primo come la differenza tra il terzo ed il quarto termine sta al terzo. (A-B):A=(C-D):C e (A-B):B=(C-D):D
5)In ogni serie di rapporti uguali tra grandezze tutte omogenee,la somma degli antecedenti sta a quella dei conseguenti come un antecedente sta al proprio conseguente. (A+C+E):(B+D+F)=C:D
6)Se quattro grandezze sono in proporzione,secondoche la prima и uguale ,maggiore o minore della seconda,anche la terza и uguale ,maggiore o minore della quarta.
7) TEOREMA DELLA QUARTA PROPORZIONE.Date tre grandezze A,B,C con A e B omogenee tra loro,esiste ed и unica la grandezza D,omogenea con C, che и quarta proporzionale dopo A,B,C.
8)COROLLARIO.Se due proporzioni hanno tre termini ordinamente uguali,allora anche i rimanenti termini sono uguali.