Geometria non euclidea

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Categoria:	Geometria
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Geometrie non euclidee
Le origine della geometria risalgono ai tempi preistorici ed alla attività pratica dell’uomo che ricavò dalla natura i cocenti delle varie figure geometriche. Così si formarono le idee di cerchio e semicerchio dell’osservazione della luna, l’idea del piano della superficie liscia di un lago, l’idea di retta dalla linearità di un raggio di sole…
“La geometria fu scoperta dagli egizi sulla base delle loro misurazioni del terreno. Tali misure erano rese necessarie dalle innondazioni del Nilo che periodicamente cancellavano i confini”.
EUCLIDE
Si conosce poco della vita di Euclide. Le leggende lo dipingono come un uomo vecchio di temperamento gentile. Insegava matematica nella celebre università da Alessandria d’Egitto. La sua opera fondamentale gli “Elementi” raccoglie ed organizza in tredici volumi la matematica conosciuta fino a quei tempi. Con rigore e chiarezza esprime le sue idee originali e quelle die matematici quali Talete, Pitagora ed Eudosso.
Quinto postulato: per un punto P passa una sola retta b parallela ad una retta data a.
BOLYAI
L’ungherese Farks, insegnante di matematica, insieme all’amico Gauss, aveva dedicato gran parte dellqa sua vita ai tentativi di dimostrare il postulato delle parallele arrivando alla conclusione che erano possibili geometrie diverseda quella euclidea. Quando il figlio Jqanos (1802-1860) brillante ufficiale dell’esercito, si immerse pure lui nello studio delle parallele, gli scrisse “per amor del cielo di desistere al tentativo…”. Invece Janos nel 1829 giunse alla stessa conclusione a cui arrivò Lobacevsjj pochi anni prima. Nella “scienza assoluta dello spazio”.
PER UN PUNTO ESTERNO A UNA RETTA SI POSSONO TRACCIARE NELLO STESSO PIANO, INFINITE RETTE PARALLELE A QUELLA DATA.
Il padre la pubblicò in forma di appendice ad un proprio trattato, dal lungo titolo conosciunto semplicemente con il nome di Tentamen. sebbene il trattato rechi una licenza di stampa datata 1829 in realtà l’opera fu pubblicata soltanto nel 1832.
LOBACESVKIJ
Figlio di un modesto funzionario governativo, Nicolaj rimase orfano a sette anni. Nonostante le difficoltà finanziarie della famiglia, il giovane fu mandato a studiare all’Università di Kazan, dove venne in contatto con ottimi professori fatti venire dalla Germania, tra cui J.M. Bartels (maestro di Gauss). A ventun anni Nicolaj era già membro del corpo insegnante e nel 1827 fu nominato Rettore all’Università di Kazan, dove svolse attività didattica ed amministrativa per tutta la via. Nicolaj era stato educato secondo i principi della tradizione matematica tedesca e con interessi prevalntemente rivolti alla geometria tanto da essere considerato il “Copernico della Geometria”. Infatti rivoluzionò questo campo della matematica, mediante la creazione di una intera branca assolutamente nuova, la geometria lobacevskijana (1826), mostrando come la geometria euclidea non fosse quella scienza esatta depositaria di verità assolute quale era stata precedentemente considerata. Nel 1829 Nicolaj pubblicò sul Kazanski Vestnik (Gazzetta do Kazan) il saggio “O nacalach geometrii” (sui principi della geometria) che segna la nascita ufficiale della geometria non euclidea che chiamò “Geometria immaginaria” e poi “Pangeometria universale”.
RIEMANN
Figlio di un pastore protestante, Riemann fu allevato in condizioni molto modeste, conservando per tutta le vita un corpo fragile e maniere timidi. Tuttavia riuscì a preoccuparsi una educazione di ottimo livello, dapprima a Berlino e poi a Gottinga, dove ottenne la laurea con una dessertazione sulla teoria delle funzioni di variabile complessa. Nel 1854 Riemann diventò Privatdocent all’Università di Gottinga. La sua più famosa dissertazione dal titolo “ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen” (sulle ipotesi che stanno alla base della geometria) presentava un’ampia e profonda vision dell’intero campo della geometria (studio di varietà di un numero qualsiasi di dimensioni in qualsiasi genere di spazio). Le geometrie di Riemann sono non-euclidee in un senso molto più generale di quella di Lobacesvkj.
TEORIA Il postulato delle parallele (quinto postulato) di Euclide afferma sia l’esistenza che l’unicità della parallela ad una retta data passante per un punto esterno ad essa. Nelle geometrie non-euclidee il quinto postulato viene "negato" e sostituito con un altro postulato dando origine a geometrie diverse, ma altrettanto legittime, di quella Euclidea.
Nella geometria di Lobacevskij si mostra che si possono costruire geometrie in cui non vale l’unicità: "per un punto non appartenente ad una retta si può condurre più di una parallela alla retta data" (postulato di Lobacevskij e Bolyai, 1830).
Nella costruzione geometrica proposta da Riemann (geometria sferica) non vale l’esistenza: "per un punto non appartenente ad una retta data non si può condurre alcuna parallela alla retta data".
Sostituendo il quinto postulato con uno dei due postulati sopra enunciati si modifica la geometria euclidea. Molti teoremi che non dipendono dal postulato di Euclide continuano ad essere validi gli altri no. Un esempio eclatante di teorema non più valido è quello relativo alla somma degli angoli interni di un triangolo che per Euclide è pari ad un angolo piatto, mentre nella geometria di Lobacevskij tale somma è "minore di un angolo piatto" e in quella riemaniana è "maggiore di un angolo piatto".
Per descrivere le geometrie accennate, si usano i modelli: se una teoria ha un modello, ogni teorema della teoria è vero nel modello. I modelli di Klein e di Poincaré descrivono la geometria di Lobacevskij, mentre il modello della geometria rimaniana prende il nome dello stesso Riemann (modello della sfera).
Fra tutte le branche della matematica, la geometria è quella che più di ogni altra è andata soggetta ai mutamenti del gusto da un' epoca all' altra.
Nella Grecia antica essa aveva raggiunto il suo apice, per poi precipitare al suo punto più basso al tempo della caduta dell' Impero Romano; ricuperò parte del terreno perduto presso gli arabi e nell' Europa del Rinascimento.Nel XVII secolo la geometria si presentava alla soglia di una nuova epoca,ma doveva venire quasi dimenticata per quasi due altri secoli, messa in ombra dalle nuove branche dell'analisi. L' Inghilterra,negli ultimi decenni del XVIII secolo, aveva cercato invano di ridare agli "Elementi" di Euclide quella posizione gloriosa che essi avevano avuto un tempo. Nel periodo della Rivoluzione Francese Monge e Carnot si sforzaronodi far rivivere la geometria pura, ma la riscoperta vera e propria di questabranca della matematica si ebbe solo agli albori del XIX secolo.E proprio nel XIX secolo si affermò la geometria non euclidea ad opera di tre matematici di origini e formazione diversa, un tedesco Riemann, un ungherese Bolyai ed un russo Lobacevskij.
Tutti e tre si resero conto indipendentemente e quasi simultaneamente che
"nessuna dimostrazione rigorosa della verità del quinto postulato di Euclide era stata mai scoperta".
Più tardi Albert Einstein nella sua teoria della relatività, dimostrerà che la geometria del mondo fisico non è euclidea.