Circonferenza e cerchio

Materie:Appunti
Categoria:Geometria

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Testo

Circonferenza, cerchio e relative proprietà
Dati un punto e un segmento , si dice circonferenza di centro e raggio il luogo geometrico dei punti del piano che hanno da distanza uguale a; si dice cerchio o circolo la figura costituita dalla circonferenza e dai punti a essi interni.
Sia per la circonferenza sia per il cerchio il proprio centro è il centro di simmetria e ogni retta passante per è asse di simmetria.

• Teorema 1
Tre punti non allineati individuano una e una sola circonferenza.

Siano tre punti non allineati. Congiungiamo prima con e con , poi costruiamo gli assi e dei due segmenti ottenuti: notiamo che i due assi sono distinti e non paralleli (poiché i tre punti non sono allineati), e che s’incontrano in uno stesso punto , che sarà equidistante dai tre punti dati. Quindi la circonferenza di centro e raggio passa anche per e per Ma notiamo anche che non è altro che il circocentro del triangolo e di conseguenza l’unico punto a godere della proprietà di essere equidistante dai tre vertici: esso può essere il solo centro di una circonferenza passante per i tre punti. Quindi la circonferenza di centro e raggio è l’unica circonferenza che può passare per .

• Corda e diametro
Si dice corda il segmento che unisce due punti qualunque di una circonferenza; si dice diametro ogni corda passante per il centro e doppia del raggio.
Ogni diametro divide la circonferenza in due parti congruenti, ciascuna delle quali è denominata semi-circonferenza; esso divide anche il cerchio in due parti congruenti, ciascuna delle quali è detta semicerchio.

• Teorema 2: proprietà delle corde.
- Qualunque corda non passante per il centro è minore di ogni diametro.

Consideriamo una circonferenza di centro e raggio e un triangolo inscritto in essa. Nel triangolo il lato è una corda: questo segmento è minore della somma degli altri due (teorema sui lati di un triangolo). Quindi è minore della somma di due raggi e pertanto è minore del diametro .
– La perpendicolare mandata dal centro di una circonferenza a una corda divide questa in due parti uguali.

Consideriamo sempre una circonferenza di centro e raggio e un triangolo inscritto in essa. Notiamo che il triangolo è isoscele, e pertanto la perpendicolare mandata da al lato (corda) è anche mediana del lato . Pertanto risulta: .

– In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) corde congruenti distano ugualmente dal centro; viceversa, corde che hanno la stessa distanza dal centro sono congruenti.

Consideriamo una circonferenza di centro e raggio e due corde congruenti e . Se e sono le distanze dal centro e le due corde, allora esse, poiché sono perpendicolari mandate dal centro alle due corde, dividono le due corde in due parti uguali e e sono i punti medi di suddette corde. Quindi e sono tra loro congruenti. Di conseguenza sono congruenti i due triangoli rettangoli e e in particolare sono congruenti i due cateti e .

• Arco, settore circolare e segmento circolare.
Data una circonferenza, due suoi punti generici e , tra loro distinti, la dividono in due parti, ciascuno delle quali si chiama arco di circonferenza.
La corda che congiunge e si dice sottesa da ciascuno dei due archi e i due archi si dicono tra loro esplementari.
Dato un cerchio, due suoi generici raggi e , tra loro distinti, lo dividono in due parti, ognuna delle quali si chiama settore circolare.

Ogni corda divide il cerchio in due parti, ciascuna delle quali è chiamata segmento circolare a una base, o semplicemente segmento circolare. La parte di cerchio compresa tra due corde parallele è invece chiamata segmento circolare a due basi.

• Posizioni reciproche di circonferenze e rette
La retta, rispetto a una circonferenza, possono assumere tre posizioni diverse: esterna, tangente e secante. La retta si dice esterna se essa non ha alcun punto in comune con la circonferenza, e la distanza da ogni suo punto e il centro della circonferenza è maggiore del raggio. Si definisce tangente quella retta che ha un solo punto in comune con la circonferenza: essa è perpendicolare al raggio che congiunge il centro con il punto di tangenza. Infine, una retta è secante quando ha due punti in comune con la circonferenza: in questo caso la distanza dal centro è minore del raggio.

• Posizioni reciproche di due circonferenze
Due circonferenze possono assumere tra loro cinque diverse posizioni: esterne, tangenti esternamente, secanti, tangenti internamente, interne.
Due circonferenze si dicono esterne quando non hanno nessun punto in comune: in questo caso la somma dei due raggi è minore del segmento che congiunge i due centri. Sono tangenti esternamente due circonferenze che hanno un punto di contatto: in questo caso la somma dei due raggi è uguale al segmento che congiunge i due centri. Si dicono secanti due circonferenze che hanno due punti in comune: questa volta detto e i due raggi, e e i due centri, sarà . Due circonferenze sono tangenti internamente quando hanno un punto di contatto e gli altri punti di una interni all’altra: in questo caso il segmento che congiunge i due centri sarà uguale alla differenza dei due raggi. Infine, sono interne quando tutti i punti di una sono interni all’altra: questa volta la differenza dei due raggi è maggiore del segmento congiungente i due centri; quando però i due centri coincidono, oltre a essere interne le due circonferenze si diranno anche concentriche.

• Angoli al centro e angoli alla circonferenza
Un angolo avente il vertice nel centro di un cerchio si dice angolo al centro.
I lati di ogni angolo al centro intersecano la circonferenza che delimitano il cerchio in due punti e ; l’arco e il settore delimitato dai raggi e interno all’angolo, l’arco e il settore corrispondente all’angolo.

Un angolo avente il vertice in un punto di una data circonferenza e per lati delle rette secanti, è detto angolo alla circonferenza.
Si dice che un angolo è inscritto in un arco quando questo contiene il vertice, e i lati dell’angolo passano per gli estremi dell’arco. Si dice invece che un angolo insiste su un arco quando i suoi lati passano per gli estremi dell’arco il quale non contiene il vertice. (In questo caso l’angolo è inscritto e insiste sull’arco )

• Teorema 3 (relativo agli angoli al centro)
Nello stesso cerchio (o in cerchi congruenti), ad angoli al centro congruenti corrispondono archi congruenti, settori congruenti e corde congruenti. Viceversa, ad archi congruenti corrispondono angoli al centro congruenti, settori congruenti e corde congruenti; a settori congruenti corrispondono angoli congruenti, archi congruenti e corde congruenti.
Consideriamo una circonferenza di centro e raggio con due angoli al centro e . Se i due angoli sono congruenti, significa che hanno la stessa ampiezza e, di conseguenza, sono individuati da lati congruenti. Quindi, essendo i lati dei due angoli congruenti tra di loro, avremo che anche le corde, gli archi e i settori saranno congruenti. Viceversa vale lo stesso ragionamento.

• Teorema 4 (relativo agli angoli alla circonferenza)
Ogni angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco.
Si distinguono tre casi:
Caso 1
Consideriamo una circonferenza con il diametro che individua un angolo alla circonferenza e un angolo al centro formato dal raggio e . In questo caso l’angolo è esterno al triangolo isoscele , quindi risulta:

e quindi .
Caso 2
Consideriamo la figura a lato: tracciando il diametro della circonferenza notiamo come esso divida l’angolo in due parti uguali, e che ogni parte, per il teorema prima dimostrato, non è altro che la metà di , cioè la quarta parte dell’angolo
Quindi sarà:

Caso 3
Consideriamo la figura a lato: per il primo caso dimostrato abbiamo che:

ma e , quindi:

Dal teorema appena dimostrato, derivano tre corollari:
a) Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tra loro congruenti;
b) Un angolo inscritto in una semicirconferenza è retto;
c) Dato un segmento , ogni angolo retto ha il vertice sulla circonferenza di diametro .

• Tangenti a una circonferenza passanti per un punto
Per un punto interno alla circonferenza non passa alcuna retta tangente alla circonferenza stessa.
Se il punto si trova sulla circonferenza allora per questo punto passerà una e una sola tangente alla circonferenza: è la retta perpendicolare al segmento che congiunge al centro della circonferenza.
Per un punto esterno alla circonferenza passano due rette tangenti alla circonferenza stessa. Detto il centro della circonferenza e e i punti di contatto tra la retta e la circonferenza, avremo che e è la bisettrice dell’angolo . Infatti, i due triangoli rettangoli e avendo l’ipotenusa e un cateto (i segmenti e che corrispondono al raggio della circonferenza) in comune sono congruenti: di conseguenza e l’angolo è congruente all’angolo ; quindi l’ipotenusa , dividendo l’angolo in due parti uguali non è altro che la bisettrice dell’angolo stesso.

• Poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza
Un poligono si dice inscritto a una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza; la circonferenza si dice allora circoscritta al poligono.
Un poligono si dice circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza; la circonferenza si dice allora inscritta nel poligono.

Affinché un poligono sia inscrivibile in una circonferenza, è necessario e sufficiente che esista un punto equidistante da tutti i suoi vertici; è quindi necessario e sufficiente che gli assi dei suoi lati se incontrino in uno stesso punto , che, se esiste, sarà il centro della circonferenza circoscritta al poligono.

Affinché un poligono sia circoscrivibile a una circonferenza, è necessario e sufficiente che esista un punto O equidistante da tutti i suoi lati; è quindi necessario e sufficiente che le bisettrici dei suoi angoli se incontrino in uno stesso punto O, che, se esiste, sarà il centro della circonferenza inscritta. Se il poligono è circoscrivibile, il raggio della circonferenza inscritta è denominato apotema del poligono.
I poligoni sempre inscrivibili e circoscrivibili a una circonferenza sono tutti i tipi di triangoli (infatti tutti i triangoli possiedono un circocentro e un incentro), e tutti i poligoni regolari, ossia i poligoni aventi tutti i lati e tutti gli angoli uguali.

• Teorema 5: inscrivibilità di quadrilateri
In ogni quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli opposti sono supplementari.

Consideriamo un quadrilatero inscritto in una circonferenza di centro . I suoi due angoli opposti e sono due angoli alla circonferenza e, giacché tali, sono ciascuno la metà di uno dei due angoli al centro individuati dalle due semirette e (l’uno convesso e l’altro concavo, o eventualmente entrambi piatti). Poiché la somma dei due angoli al centro è uguale a un angolo giro, la somma risulta in ogni caso un angolo piatto. La stessa cosa vale per gli altri due angoli opposti.

• Teorema 6: circoscrivibilità di quadrilateri
In ogni quadrilatero circoscritto a una circonferenza la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.

Consideriamo un quadrilatero circoscritto a una circonferenza di centro . A ogni vertice del quadrilatero applichiamo la proprietà delle tangenti alla circonferenza uscenti da un punto a essa esterno, risulta:

sommando membro a membro queste quattro uguaglianze otteniamo:

e quindi:

I due teoremi illustrati rappresentano le condizioni necessarie perché a un quadrilatero si possa rispettivamente circoscrivere o inscrivere una circonferenza. Si può anche dimostrare che tali condizioni sono per un quadrilatero anche condizioni sufficienti per l’inscrivibilità e la circoscrivibilità.

• Teorema 7
Consideriamo un quadrilatero inscrivibile a una circonferenza. Sia la circonferenza passante per . Supponiamo che non passi per ; allora la taglierà la retta in un punto . Da ciò consegue che è congruente a un angolo piatto e, poiché supplementari di angoli congruenti sono congruenti, , il che è assurdo poiché , essendo un angolo esterno al triangolo non può essere congruente all’angolo .

• Teorema 8
Consideriamo un quadrilatero circoscrivibile a una circonferenza. Tracciamo la circonferenza tangente a , e , un ulteriore tangente alla circonferenza uscente da , con compreso tra e . Da ciò consegue che , quindi , quindi , cioè , il che è assurdo, poiché in un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due. Quindi la circonferenza deve essere necessariamente inscrivibile nel quadrilatero .

Esempio