Fisica tecnica

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Categoria:Fisica

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Testo

FISICA TECNICA
Sezione A : Trasmissione del calore
N°1 - CONDUZIONE
a. Campi termici e Postulato di Fourier
La trasmissione del calore in un corpo può avvenire solamente se la temperatura all’interno di questo non è uniforme ma varia nel tempo e da punto a punto (cioè se esistono nel suo interno dei gradienti termici non nulli) : in questo caso si dice che il corpo è sede di un campo termico.
Il luogo dei punti che , ad un certo istante , hanno la stessa temperatura costituisce una superficie isotermica e l’andamento del campo termico è descritto dall’insieme di queste superfici isotermiche.
Le traiettorie secondo cui si ha la trasmissione del calore si chiamano linee di flusso e si dimostra che queste sono in ogni punto ortogonali alle sup. isot. ; infatti se così non fosse , queste traiettorie avrebbero una componente tangenziale non nulla , parallela alla sup. isot. , il che significa che si avrebbe trasmissione di calore lungo tale sup. ma questo è impossibile le linee di flusso non possono che essere normali alle superfici isotermiche.
Se si considera all’interno di un campo termico una linea chiusa e le linee di flusso corrispondenti a ciascun punto della linea chiusa , si ottiene quello che viene definito tubo di flusso , ovvero una superficie che non è attraversata da calore , che può quindi soltanto passare tra le sue sezioni estreme.
Lo studio della trasmissione del calore per conduzione si basa sul postulato di Fourier , il quale a suo volta prende spunto dai risultati sperimentali della trasmissione del calore attraverso una parete piana.
Si consideri una lastra piana di materiale omogeneo e isotropo di spessore S n le cui facce si trovano alle temperature T e T+ T , sperimentalmente si osserva che la quantità di calore trasmesso dall’una all’altra faccia è direttamente proporzionale alla differenza di temperatura , alla sup. della faccia piana , al tempo di esposizione e ad un coefficiente caratteristico del materiale detto conducibilità termica e inversamente proporzionale allo spessore della lastra ; considerando un intervallo di tempo :
Q = -
dove il segno meno indica che il passaggio avviene nel senso delle temperature decrescenti.
La suddetta relazione posta in termini infinitesimi assume la forma :
dQ = -d che esprime il postulato di Fourier , ovvero la quantità di calore dQ che nel tempo infinitesimo dc passa attraverso la sup. infinitesima dS è proporzionale a d , dS e al gradiente termico lungo la direzione normale al l S.
Il coefficiente I , la conduttività termica è una caratteristica del materiale di cui è fatto il corpo ed esprime la q.tà di calore trasmessa tra due superfici isoterme di area unitaria e poste a distanza unitaria e ad una differenza di temperatura unitaria nell’unità di tempo.
Trattandosi di un postulato , quello di Fourier non può essere dimostrato , tuttavia la sua validità è provata sperimentalmente , ma relazioni più precise sono espresse dall’equazione di Fourier che da esso viene dedotta.
b) equazione di Fourier in geometria cilindrica
L’equazione di Fourier è una relazione che esprime il modo in cui il calore trasmesso in un dato intervallo di tempo ad un volume infinitesimo del corpo in esame ne fa variare la temperatura , ed è nella sua forma originale un’equazione differenziale del secondo ordine alle derivate parziali così definita : D dove D è il coefficiente di diffusività termica del materiale.
Si consideri un tubo cilindrico , infinitamente lungo costituito da due superfici cilindriche coassiali ; l’andamento della temperatura è radiale , cioè TT(r,T ) e anche lo sviluppo interno di calore se c’è , è radiale , HH(r,H ) .
Dato un elemento infinitesimo di tale tubo di raggio r e spessore dr e lunghezza unitaria , vediamo come si trasmette il calore all’interno :
il calore che esce dalla prima superficie è dQi rd ;
quello che entra nella seconda è dQ= - = 2 (r+dr)d ;
e quello eventualmente sviluppato all’interno è dQH = HdVd = 2 rdrHd ;
quindi in totale dQ = dQ- dQ+ dQ ;
dQ = -2d r d + + 2 rd + 2+ r dr + 2d drd + 2+ drdd + +2 rdrHd ; trascurando il termine 2 drdd si ottiene :
dQ = 2d drd + 2+ rdrHd .
Il calore trattenuto nell’elemento di volume ne fa variare la temperatura secondo la legge dQ = ml dT (legge fondamentale della calorimetria) dove in questo caso m = 2 rdr , con densità del materiale.
Quindi si ottiene 2Q drd + 2+ rdrHd = 2 rdr dT ;
da cui d + H = + ; che è l’equazione di Fourier in geometria cilindrica con sviluppo interno di calore .
Questa equazione non è facilmente integrabile e necessita di condizioni al contorno di tipo spaziale e temporale ; tuttavia un caso particolare molto interessante che può essere facilmente integrato è quando non si ha sviluppo di calore interno e il regime è stazionario.
In questo caso l’equazione è = 0 .
Date due superfici cilindriche coassiali di raggi re r poste alle temperature costanti Te T (superfici isotermiche) , l’integrale generale dell’equazione è T(r) = cln r + c ; e ponendo
si ottiene c= ; e c= T- ln r.
Quindi l’integrale particolare sarà T(r) = ln r + T- ln r.
N° 2 - CONDUZIONE
a. Campi termici e Postulato di Fourier
b. Equazione di Fourier
L’equazione di Fourier esprime come la quantità di calore trasmessa in un elemento di volume di un campo termico ne modifica la temperatura .
Dato un elemento infinitesimo del campo termico di volume dv avente forma di parallelepipedo con facce parallele agli assi di un sistema di riferimento cartesiano Oxyz , di spigoli dx , dy , dz .
Si supponga che il flusso termico si componga di tre parti rispettivamente parallele agli assi coordinati.
Il calore che si trasmette lungo l’asse x dipende dal calore entrante in una faccia normale all’asse x e da quello uscente dall’altra faccia parallela alla prima ; dQ= dQ- dQ dove dQ= -= dydzd e dQ= -= dydzd sono calcolati in base al Postulato di Fourier e dQindica il calore che rimane nell’elemento dv cioè dQ== dydzd = = dvd .
Ragionando in modo analogo per le altre coppie di facce si ottiene l’espressione della quantità di calore complessivamente rimasta nell’elemento :
dQ = d dvd .
Tale quantità di calore , per il teorema fondamentale della calorimetria fa variare la temperatura nel corpo secondo la legge dQ = mT dT essendo m = dv si ottiene
dvd = = dv dT , o meglio ( // )=
dove d // prende il nome di diffusività termica D.
Tale equazione può poi essere scritta nella forma sintetica D ed è detta eq. di Fourier .
Nel caso in cui nel corpo considerato sia presente una sorgente di calore , questa deve essere considerata nell’equazione di Fourier , detta H la potenza del calore sviluppato dalla sorgente si ha
D che è la forma generale dell’equazione .
L’integrale di questa eq. fornisce l’andamento della temperatura all’interno del campo termico ; ma essendo questa un’eq. differenziale del secondo ordine alle derivate parziali risulta abbastanza difficile integrarla.
Tuttavia se si fanno delle restrizioni a casi particolari si può trovare la forma esplicita dell’andamento della temperatura ; ad esempio se si considera un regime stazionario , le temperature non dipendono dal tempo e = 0 e se non ci sono sorgenti interne di calore si ha nella quale non compaiono caratteristiche specifiche del campo .
Se il corpo considerato è omogeneo e isotropo i valori di S , e sono considerati costanti ; ma se tale ipotesi cade allora questi parametri dipendono dalle coordinate e soprattutto dalla temperatura complicando notevolmente la trattazione analitica del problema.
N°4 - CONDUZIONE
a. Campi termici e Postulato di Fourier
b. Parete piana omogenea
Si consideri una parete delimitata da due superfici piane , costituita da materiale omogeneo e isotropo ; sia s lo spessore della parete e le superfici limite si trovino a temperature diverse T1 e T2 ; se le superfici sono infinitamente estese rispetto allo spessore s , le superfici isotermiche sono allora dei piani ad esse paralleli e il calore si trasmette in direzione normale .
Conviene allora utilizzare come riferimento un asse x orientato secondo la direzione della trasmissione del calore e dunque è 0 2000 è turbolento e quindi entra in gioco solo nella convezione forzata. Il numero di Grashof tiene conto della forza di gravità ne sistema ed assume quindi particolare importanza nel caso della convezione naturale; ma nel caso della convezione forzata questa forza può essere trascurata rispetto alle altre forze mecccaniche che determinano il moto per cui essendo Re>>Gr quest’ultimo viene trascurato.
N°8 - IRRAGGIAMENTO
a.
b. Emissione e assorbimento dei corpi condensai - Leggi del corpo nero
Ogni corpo che si trova ad una temperatura diversa dallo zero assoluto è una sorgente di energia raggiante; questa energia è sotto forma di calore quando la lunghezza d’onda è compresa tra 1000Å e alcuni Micron. La trasmissione di calore per irraggiamento si ha quando dei corpi a temperature diverse si trovano l’uno in presenza dell’altro separati a un mezzo trasparente alee radiazioni; ogni corpo si comporta da sorgente ma in parte assorbe anche le radiazioni emesse dagli altri corpi.
Appare quindi evidente che per dare una descrizione del fenomeno bisogna analizzare il comportamento dei corpi sia come sorgenti che come ricevitori.
I corpi si comportano in modo diverso rispetto all’emissione a seconda che siano allo stato aeriforme o condensato (solido-liquido); nel primo caso infatti lo spettro di emissione è di tipo discreto mentre nel secondo di tipo continuo; bisogna poi conoscere oltre alla potenza raggiante anche la sua distribuzione tra le varie lunghezze d’onda.
La potenza globale è definita tramite l’emittanza globale J ovvero l’energia emessa per unità di superficie , mentre la sua distribuzione è data attraverso l’emittenza monocromatica L definita come rapporto fra quella parte della emittanza globale che viene emessa nell’intervallo di lunghezze d’onda compreso tra e +d e l’ampiezza d dell’intervallo. L’emittanza monocromatica dipende anche dal tempo cioè si ha = ( ;T); le due grandezze sono legate tra loro dalla relazione J = .
Per quanto riguarda il ricevimento dell’energia raggiante, quando un fascio di radiazioni colpisce una superficie queste vengono in parte riflesse, in parte assorbite e in parte trasmesse, cioè riescono ad attraversare il corpo; se Wi è la potenza incidente, Wa quella assorbita, Wr quella riflessa e Wt quella trasmessa è possibile definire i tre coefficienti: coefficiente di assorbimento a =; di riflessione r =; di trasparenza t = ; e vale la relazione a + r + t = 1. I corpi per cui t = 0 sono detti opachi.
Alla base dello studio della trasmissione di calore per irraggiamento c’è la relazione emittanza e assorbimento, la quale è espressa tramite la legge di Kirchoff: il rapporto tra l’emittanza monocromatica di un corpo e il suo coefficiente di assorbimento non dipende dalla natura del corpo, ma solo dalla temperatura; cioè = = 0(( ;T) dove 0 è l’emittanza di un corpo che ha per tutte le lunghezze d’onda a=1 e tali corpi sono detti corpi neri.
Lo studio dei corpi neri è allora utile per capire come si comportano anche gli altri corpi; l’emittanza globale di un corpo nero J0 è data dalla legge di Stefan-Boltzmann J0 = 0T4 dove 0 è una costante; la distribuzione dell’emittanza monocromatica 0 è data dalla legge di Planck ed è massima per lunghezze d’onda m = A/T con A costante (legge di Wien).
In base a queste considerazioni per un corpo non nero, noto il coefficiente di assorbimento, l’emittanza monocromatica può essere dedotta da quella di un corpo nero alla stessa temperatura, si definisce inoltre emissività spettrale il rapporto i = // 0 e emissività globale = J/J0.
Particolarmente interessanti sono poi i corpi grigi, ovvero quei corpi in cui il coefficiente di assorbimento non dipende dalla lunghezza d’onda; ad essi sono in genere approssimati quasi tutti i corpi.
b) Espressione dei coefficienti a, r, t in funzione della costante di assorbimento
I coefficienti a, r, t, dipendono fortemente dallo spessore del corpodi cui sono caratteristico.
Si può dire infatti che il potere raggiante assorbito in uno strato di spessore dx è direttamente proporzionale allo spessore e alla potenza incidente: avremo dW = -r Wdx dove è il coefficiente di proporzionalità; integrando otterrò lnW = - x + c1 e ponendo W(0) = W0 si ha W = W0e-- x e è detta costante di assorbimento dipendente dal materiale.
La legge ci dice che un materiale opaco può essere trasparente se ne prendiamo un piccolo spessore.
Poiché W0 = Wi - Wr abbiamo per x = s

N°9 - IRRAGGIAMENTO
a.
b. Emissione e assorbimento dei corpi condensati - Legge del corpo nero
c.
d. Caratteristiche dello spettro solare
Tramite esperimenti condotti ad alta quota è stato possibile determinare la distribuzione spettrale dell’energia solare.
L’andamento di tale spettro è dato da una funzione L ( ) che ha il massimo per = 0,46 e tramite la legge di Wein possiamo quindi dire che la temperatura del Sole è di circa 6000K.
Nel campo di lunghezza d’onda 0,3-0,6 si nota la presenza di righe di assorbimento durante il passaggio dell’energia solare attraverso l’atmosfera.
In assenza di tali righe in massimo sarebbe spostato verso destra per cui la temperatura effettiva è di 5800K. Le zone laterali dello spettro corrispondono alla radiazione ultravioletto e infrarosso.
Le radiazione ultraviolette sono quasi totalmente assorbite dall’atmosfera e solo il 20 % arriva alla superficie terrestre.
Il massimo della radiazione solare varia anche al varare delle masse d’aria attraversate e più precisamente si ha uno spostamento del massimo verso l’infrarosso.



N°10 - IRRAGGIAMENTO
a.
b. Emissione e assorbimento dei corpi condensati - Legge del corpo nero
c.
d. Corpi grigi e corpi selettivi: esempi
Si definiscono corpi grigi quei corpi per i quali il coefficiente di assorbimento a è indipendente dalla lunghezza d’onda.
La legge di emissione del corpo grigio si ricava da quella del corpo nero tramite il principio di Kirckoff che lega lo spettro di emissione di un corpo con quello di assorbimento: si ha
L grigio(( ;T) = agg 0(( ;T)
per cui J = = = J0 = 0T4
che ci da l’energia radiante emessa da un corpo grigio; poiché c g = agg 0 l’andamento dello spettro delle radiazioni sarà analogo a quello del corpo nero e in più si avrà che i due spettri persentano massimo nello stesso punto.
I corpi selettivi sono invece quelli per cui la maggioranza delle radiazioni emesse avviene per i valori piccoli della lunghezza d’onda nel corpo del visibile.
Possiamo classificare i corpi selettivi con l’emissività spettrale P = // 0 definita come il rapporto tra l’emittenza monocromatica del corpo e quella di un corpo nero che emette alla stessa temperatura.
Esempi di corpi non esistono in natura; approssimativamente si può dire she si comportano da corpi grigi i non metalli.
Un esempio di corpi selettivi sono invece i metalli (per es. Tungsteno: ecco perché viene impiegato nelle lampade).

Esempio