Carica e scarica di circuiti RC

Materie:	Appunti
Categoria:	Fisica
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Data:	22.04.2008
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CARICA DI CIRCUITI RC
Supponiamo di avere un generico circuito con un generatore di tensione , capace di generare una tensione pari a E , un condensatore ( di capacità C ) e una resistenza R.
Supponiamo inoltre di inserire in serie con tutti gli altri elementi un interruttore in modo da tenere aperto il circuito fino a che non vogliamo iniziare lo studio di esso , chiudendolo.
Dapprima ipotizziamo quello che potrebbe succedere quando chiudiamo il circuito : La tensione del generatore verrà trasmessa al condensatore , inizialmente scarico , che andrà caricandosi progressivamente. Il generatore porterà elettroni su un’armatura del condensatore e ne toglierà dall’altra in modo da creare corrente che però varierà nel tempo. Infatti questa sarà massima quando il condensatore sarà ancora scarico e diventerà nulla quando questo si sarà caricato , cioè quando avrà assunto la stessa tensione del generatore.
Consideriamo quindi questo circuito e cerchiamo di ragionare matematicamente per arrivare ad una relazione che esprima in termini quantitativi quello che abbiamo ipotizzato qualitativamente.
Scriviamo l’equazione di Kirchoff per questa unica maglia:
E= Ri + ΔV (1)
Proviamo ad esprimere la ΔV e l’intensità di corrente in modi diversi per avere un’equazione più analizzabile.
Sappiamo che in un condensatore , ma in generale in qualsiasi conduttore , vale la relazione C=ΔQ/ΔV . Quindi ΔV= ΔQ/C.
Inoltre sappiamo che la corrente non è altro che una quantità di carica in un’unità di tempo cioè che : i= ΔQ/Δt.
Questa corrente però rappresenta quella media in un certo intervallo Δt , mentre a noi interessa una definizione della corrente che descriva il suo andamento in ogni istante.
Per avere questo andamento occorre porre il limite per Δt→0.
Questa è la derivata della carica rispetto al tempo.
Lim Q(t+ Δt) – Q(t) = Q’(t) (2)
Δt→0 Δt
Riscriviamo l’equazione della maglia esplicitando da queste formule :
E=RQ’(t) + Q(t) / C → CE=RCQ’(t) + Q(t) (3)
RCQ ‘(t) = CE – Q(t) (4)
Effettuiamo un cambio di variabile , sostituendo a CE-Q(t)=Q(t) → Q(t)= CE-Q(t) (5)
Questa è sempre una variabile del tempo.
La derivata di Q(t) è :
Q’(t)= -Q’(t) ( Facendo la derivata dalla (5) )
Q’(t) = -Q’(t) (6)
Ricordandoci questa relazione e usando la (4) avremo che :
Q(t)= -RCQ’(t) (7)
Cioè :
Q‘(t) = (-1/RC ) Q(t) che equivale a dire : f ‘(x) = (-1/RC) f(x) (8)
Dobbiamo quindi trovare una particolare funzione che abbia questa caratteristica, di avere la derivata uguale alla stessa funzione moltiplicata per una certa costante che potremo arbitrariamente chiamare K.
Questa è la funzione esponenziale.
In questo caso , considerando sempre una generica funzione in x, avremo che la funzione richiesta è f(x) = e –x/RC (9)
Quindi possiamo scrivere la funzione più generalmente come :
f(x)= k e –x/RC → Q(t) = k e –t/RC (10)
Passando alla carica in funzione del tempo , la x viene sostituita dalla variabile , che è appunto il tempo.
Se mettiamo questo valore nelle precedenti equazioni , utilizzando la (5) troviamo che:
Q(t)= CE - k e –t/RC ( 11)
Proviamo a sostituire t=0 , considerando che Q(0)=0 , poiché all’istante di tempo 0 la carica è ancora nulla.
Q(0)=CE-k=0 → k=CE (12)
Andando a sostituire questo valore di k otteniamo che :
Q(t)=CE – CE e –t/RC → Q(t)=CE(1- e –t/RC ) (13)
Notiamo quindi che Q(t) varierà in maniera esponenziale e si disegnamo il grafico potremo avere la relazione che c’è tra Q(t) e t , quindi della carica in funzione del tempo.
La curva ha come asintoto la carica uguale a CE che rappresenta la massima carica in un tempo infinito.
Infatti risulta che lim Q(t) = CE. (14)
t→∞
Più la resistenza è grande e più lentamente si carica il condensatore.
Questo si nota anche dalla funzione matematica e possiamo verificarlo con la derivata.
Q’(t) = i(t)
La derivata di Q rispetto a t è semplicemente l’intensità della corrente.
Maggiore è la pendenza, minore è il tempo di carica.
Infatti più grande è la derivata e più grande è l’intensità di corrente.
Per trovare la derivata di Q rispetto a t consideriamo intanto che Q(t)= CE-k e –t/RC = .
= CE-CE e –t/RC (15)
Quindi :
Q’(t) = -(-1/RC) CE e –t/RC =
=E/R e –t/RC (16)
i(0) = E/R (17)
Quindi la pendenza della retta
( intensità della corrente ) dipende solo dalla resistenza poiché la tensione è sempre la stessa. In un tempo teoricamente infinito la tensione del condensatore sarà :
ΔV = Q/C = CE / C = E cioè la tensione del generatore. Infatti poiché all’infinito la carica risulta essere quanto alla (14) ,avremo che all’infinito , quando il circuito si è caricato, la differenza di potenziale del condensatore risulta essere proprio quella fornita dal generatore di tensione. Il circuito è carico.
SCARICA DI UN CIRCUITI RC
Consideriamo il circuito precedente dopo che è stato caricato e chiudiamolo su se stesso.
Il condensatore carico in questo circuito inizierà a scaricarsi, agendo così come un generatore. Scriviamo l’equazione della maglia.
Ri + ΔV=0 (1) Ricordando che ΔV=Q/C → Ri + Q/C = 0 (2)
Ricordandoci che l’intensità e la carica sono in funzione di t (tempo) potremo scrivere :
Ri(t) + Q(t) /C = 0 (3)
Ricordando inoltre che l’intensità rappresenta la derivata della carica rispetto al tempo potremo scrivere:
RQ’(t) + Q(t)/C=0 (4) Sviluppando l’equazione ed esplicitando Q’(t) avremo :
RCQ’(t) + Q(t) = 0 → Q’(t)=(-1/RC) Q(t) (5)
Ovviamente sappiamo gia qual’è la funzione che ha questa proprietà, cioe di avere questa particolare derivata , la funzione esponenziale.
Come abbiamo fatto quindi per la carica del circuito scriviamo che la carica può essere espressa come la funzione :
Q(t) = k e –t/RC
Queste sono tutte le possibili funzioni che spiegano il funzionamento, come abbiamo gia visto prima.
Ora occorre fare tutte le considerazioni sull’andamento di questa funzione .
Notiamo che al tempo t=0 la carica sarà massima cioè si avvicinerà sempre di più a CE , poiché abbiamo gia visto dalla precedente scheda che K=CE. Non è detto però che raggiunga tale valore ,ma è più probabile che si trovi ad un livello intermedio.ù
Q(0)=k=CE=Qi (6)
Quindi possiamo scrivere la carica in funzione del tempo come :
Q(t)= Qi e –t/RC (7)
Se disegniamo il grafico di questa funzione avremo che per t che tende a 0 la funzione tenderà al valore della carica iniziale Qi .
Maggiore sarà RC , maggiore sarà la crescita della funzione per t che tende a 0.
Per trovare i facciamo la derivata di Q(t) , utilizzando la (7) :
Q’(t) = i(t) = (- Qi /RC ) e –t/RC
Questa intensità è sempre negativa perchè realmente la corrente procede in senso opposto a quello che abbiamo scelto noi per la rappresentazione.
Dovremo quindi tener conto del valore assoluto dell’intensità.
Ovviamente per disegnare il grafico consideriamo che a t=0 l’intensità sarà proprio uguale a : | - Qi /RC | = Qi /RC