Calcolo della Tensione Superficiale

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Testo

Tensione superficiale
Forza agente tra le molecole della superficie di un liquido, a causa della quale questo stesso si comporta come se fosse coperto da una sottile pellicola elastica.
Le forze che agiscono sulle molecole all'interno di un liquido sono dirette in tutte le direzioni, e dunque hanno risultante nulla; viceversa, le molecole situate in superficie risentono solo delle forze (attrazione) esercitate dalle particelle sottostanti – che danno come risultato una forza totale diretta verso il basso – e vengono perciò trattenute contro la massa del liquido.
Una goccia d'acqua che cade da un rubinetto assume una forma sferica proprio a causa della forza di tensione superficiale: le molecole interne della goccia attraggono quelle superficiali fino ad ottenere la superficie d’area minima. Una goccia di mercurio assume una forma sferica anche quando è posta su un piano d'appoggio, perché le forze agenti tra gli atomi di mercurio sono abbastanza intense da far sì che la goccia mantenga la sua forma nonostante la gravità: ciò non avviene per l'acqua perché questa è caratterizzata da tensione superficiale più debole.
Una bolla di sapone è il risultato della tensione superficiale in una soluzione saponosa, che si distribuisce nella forma di minima superficie – una sfera – intrappolando l'aria all'interno.
A causa delle forze di tensione superficiale, la superficie libera dell'acqua può sostenere la punta di un ago, una lametta o il peso di altri oggetti che presentano una maggiore densità dell’acqua.
Una molecola di liquido è soggetta alle forze attrattive di tutte le molecole ad essa circostanti; questa forza di coesione ha un raggio d’azione r che non supera i 10-5 cm. Ciò vuol dire che se, facendo centro in una molecola, si descrive un cerchio di raggio r (SFERA D’AZIONE), la forza coesiva dovuta alla molecola agisce soltanto su quelle molecole che sono interne a tale sfera e che, viceversa, essa è soggetta soltanto all’azione delle molecole contenute nella sua sfera d’azione.
Consideriamo, ad esempio, la figura, in cui la molecola A è completamente “immersa” nel liquido: le forze di coesione dovute alle molecole contenute nella sua sfera d’azione, sono dirette in ogni senso, e come detto hanno risultante nulla. Invece le molecole B e C, la cui distanza dalla superficie del liquido è minore del raggio d’azione, sono soggette ad una forza diretta verso l’interno del liquido: questa forza, come si è già visto, è la risultante delle forze di coesione dovute alle molecole del liquido che si trovano nella loro sfera d’azione, riempiendola solo parzialmente. Se al di sopra della superficie del liquido c’è un gas, le sue molecole che cadono entro la sfera d’azione delle particelle superficiali del fluido, esercitano anch’esse delle forze, che però non compensano in alcun modo le forze esercitate dalla superficie del liquido. Da questo segue che lo strato superficiale del fluido si trova in una condizione diversa dal rimanente: si è visto che essa si comporta come una sottile pellicola elastica tesa, la quale tende quindi a contrarsi in modo da assumere la minima estensione. Ciò vale a dire che, se si pensa di tracciare sulla superficie di un liquido un segmentino Δl, comunque orientato, su di esso agisce la forza ΔF, tangente alla superficie del liquido e perpendicolare a Δl.
Il rapporto rappresenta proprio la Tensione Superficiale del liquido; essa si misura in newton/metro nel Sistema Internazionale; mentre nel Sistema C.G.S., in dine/cm.
Un altro punto di vista con cui può essere osservato tale fenomeno è quello energetico: si definisce allora la tensione superficiale anche come “l’energia di superficie libera”, in altre parole il lavoro necessario per aumentare di un cm2 la superficie libera del liquido.
Per giustificare tale formulazione consideriamo una situazione sperimentale: un telaio formato da un filo metallico è inizialmente immerso in un liquido; se si prova a sollevare tale strumento, si verifica il formarsi di una “lamina” di liquido su di esso. Inoltre si nota che viene generata, da parte del liquido, una forza di richiamo, che viene però bilanciata da una forza F = mg.
La forza di richiamo è di tipo elastico, ed essa è legata alla superficie della “lamina”: se indichiamo con x lo spostamento verticale del telaio, la variazione infinitesima della superficie di liquido è:
dS = dove il coefficiente 2 deriva dal fatto che la lamina ha due facce.
Il lavoro elementare compiuto dalla forza F è dato dalla: dL = , per definizione di lavoro meccanico.
D’altra parte la forza F è esattamente opposta alla forza di richiamo elastica F = -kS.
Il potenziale di una forza di questo tipo è = , da cui abbiamo le due formulazioni:
1. ; [In termini di potenziale fratto una superficie]
2. ; [In termini di una forza fratto una lunghezza]
Un modo per variare la tensione superficiale di un fluido è quello di versare in esso un agente tensioattivo o surfattante (generalmente lo è il sapone), che ostacola le forze di coesione.

Stalagmometro
Si tratta di uno strumento costituito da un tubo verticale, dotato un rigonfiamento sferico, con volume V ben delimitato dalle tacche A e B; in prossimità di tali punti il tubo si assottiglia fino a diventare un capillare, sia per ridurre la velocità di deflusso, che per definire con maggior “precisione” (minor incertezza) il volume V.
Nella parte terminale il tubo assume una forma a L, con sezione capillare: il tubo dal punto C in poi procede orizzontalmente, per poi ritornare verticale in D. Ciò riduce la velocità di deflusso, in modo da consentire il miglior funzionamento dello strumento.
Lo scopo principale dello stalagmometro è quello di misurare la densità del liquido, in seguito all’analisi del volume V e del numero di gocce che defluisce.
Bilancia di Mohr-Westphal
Questo è un apparecchio derivato dalla bilancia idrostatica, molto comodo per effettuare misure con i liquidi.
E’ costituita da una leva con bracci di lunghezza disuguale. Al braccio più corto è fissata una massa opportunamente scelta. All’'estremità (A) del braccio più lungo è appeso un immersore di vetro, dotato di un termometro. Su tale braccio, inoltre, sono praticate dieci divisioni per posizionare quattro cavalieri, che sono gli unici elementi utilizzabili per equilibrare la bilancia. I quattro cavalieri hanno pesi differenti: i più leggeri hanno rispettivamente un peso pari a 1/10, 1/100 e 1/1000 del più pesante. Il suo principio di funzionamento si basa sul confronto tra la spinta idrostatica che un corpo solido riceve quando è immerso in acqua distillata e quella che riceve quando è immerso in liquidi di densità sconosciuta. Il bilanciamento va verificato assicurandosi che le punte T e T siano esattamente in linea.
Lo strumento è tarato in modo da permettere la lettura diretta della densità del liquido che si vuole misurare. Per determinare la densità di un liquido si procede equilibrando inizialmente la bilancia, ed immergendo successivamente l’'immersore in un recipiente contenente acqua distillata ad una temperatura di 4°C. Si procede quindi a riequilibrare la bilancia sistemando opportunamente i cavalieri, che compensano la spinta che l’'immersore riceve dall’'acqua distillata. Dopo aver effettuato la taratura è possibile determinare la densità assoluta di qualsiasi liquido.
Un cilindretto P può essere spostato mediante rotazione lungo la parte FB del giogo, così da ottenere l’equilibrio.
In tali condizioni la somma dei momenti delle forze agenti rispetto al fulcro F è nulla.
Tali momenti sono:
➢ Il momento Mp del cilindro P mobile;
➢ Il momento Mc del corpo C;
➢ Il momento Ms della spinta idrostatica dell’aria;
➢ Il momento Mg del giogo.
Poiché le tacche in cui è diviso il braccio AF sono nove e tutte equidistanti, il cavalierino maggiore, posto sulla n-esima tacca, dà un momento rispetto al fulcro, n/10 volte il momento della spinta idrostatica del liquido.
I cavalierini minori daranno, se posti sulla stessa n-esima tacca, un momento n/100, n/1000 e n/10000 volte quello della spinta del liquido.
In generale:
Se, allora, immerso il corpo in un liquido di densità incognita minore di quella dell’acqua, la spinta di Archimede da esso ricevuta viene equilibrata dai cavalierini posti sulle tacche a-esima, b-esima, c-esima e d-esima; la densità relativa dell’acqua si potrà leggere direttamente con le tre cifre (a = decimi; b = centesimi; c = millesimi, d = decimillesimi).

B F A
T T
Dinamometro per Tensione Superficiale
Questo strumento è costituito essenzialmente da una molla graduata, collegata ad un sostegno fisso e solidale con la superficie d’appoggio. All’estremità inferiore della molla è posto un anello, che una volta immerso, determina la creazione di una lamina circolare del liquido di cui si vuole misurare la tensione superficiale.
Il fluido si trova all’interno di un cilindro (di diametro chiaramente maggiore dell’anello), collocato su di una particolare pedana mobile: questa, dotata di un particolare sistema meccanico, compie spostamenti minimi.
Lo scopo di tale dispositivo è di misurare la tensione superficiale in modo “operativo”: s’immerge l’anello nel liquido, e subito dopo si abbassa la pedana lentamente, sempre controllando la scala graduata; il valore della tensione è quello che segna la scala nell’istante in cui l’anello si stacca dal fluido: ciò avviene proprio perché in quell’istante la tensione è equilibrata da una forza di richiamo elastico, la cui entità è segnalata dalla molla stessa.
ESPERIMENTO
Tema della prova:
Misurare la Tensione Superficiale “relativa” di un liquido ignoto con il metodo dello stalagmometro, ricavando la densità con la bilancia di Morh-Westphal; poi ricavare la Tensione Superficiale Assoluta con il metodo del dinamometro.
Materiale:
• Stalagmometro;
• Cilindro contenente l’acqua distillata;
• Cilindro contenente il liquido ignoto;
• Dinamometro con scala al milliNewton, con annesso un anello;
• Bilancia di Morh-Westphal, comprensiva di cavalierini e immersore;
• Pompetta Stagger;

Procedimento:
Il metodo dello stalagmometro sfrutta l’equilibrio statico di una goccia che sta per cadere da un capillare.
Quando dal capillare fluisce il liquido, la goccia s’ingrossa e rimane attaccata al capillare finchè il suo peso è equilibrato dalle forze di tensione superficiale che si sviluppano lungo la circonferenza di “minimo diametro” d. Questa condizione si può esprimere meglio con la formulazione matematica della tensione superficiale: ,
m è la massa della goccia, g è la costante gravitazionale, e d il “diametro minimo” del capillare.
Ora esprimiamo il legame fra d e il diametro D del capillare mediante l’uguaglianza d = k D, supponendo che il coefficiente di proporzionalità k sia indipendente dal tipo di liquido, ma derivante solo dal capillare usato.
Tale considerazione consente di poter sfruttare la relazione trovata in precedenza, per calcolare la tensione superficiale del liquido in esame, in relazione al fluido campione (acqua distillata).
Infatti se scriviamo la tensione superficiale di una goccia di acqua distillata: ;
e quella del liquido incognito: ; e dividendo le due espressioni otteniamo: .
Per cui se ne deduce che per il calcolo della tensione superficiale relativa è indispensabile conoscere soltanto le masse delle varie gocce.
E qui entra in gioco lo stalagmometro: con una pompetta, applicata all’estremità superiore del tubo, si riempie la parte rigonfia tra i punti A e B, in prima analisi, d’acqua distillata.
Si misura la temperatura, e si disattiva la pompetta, ed il liquido comincia a defluire attraverso il tubo. Indichiamo con x0 il numero delle gocce che cadono quando l’acqua passa dal livello A a quello del punto B.
[Per una maggiore precisione conviene ripetere il conteggio più volte, e assumere, al termine, la media aritmetica dei risultati, come valore sperimentale di x0.]
Si ripete esattamente lo stesso procedimento usando il liquido del quale si vuole conoscere la tensione superficiale.
Si considerano le relazioni per ottenere la massa della singola goccia:
m0 =Vρ0/x0 [per l’acqua]
m = Vρ/x [per il liquido],
dove ρ0 e ρ sono le densità, rispettivamente, dell’H2O e del fluido. Quest’ultima calcolabile attraverso la bilancia di Mohr-Westphal.
In definitiva la tensione relativa è data da: .
Si ripete l’esperimento utilizzando l’altro strumento a disposizione: il dinamometro per tensione superficiale, e si completa il risultato ottenuto.
Esperienza
Dati sperimentali:
ρ = 0.8635 0.001 g/cm3 [calcolato con la bilancia di Mohr-Westphal]
ρ0 = 0.9980 g/cm3
x0 = 67 gocce [Per l’acqua]
x = 112 gocce [Per il liquido incognito]
t = 19.5 0.1 °C [Temperatura ambiente]
τ0 = 72.59 dine/cm [Tensione superficiale dell’acqua ricavate dalle tabelle, in corrispondenza della
temperatura rilevata]
= dine/cm [Metodo dello-
-stalagmometro]
F = 31.9 1 mN (3190 dine) [Forza ricavata con il Dinamometro innanzi illustrato]
Diametro della sezione:

Come abbiamo già visto dalla teoria, la tensione superficiale è data dalla formula τ = .
Nel nostro caso la F viene fornita dal Dinamometro, la “lunghezza l” non è altro che la circonferenza della parte terminale dello stalagmometro (2 π r). Abbiamo tutti gli elementi per calcolare la Tensione con questo metodo:
τ = F/4 π r = 3190.0/4 π 5.975 = 42.48 0.1 dine/cm
I valori si discostano di circa 5 dine/cm: tale discrepanza, nei limiti dell’esperienza di laboratorio, è accettabile.

Emanuele Umberto

Esempio