Resistenze in serie e in parallelo

Materie:Altro
Categoria:Fisica

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Testo

Titolo: Misure di resistenze tramite il multimetro digitale.
Scopo: Verificare con esperimenti che la resistenza equivalente di collegamenti in serie, in parallelo e misti misurata praticamente sia uguale entro l’errore sperimentale a quella calcolata teoricamente.
Materiale usato: Multimetro digitale – resistenze varie – cavi di collegamento.
Procedimento: Per prima cosa tramite il multimetro digitale abbiamo misurato ciascuna resistenza trascrivendo questi dati; dopo sono stati svolti, punto per punto, i collegamenti assegnatici misurando per ciascuno la resistenza equivalente. Dopo ogni misura pratica calcolavamo anche la resistenza eq teorica e la confrontavamo con quella pratica.
Elaborazione dati:
Misura delle resistenze
R1 in Ω
∆R 0,2
R2 in Ω
∆R 0,2
R3 in Ω
∆R 0,2
R4 in Ω
∆R 0,2
R5 in Ω
∆R 0,2
R6 in Ω
∆R 0,2
R7 in Ω
∆R 0,2
R8 in Ω
∆R 0,2
12,2
22,5
48,0
100,4
12,1
22,4
47,5
101,1
Misura delle resistenze eq teoriche e pratiche delle varie prove
PROVA
1
2
3
4
5
6
7
R eq teorica in Ω
82,7
7,9
11,27
19,7
54,6
125,7
57,4
R eq pratica in Ω
82,9
7,9
12,0
19,8
54,5
125,4
56,8
Conclusioni e commenti: Le incertezze relative sulle resistenze sono calcolate con la formula inc. ass. / grand.: ir R1 = 0,2 / 12,2 = 0,016; ir R2 = 0,2 / 22,5 = 0,009; ir R3 = 0,2 / 48,0 = 0,004; ir R4 = 0,2 / 100,4 = 0,002; ir R5 = 0,2 / 12,1 = 0,017; ir R6 = 0,2 / 22,4 = 0,009; ir R7 = 0,2 / 47,5 = 0,004; ir R8 = 0,2 / 101,1 = 0,002.
Le incertezze relative delle varie R eq sono state calcolate con la somma delle incertezze relative delle grandezze sommate o divise o moltiplicate. Trovata l’incertezza relativa di ciascuna R eq per trovare quella assoluta occorre moltiplicare ir per la grandezza (in questo caso R eq).
Un circuito può avere un sistema di resistenze in serie o parallelo:
Un sistema di resistenze in serie è un insieme di due o più resistenze collegate in modo che un estremo dell’una sia unito elettricamente ad un estremo dell’altra, cosicché tutte le resistenze della serie siano attraversate dalla stessa corrente.
In questo sistema (ponendo che ci siano tre resistenze R1 R2 e R3 e la resistenza complessiva o equivalente R) le intensità di corrente sono tutte uguali e sono uguali anche a quella complessiva (i = i1 = i2 = i3) e che la d.d.p. complessiva è uguale alla somma di tutte le altre (ΔV = ΔV1 + ΔV2 + ΔV 3). R × i quindi è uguale a R1 × i1 + R2 × i2 + R3 × i3 e visto che i = i1 = i2 = i3 abbiamo che R = R1 + R2 + R3. Con queste regole possiamo confermare l’ipotesi che un filo conduttore omogeneo e di uguale sezione abbia una resistenza elettrica direttamente proporzionale alla sua lunghezza. Quindi se a l corrisponde R a 2l corrisponderà 2R, a 3l 3R ecc.
Un sistema di resistenze in parallelo è invece un insieme di due o più resistenze collegate in modo che i loro estremi confluiscano in due soli punti e tali quindi da essere sottoposti alla stessa differenza di potenziale indicata con ΔV.
In questi sistemi abbiamo che ΔV = ΔV1 = ΔV2 = ΔV 3 e che i = i1 + i2 + i3. Sappiamo inoltre che ΔV = R × i; ΔV1 = R1 × i1; ΔV2 = R2 × i2; quindi abbiamo che ΔV / R = ΔV1 / R1 + ΔV2 / R2 + ΔV3 / R3 e, dato che ΔV = ΔV1 = ΔV2 = ΔV 3 la formula finale è 1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3.
La resistenza equivalente teorica è stata ricavata secondo queste formule per i vari punti mentre la sua incertezza è stata calcolata secondo la formula scritta prima:
1. R eq di R1 in serie con R2 e R3 = R1 + R2 + R3 = 12,2 + 22,5 + 48,0 = 82,7 Ω; ∆R eq = (ir R1 + ir R2 + ir R3) × R eq = (0,016 + 0,009 + 0,004) × 82,7 = 0,029 × 82,7 = 2,4 Ω;
2. R eq di R1 in parallelo a R2 = 1 / R1 + 1 / R2 = 7,9 Ω; ∆R eq = (ir R1 + ir R2) × R eq = 0,2 Ω;
3. R eq di R1 in parallelo alla serie R3-R4 = (1 / R1 + 1 / (R3 + R4))-1 = 11,27 Ω; ∆R eq = (ir R1 + ir R2 + ir R3) × R eq = 2,4 Ω;
4. R eq di R6 in parallelo alla serie R1-R3-R4 = (1 / R6 + 1 / (R1 + R3 + R4))-1 = 19,7 Ω; ∆R eq = ( irR6 + ir R1 + ir R3 + ir R4) × R eq = 0,4 Ω;
5. R eq di R6 in serie al parallelo R7-R8 = R6 + (1 / R7 + 1 / R8)-1 = 54,6 Ω; ∆R eq = (ir R6 + ir R7 + ir R8) × R eq = 0,8 Ω;
6. R eq di R5 e R4 in serie al parallelo R6-R7-R8 = R5 + R4 + (1 / R6 + 1 / R7 + 1 / R8)-1 = 125,7 Ω; ∆R eq = (ir R5 + ir R4 + ir R6 +ir R7 + ir R8) × R eq = 3,6 Ω;
7. R eq di R5 in serie al parallelo R1-R2-R3/R4 = R5 + (1 / R4 + 1 / (R1 + R2 + R3))-1 = 57,4 Ω; ∆R eq = (ir R1 + ir R2 + ir R3 ir + R4 + ir R5) × R eq = 2,8.
L’incertezza sulle misure trovate sperimentalmente, invece, è data dalla sensibilità dello strumento ed è 0,2 Ω; le misure teoriche e sperimentali delle R eq con i relativi errori sono quindi:
PROVA
R eq teorica in Ω
R eq pratica in Ω
1
(83 ± 2) Ω
(83 ± 0,2) Ω
2
(8 ± 0,2) Ω
(8 ± 0,2) Ω
3
(11 ± 2) Ω
(12 ± 0,2) Ω
4
(20 ± 0,4) Ω
(20 ± 0,2) Ω
5
(55 ± 1) Ω
(54 ± 0,2) Ω
6
(126 ± 4) Ω
(125 ± 0,2) Ω
7
(57 ± 3) Ω
(57 ± 0,2) Ω
Come possiamo vedere le misure corrispondono entro l’errore sperimentale, quindi possiamo affermare di aver verificato la correttezza delle formule sulle resistenze poste in serie e in parallelo.
I primi fenomeni elettrici furono scoperti in Grecia circa nel V sec a.C. dove era noto che l’ambra se sottoposta a strofinio poteva attrarre corpi piccoli e leggeri come pagliuzze, pezzettini di stoffa, di legno ecc.; il nome greco dell’ambra era electron ed è appunto da questo che tali fenomeni hanno preso il nome di fenomeni elettrici. Nel 1600 d.C. William S. Gilbert dopo essersi interessato del magnetismo, si occupa delle proprietà dell’ambra che riscontra anche in altre sostanze come il vetro, lo zolfo, la cera di Spagna, l’allume ecc...; raccolse tutte le informazioni che si avevano su questi fenomeni in un libro che pubblicò per sollecitare gli scienziati suoi contemporanei a studiarli più a fondo. Successivamente, verso il 1670 Otto von Guericke, celebre per aver inventato la macchina pneumatica e avere realizzato con questa la celebre esperienza degli emisferi di Magdeburgo, realizza anche la prima macchina elettrostatica per produrre l’elettricità che impiegava una sfera di zolfo che era fatta girare con una manovella; la sfera veniva sfregata con un panno tenuto con le mani e così si caricava di elettricità. In tutti gli esperimenti l’elettricità viene prodotta preferibilmente con tubi di vetro elettrizzati per sfregamento con panni, in genere di lana, sebbene già esistessero le macchine elettrostatiche con globi zolfo di Guericke e quelle con globi di vetro di Hawksbee. Verso il 1750 Adams sostituisce l’archetto per la rotazione del cilindro con una ruota dentata che ingranava con uno stantuffo fisso sull’albero del cilindro stesso; un corpo metallico cilindrico, sospeso da cinghie isolanti al supporto della macchina, immagazzinava le cariche elettriche che raccoglieva mediante due strisce di metallo. Nel 1784 viene impiegato per la prima volta un disco di vetro al posto del cilindro da Martinus van Marum, fisico e chimico olandese, scopritore dell’ozono che produsse mediante scariche elettriche in aria; le scariche elettriche ovviamente erano prodotte dalla sua macchina. Nel 1766 anche Jesse Ramsden, rinomato costruttore inglese di strumenti ottici di grande pregio, realizza una macchina elettrostatica che impiega al posto del cilindro di vetro un disco dello stesso metallo che fa frizionare da 4 cuscinetti imbottiti che aderivano al disco con molle. Oltre che per strofinio i corpi possono caricarsi per induzione, come l’elettroforo di Volta, ideato intorno al 1775 È costituito da uno strato di resina contenuta in un piatto metallico, e da un disco metallico dotato di manico isolante Lo strato di resina veniva caricato negativamente per strofinio si poneva poi lo scudo a contatto con lo strato di resina. Tra gli ultimi generatori di cariche elettrostatiche è importante anche quello che Robert Van de Graaff, studente di fisica al MIT, ha scoperto nel 1920. Nel 1726 Stephen Gray fa i primi esperimenti su corpi conduttori ed isolanti e suddivide la materia in corpi elettrici, ovvero cattivi conduttori e non elettrici ovvero buoni conduttori. Scopre anche che il corpo umano può elettrizzarsi. Charles François de Cisternay du Fay, dimostra nel 1733 con degli esperimenti che tutti i corpi possono essere elettrizzati per sfregamento se tenuti isolati con un manico di vetro o d’ambra. La scoperta che fa di Dufay uno dei capostipiti della Scienza dell’elettricità è la distinzione tra due tipi di elettricità: elettricità vitrea e elettricità resinosa di comportamento opposto. Per primo dimostra che si possono trarre scintille dal corpo umano, con un’esperienza eseguita nel 1745 e che lo rese famoso nell’ambiente scientifico di tutta Europa. Charles Du Fay (1730) e Benjamin Franklin (1740) esprimono teorie sui fenomeni elettrici fondate sul modello macroscopico del fluido elettrico: Du Fay credeva che in natura esistessero fluidi elettrici, uno positivo o resinoso perché tipico dell’ambra che è una resina e uno negativo o vetroso perché tipico del vetro. La prevalenza di un fluido rispetto all’altro rende il corpo negativo o positivo mentre l’uguaglianza della quantità dei due fluidi crea la neutralità elettrica nel corpo. Secondo Franklin invece in natura esiste solo il fluido positivo e le cariche del corpo si mutano secondo quest’ordine:
• Un corpo è elettricamente neutro quando ha una definita quantità di fluido positivo;
• Un corpo è elettricamente positivo quando ha più quantità di fluido positivo di quella definita;
• Un corpo è elettricamente negativo quando ha meno quantità di fluido positivo di quella definita.
Secondo Franklin invece in natura esiste solo il fluido positivo e le cariche del corpo si mutano secondo quest’ordine:
• Un corpo è elettricamente neutro quando ha una definita quantità di fluido positivo;
• Un corpo è elettricamente positivo quando ha più quantità di fluido positivo di quella definita;
• Un corpo è elettricamente negativo quando ha meno quantità di fluido positivo di quella definita.
Alla quantità di fluido elettrico veniva associata una grandezza fisica detta carica elettrica misurata in coulomb (C). Corpi carichi dello stesso segno si respingono mentre corpi carichi di segno opposto si attraggono. Nel XVIII e nel XIX secolo gli scienziati seguirono entrambi questi modelli ma a fine Ottocento c’è stata l’accettazione di un unico modello per l’elettricità: un modello macroscopico fondato sui concetti di atomo e elettrone. Fino al 1800 le quantità di fluido elettrico prodotte (tramite svariate tecniche tutte riconducibili allo strofinio) erano minime, ma in quell’anno Alessandro Volta rese noto al mondo scientifico un apparato elettromotore in grado di generare flussi di elettricità più intensi e continui. Si tratta della pila (chiamata così perché originariamente si trattava di una pila di dischetti bimetallici di argento o rame e zolfo separati da cartoncini imbevuti in acqua salata), nome che viene utilizzato ancora oggi per indicare i generatori elettrochimici: la pila di Volta infatti è in grado di mettere in circolazione del fluido elettrico nei materiali che mettono in comunicazione i suoi due poli che va dal polo positivo a quello negativo.
L’intensità di corrente caratterizza il fluido nel suo movimento ed è data dal rapporto tra la carica elettrica q che attraversa una qualunque sezione del conduttore percorso dalla corrente in un certo tempo Δt e il tempo Δt stesso. La sua unità di misura risulta quindi il rapporto tra coulomb e secondi e viene chiamata ampere (A); l’intensità di corrente si misura con l’amperometro.
Possiamo dimostrare attraverso un semplice esperimento che in un circuito elettrico in serie l’intensità di corrente è costante in tutto il circuito e, attraverso un altro esperimento, è anche possibile dimostrare che, con l’intensità di corrente costante, la differenza di potenziale varia da un punto all’altro del circuito e, più precisamente, si ha una progressiva diminuzione del potenziale (chiamata anche caduta di potenziale) che si realizza secondo il verso secondo cui fluisce la corrente.
Un circuito elettrico può essere paragonato ad un semplice circuito idraulico costituito da una vaschetta A sopraelevata rispetto ad un altro recipiente B al quale è unita tramite un tubo C e dal quale l’acqua viene riportata in A da una pompa P: l’acqua si associa alla corrente, visto che entrambe si muovono in un circuito; il dislivello tra A e B alla differenza di potenziale poiché il primo permette all’acqua di cadere in B e il secondo consente al fluido elettrico di muoversi da un polo all’altro; alla pompa che fa tornare l’acqua in A per iniziare nuovamente in circuito il generatore, che fa la stessa cosa con il fluido elettrico prendendolo dal polo negativo e riconsegnandogli quella differenza di potenziale necessaria. Inoltre sappiamo che:
• Come l’acqua che attraversa una qualunque sezione del tubo C nell’unità di tempo è sempre identica l’intensità di corrente che attraversa il conduttore nell’unità di tempo;
• Come la quantità d’acqua che defluisce nell’unità di tempo nel recipiente B aumenta con l’aumentare del dislivello anche l’intensità di corrente aumenta con l’aumentare della d.d.p.
Verso la fine del XIX sec J. Thomson scoprì (nel 1897) l’esistenza di particelle elettricamente cariche di massa estremamente piccola: gli elettroni che hanno una carica pari a 1,60 × 10-19 e una massa di 9,11 × 10-31 Kg. In seguito, nel 1911, E. Rutherford ipotizzò un modello planetario di atomo secondo cui un atomo è costituito da un nucleo carico positivamente e da degli elettroni cariche negativamente che gli girano attorno trattenuti dalla forza espressa dalla legge di Coulomb:
F = k × (q1 – q2) / d2
F = forza di attrazione se le cariche sono di segno opposto e di repulsione se sono dello stesso segno;
k = costante di proporzionalità della relazione;
q1 e q2 = valore delle cariche che interagiscono;
d = distanza tra le cariche.
Il nucleo è costituito da protoni, di massa 1,67 × 10-27 Kg e di stessa carica (ma di segno apposto) degli elettroni e neutroni, di massa più grande di quella dei protoni di 0,1% e senza carica (o carica neutra).
Un atomo in condizioni normali è elettricamente neutro poiché il numero dei protoni è uguale al numero degli elettroni ma è possibile aggiungere o sottrarre elettroni ad un atomo formando ioni negativi o positivi tramite delle tecniche quali lo strofinio. In questo modo infatti si fanno muovere molto velocemente gli elettroni alcuni dei quali abbandonano un corpo per andare nell’altro con cui sono a contatto e, di conseguenza, si carica un corpo positivamente o negativamente. Per strofinio si può caricare, ad esempio un palloncino che se viene attaccato ad una parete non cade fino a che rimane carico, oppure vari altri oggetti come una bacchetta di plastica e, se proviamo ad avvicinarla ad una piccola massa di polistirolo sostenuta da un filo, possiamo vedere che questa viene attratta dalla bacchetta. Possono essere elettrizzati altri materiali, ma non tutti e possiamo dividerli in isolanti e conduttori. I conduttori sono quelle sostanze che hanno più attitudine a farsi attraversare dalla corrente (cioè gli elettroni si spostano liberamente al loro interno e sono detti elettroni di conduzione), perciò questa si sposta al loro interno propagandosi per tutto il corpo rendendo così molto difficile l’elettrizzazione per strofinio, più semplice negli isolanti che hanno una scarsa attitudine a farsi attraversare dalla corrente (cioè gli elettroni al loro interno rimangono legati ai propri nuclei) e perciò gli ioni creati con lo strofinio rimangono fermi (è per questo che negli isolanti si elettrizza solo la parte sottoposta a strofinio o a qualche altra carica).I conduttori sono sostanze come rame, ottone, ferro, piombo e argento mentre gli isolanti sono sostanze come il quarzo, il vetro, la porcellana e lo zolfo; gli isolanti si suddividono, inoltre, in due categorie: sostanze vetrose (che tendono a cedere elettroni nello strofinio) e sostanze resinose (che invece tendono ad acquistarne). Esistono degli strumenti in grado di rivelare lo stato elettrico dei corpi e di stabilire se questo è positivo o negativo e si chiamano elettroscopi. La resistenza elettrica (che viene rappresentata con una linea segmentata) caratterizza l’attitudine dei materiali a farsi attraversare dalla corrente elettrica ed è data, secondo la legge di Ohm, dal rapporto della d.d.p. e l’intensità di corrente; la sua unità di misura è l’ohm (Ω) ed è dato da volt (V) su ampere (A). Sostanze con una bassa resistenza che hanno quindi attitudine a lasciarsi attraversare dalla corrente si dicono conduttori elettrici mentre sostanze che hanno un’elevata resistenza si dicono isolanti elettrici. La resistenza si misura con l’ohmetro. Secondo la prima legge di ohm la resistenza è uguale al rapporto tra la d.d.p. e l’intensità di corrente: R = ∆V/i.
Da questa legge si ricavano anche le formule ∆V = i × R e i = ∆V/R.
La seconda legge di Ohm è detta anche legge della resistività e dice che:
• La resistenza di un dato elemento è uguale al prodotto tra la sua resistività (che è una grandezza costante) e il rapporto tra la lunghezza e la sezione del filo: R = rho × l/s.
Al raddoppiare della lunghezza del filo del materiale che costituisce la resistenza raddoppia anche la resistenza mentre al quadruplicare della sua sezione la resistenza diventa un quarto. Questo dimostra la legge di ohm poiché afferma che al variare della lunghezza (con sezione costante) varia la resistenza e precisamente al raddoppiare dell’una raddoppia anche l’altra ecc. (esiste perciò tra lunghezza e resistenza un rapporto di proporzionalità diretta); inoltre esiste un rapporto di proporzionalità inversa tra la resistenza e la sezione (al raddoppiare della sezione dimezza la resistenza ecc.).
Da questa legge si ricava la formula inversa per trovare rho: rho = R × s/l.
La legge di Ohm, secondo la quale il rapporto tra d.d.p. e intensità di corrente è costante, si verifica soltanto in alcuni casi dove si ha, quindi, un regime ohmico; vi sono però anche casi dove il regime è non ohmico, dove cioè non si verifica la legge di Ohm, come nel caso di un circuito che ha come resistenza una lampadina: infatti in questo caso notiamo che all’inizio l’aumentare della d.d.p. e dell’intensità era costante, me che la resistenza è aumentata quando la lampadina ha iniziato a produrre luce, cioè quando il filo ha iniziato a riscaldarsi raggiungendo una temperatura molto elevata.
Attraverso un esperimento con un calorimetro elettrico possiamo verificare che la corrente quando passa in un conduttore sviluppa calore che si calcola, per la legge fondamentale della termologia, con la formula Q = Ch20 × (m + me) × Δt (dove con Q si intende il calore, con Ch20 il calore specifico dell’acqua, con m e me la massa dell’acqua e la massa equivalente del calorimetro in acqua e con Δt l’aumento di temperatura che si è verificato).
Per fare quest’esperimento (avendo me noto) è necessario:
• Regolare il generatore in modo da avere una definita d.d.p. e interrompere il circuito dopo l’esperimento;
• Inserire nel calorimetro una massa d’acqua m e misurare la sua temperatura;
• Lasciare l’acqua nel calorimetro per un tempo t pari a 10-15 min facendo in modo che la d.d.p. rimanga costante;
• Al termine del tempo misurare la temperatura finale dell’acqua;
• Calcolare Δt ed eseguire la formula per trovare Q;
• Per una maggiore precisione ripetere l’esperimento altre volte.
Con quest’esperimento possiamo notare che tra Q e i valori delle grandezze elettriche c’è una relazione e precisamente:
• Una dipendenza quadratica tra Q e i (intensità di corrente) e una proporzionalità diretta tra Q e il tempo t di deflusso che portano alla relazione Q = i2 × t;
• Una relazione con R che porta alla formula Q = k × R × i2 × t e quindi a Q = k × ΔV × i × t dove k è la costante che è uguale a 0,24 (mentre 1/k = 4,2; il calcolo di questa costante ha consentito di dare una forma quantitativa al principio di conservazione dell’energia.
Titolo: Misure di resistenze tramite il multimetro digitale.
Scopo: Verificare con esperimenti che la resistenza equivalente di collegamenti in serie, in parallelo e misti misurata praticamente sia uguale entro l’errore sperimentale a quella calcolata teoricamente.
Materiale usato: Multimetro digitale – resistenze varie – cavi di collegamento.
Procedimento: Per prima cosa tramite il multimetro digitale abbiamo misurato ciascuna resistenza trascrivendo questi dati; dopo sono stati svolti, punto per punto, i collegamenti assegnatici misurando per ciascuno la resistenza equivalente. Dopo ogni misura pratica calcolavamo anche la resistenza eq teorica e la confrontavamo con quella pratica.
Elaborazione dati:
Misura delle resistenze
R1 in Ω
∆R 0,2
R2 in Ω
∆R 0,2
R3 in Ω
∆R 0,2
R4 in Ω
∆R 0,2
R5 in Ω
∆R 0,2
R6 in Ω
∆R 0,2
R7 in Ω
∆R 0,2
R8 in Ω
∆R 0,2
12,2
22,5
48,0
100,4
12,1
22,4
47,5
101,1
Misura delle resistenze eq teoriche e pratiche delle varie prove
PROVA
1
2
3
4
5
6
7
R eq teorica in Ω
82,7
7,9
11,27
19,7
54,6
125,7
57,4
R eq pratica in Ω
82,9
7,9
12,0
19,8
54,5
125,4
56,8
Conclusioni e commenti: Le incertezze relative sulle resistenze sono calcolate con la formula inc. ass. / grand.: ir R1 = 0,2 / 12,2 = 0,016; ir R2 = 0,2 / 22,5 = 0,009; ir R3 = 0,2 / 48,0 = 0,004; ir R4 = 0,2 / 100,4 = 0,002; ir R5 = 0,2 / 12,1 = 0,017; ir R6 = 0,2 / 22,4 = 0,009; ir R7 = 0,2 / 47,5 = 0,004; ir R8 = 0,2 / 101,1 = 0,002.
Le incertezze relative delle varie R eq sono state calcolate con la somma delle incertezze relative delle grandezze sommate o divise o moltiplicate. Trovata l’incertezza relativa di ciascuna R eq per trovare quella assoluta occorre moltiplicare ir per la grandezza (in questo caso R eq).
Un circuito può avere un sistema di resistenze in serie o parallelo:
Un sistema di resistenze in serie è un insieme di due o più resistenze collegate in modo che un estremo dell’una sia unito elettricamente ad un estremo dell’altra, cosicché tutte le resistenze della serie siano attraversate dalla stessa corrente.
In questo sistema (ponendo che ci siano tre resistenze R1 R2 e R3 e la resistenza complessiva o equivalente R) le intensità di corrente sono tutte uguali e sono uguali anche a quella complessiva (i = i1 = i2 = i3) e che la d.d.p. complessiva è uguale alla somma di tutte le altre (ΔV = ΔV1 + ΔV2 + ΔV 3). R × i quindi è uguale a R1 × i1 + R2 × i2 + R3 × i3 e visto che i = i1 = i2 = i3 abbiamo che R = R1 + R2 + R3. Con queste regole possiamo confermare l’ipotesi che un filo conduttore omogeneo e di uguale sezione abbia una resistenza elettrica direttamente proporzionale alla sua lunghezza. Quindi se a l corrisponde R a 2l corrisponderà 2R, a 3l 3R ecc.
Un sistema di resistenze in parallelo è invece un insieme di due o più resistenze collegate in modo che i loro estremi confluiscano in due soli punti e tali quindi da essere sottoposti alla stessa differenza di potenziale indicata con ΔV.
In questi sistemi abbiamo che ΔV = ΔV1 = ΔV2 = ΔV 3 e che i = i1 + i2 + i3. Sappiamo inoltre che ΔV = R × i; ΔV1 = R1 × i1; ΔV2 = R2 × i2; quindi abbiamo che ΔV / R = ΔV1 / R1 + ΔV2 / R2 + ΔV3 / R3 e, dato che ΔV = ΔV1 = ΔV2 = ΔV 3 la formula finale è 1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3.
La resistenza equivalente teorica è stata ricavata secondo queste formule per i vari punti mentre la sua incertezza è stata calcolata secondo la formula scritta prima:
1. R eq di R1 in serie con R2 e R3 = R1 + R2 + R3 = 12,2 + 22,5 + 48,0 = 82,7 Ω; ∆R eq = (ir R1 + ir R2 + ir R3) × R eq = (0,016 + 0,009 + 0,004) × 82,7 = 0,029 × 82,7 = 2,4 Ω;
2. R eq di R1 in parallelo a R2 = 1 / R1 + 1 / R2 = 7,9 Ω; ∆R eq = (ir R1 + ir R2) × R eq = 0,2 Ω;
3. R eq di R1 in parallelo alla serie R3-R4 = (1 / R1 + 1 / (R3 + R4))-1 = 11,27 Ω; ∆R eq = (ir R1 + ir R2 + ir R3) × R eq = 2,4 Ω;
4. R eq di R6 in parallelo alla serie R1-R3-R4 = (1 / R6 + 1 / (R1 + R3 + R4))-1 = 19,7 Ω; ∆R eq = ( irR6 + ir R1 + ir R3 + ir R4) × R eq = 0,4 Ω;
5. R eq di R6 in serie al parallelo R7-R8 = R6 + (1 / R7 + 1 / R8)-1 = 54,6 Ω; ∆R eq = (ir R6 + ir R7 + ir R8) × R eq = 0,8 Ω;
6. R eq di R5 e R4 in serie al parallelo R6-R7-R8 = R5 + R4 + (1 / R6 + 1 / R7 + 1 / R8)-1 = 125,7 Ω; ∆R eq = (ir R5 + ir R4 + ir R6 +ir R7 + ir R8) × R eq = 3,6 Ω;
7. R eq di R5 in serie al parallelo R1-R2-R3/R4 = R5 + (1 / R4 + 1 / (R1 + R2 + R3))-1 = 57,4 Ω; ∆R eq = (ir R1 + ir R2 + ir R3 ir + R4 + ir R5) × R eq = 2,8.
L’incertezza sulle misure trovate sperimentalmente, invece, è data dalla sensibilità dello strumento ed è 0,2 Ω; le misure teoriche e sperimentali delle R eq con i relativi errori sono quindi:
PROVA
R eq teorica in Ω
R eq pratica in Ω
1
(83 ± 2) Ω
(83 ± 0,2) Ω
2
(8 ± 0,2) Ω
(8 ± 0,2) Ω
3
(11 ± 2) Ω
(12 ± 0,2) Ω
4
(20 ± 0,4) Ω
(20 ± 0,2) Ω
5
(55 ± 1) Ω
(54 ± 0,2) Ω
6
(126 ± 4) Ω
(125 ± 0,2) Ω
7
(57 ± 3) Ω
(57 ± 0,2) Ω
Come possiamo vedere le misure corrispondono entro l’errore sperimentale, quindi possiamo affermare di aver verificato la correttezza delle formule sulle resistenze poste in serie e in parallelo.
I primi fenomeni elettrici furono scoperti in Grecia circa nel V sec a.C. dove era noto che l’ambra se sottoposta a strofinio poteva attrarre corpi piccoli e leggeri come pagliuzze, pezzettini di stoffa, di legno ecc.; il nome greco dell’ambra era electron ed è appunto da questo che tali fenomeni hanno preso il nome di fenomeni elettrici. Nel 1600 d.C. William S. Gilbert dopo essersi interessato del magnetismo, si occupa delle proprietà dell’ambra che riscontra anche in altre sostanze come il vetro, lo zolfo, la cera di Spagna, l’allume ecc...; raccolse tutte le informazioni che si avevano su questi fenomeni in un libro che pubblicò per sollecitare gli scienziati suoi contemporanei a studiarli più a fondo. Successivamente, verso il 1670 Otto von Guericke, celebre per aver inventato la macchina pneumatica e avere realizzato con questa la celebre esperienza degli emisferi di Magdeburgo, realizza anche la prima macchina elettrostatica per produrre l’elettricità che impiegava una sfera di zolfo che era fatta girare con una manovella; la sfera veniva sfregata con un panno tenuto con le mani e così si caricava di elettricità. In tutti gli esperimenti l’elettricità viene prodotta preferibilmente con tubi di vetro elettrizzati per sfregamento con panni, in genere di lana, sebbene già esistessero le macchine elettrostatiche con globi zolfo di Guericke e quelle con globi di vetro di Hawksbee. Verso il 1750 Adams sostituisce l’archetto per la rotazione del cilindro con una ruota dentata che ingranava con uno stantuffo fisso sull’albero del cilindro stesso; un corpo metallico cilindrico, sospeso da cinghie isolanti al supporto della macchina, immagazzinava le cariche elettriche che raccoglieva mediante due strisce di metallo. Nel 1784 viene impiegato per la prima volta un disco di vetro al posto del cilindro da Martinus van Marum, fisico e chimico olandese, scopritore dell’ozono che produsse mediante scariche elettriche in aria; le scariche elettriche ovviamente erano prodotte dalla sua macchina. Nel 1766 anche Jesse Ramsden, rinomato costruttore inglese di strumenti ottici di grande pregio, realizza una macchina elettrostatica che impiega al posto del cilindro di vetro un disco dello stesso metallo che fa frizionare da 4 cuscinetti imbottiti che aderivano al disco con molle. Oltre che per strofinio i corpi possono caricarsi per induzione, come l’elettroforo di Volta, ideato intorno al 1775 È costituito da uno strato di resina contenuta in un piatto metallico, e da un disco metallico dotato di manico isolante Lo strato di resina veniva caricato negativamente per strofinio si poneva poi lo scudo a contatto con lo strato di resina. Tra gli ultimi generatori di cariche elettrostatiche è importante anche quello che Robert Van de Graaff, studente di fisica al MIT, ha scoperto nel 1920. Nel 1726 Stephen Gray fa i primi esperimenti su corpi conduttori ed isolanti e suddivide la materia in corpi elettrici, ovvero cattivi conduttori e non elettrici ovvero buoni conduttori. Scopre anche che il corpo umano può elettrizzarsi. Charles François de Cisternay du Fay, dimostra nel 1733 con degli esperimenti che tutti i corpi possono essere elettrizzati per sfregamento se tenuti isolati con un manico di vetro o d’ambra. La scoperta che fa di Dufay uno dei capostipiti della Scienza dell’elettricità è la distinzione tra due tipi di elettricità: elettricità vitrea e elettricità resinosa di comportamento opposto. Per primo dimostra che si possono trarre scintille dal corpo umano, con un’esperienza eseguita nel 1745 e che lo rese famoso nell’ambiente scientifico di tutta Europa. Charles Du Fay (1730) e Benjamin Franklin (1740) esprimono teorie sui fenomeni elettrici fondate sul modello macroscopico del fluido elettrico: Du Fay credeva che in natura esistessero fluidi elettrici, uno positivo o resinoso perché tipico dell’ambra che è una resina e uno negativo o vetroso perché tipico del vetro. La prevalenza di un fluido rispetto all’altro rende il corpo negativo o positivo mentre l’uguaglianza della quantità dei due fluidi crea la neutralità elettrica nel corpo. Secondo Franklin invece in natura esiste solo il fluido positivo e le cariche del corpo si mutano secondo quest’ordine:
• Un corpo è elettricamente neutro quando ha una definita quantità di fluido positivo;
• Un corpo è elettricamente positivo quando ha più quantità di fluido positivo di quella definita;
• Un corpo è elettricamente negativo quando ha meno quantità di fluido positivo di quella definita.
Secondo Franklin invece in natura esiste solo il fluido positivo e le cariche del corpo si mutano secondo quest’ordine:
• Un corpo è elettricamente neutro quando ha una definita quantità di fluido positivo;
• Un corpo è elettricamente positivo quando ha più quantità di fluido positivo di quella definita;
• Un corpo è elettricamente negativo quando ha meno quantità di fluido positivo di quella definita.
Alla quantità di fluido elettrico veniva associata una grandezza fisica detta carica elettrica misurata in coulomb (C). Corpi carichi dello stesso segno si respingono mentre corpi carichi di segno opposto si attraggono. Nel XVIII e nel XIX secolo gli scienziati seguirono entrambi questi modelli ma a fine Ottocento c’è stata l’accettazione di un unico modello per l’elettricità: un modello macroscopico fondato sui concetti di atomo e elettrone. Fino al 1800 le quantità di fluido elettrico prodotte (tramite svariate tecniche tutte riconducibili allo strofinio) erano minime, ma in quell’anno Alessandro Volta rese noto al mondo scientifico un apparato elettromotore in grado di generare flussi di elettricità più intensi e continui. Si tratta della pila (chiamata così perché originariamente si trattava di una pila di dischetti bimetallici di argento o rame e zolfo separati da cartoncini imbevuti in acqua salata), nome che viene utilizzato ancora oggi per indicare i generatori elettrochimici: la pila di Volta infatti è in grado di mettere in circolazione del fluido elettrico nei materiali che mettono in comunicazione i suoi due poli che va dal polo positivo a quello negativo.
L’intensità di corrente caratterizza il fluido nel suo movimento ed è data dal rapporto tra la carica elettrica q che attraversa una qualunque sezione del conduttore percorso dalla corrente in un certo tempo Δt e il tempo Δt stesso. La sua unità di misura risulta quindi il rapporto tra coulomb e secondi e viene chiamata ampere (A); l’intensità di corrente si misura con l’amperometro.
Possiamo dimostrare attraverso un semplice esperimento che in un circuito elettrico in serie l’intensità di corrente è costante in tutto il circuito e, attraverso un altro esperimento, è anche possibile dimostrare che, con l’intensità di corrente costante, la differenza di potenziale varia da un punto all’altro del circuito e, più precisamente, si ha una progressiva diminuzione del potenziale (chiamata anche caduta di potenziale) che si realizza secondo il verso secondo cui fluisce la corrente.
Un circuito elettrico può essere paragonato ad un semplice circuito idraulico costituito da una vaschetta A sopraelevata rispetto ad un altro recipiente B al quale è unita tramite un tubo C e dal quale l’acqua viene riportata in A da una pompa P: l’acqua si associa alla corrente, visto che entrambe si muovono in un circuito; il dislivello tra A e B alla differenza di potenziale poiché il primo permette all’acqua di cadere in B e il secondo consente al fluido elettrico di muoversi da un polo all’altro; alla pompa che fa tornare l’acqua in A per iniziare nuovamente in circuito il generatore, che fa la stessa cosa con il fluido elettrico prendendolo dal polo negativo e riconsegnandogli quella differenza di potenziale necessaria. Inoltre sappiamo che:
• Come l’acqua che attraversa una qualunque sezione del tubo C nell’unità di tempo è sempre identica l’intensità di corrente che attraversa il conduttore nell’unità di tempo;
• Come la quantità d’acqua che defluisce nell’unità di tempo nel recipiente B aumenta con l’aumentare del dislivello anche l’intensità di corrente aumenta con l’aumentare della d.d.p.
Verso la fine del XIX sec J. Thomson scoprì (nel 1897) l’esistenza di particelle elettricamente cariche di massa estremamente piccola: gli elettroni che hanno una carica pari a 1,60 × 10-19 e una massa di 9,11 × 10-31 Kg. In seguito, nel 1911, E. Rutherford ipotizzò un modello planetario di atomo secondo cui un atomo è costituito da un nucleo carico positivamente e da degli elettroni cariche negativamente che gli girano attorno trattenuti dalla forza espressa dalla legge di Coulomb:
F = k × (q1 – q2) / d2
F = forza di attrazione se le cariche sono di segno opposto e di repulsione se sono dello stesso segno;
k = costante di proporzionalità della relazione;
q1 e q2 = valore delle cariche che interagiscono;
d = distanza tra le cariche.
Il nucleo è costituito da protoni, di massa 1,67 × 10-27 Kg e di stessa carica (ma di segno apposto) degli elettroni e neutroni, di massa più grande di quella dei protoni di 0,1% e senza carica (o carica neutra).
Un atomo in condizioni normali è elettricamente neutro poiché il numero dei protoni è uguale al numero degli elettroni ma è possibile aggiungere o sottrarre elettroni ad un atomo formando ioni negativi o positivi tramite delle tecniche quali lo strofinio. In questo modo infatti si fanno muovere molto velocemente gli elettroni alcuni dei quali abbandonano un corpo per andare nell’altro con cui sono a contatto e, di conseguenza, si carica un corpo positivamente o negativamente. Per strofinio si può caricare, ad esempio un palloncino che se viene attaccato ad una parete non cade fino a che rimane carico, oppure vari altri oggetti come una bacchetta di plastica e, se proviamo ad avvicinarla ad una piccola massa di polistirolo sostenuta da un filo, possiamo vedere che questa viene attratta dalla bacchetta. Possono essere elettrizzati altri materiali, ma non tutti e possiamo dividerli in isolanti e conduttori. I conduttori sono quelle sostanze che hanno più attitudine a farsi attraversare dalla corrente (cioè gli elettroni si spostano liberamente al loro interno e sono detti elettroni di conduzione), perciò questa si sposta al loro interno propagandosi per tutto il corpo rendendo così molto difficile l’elettrizzazione per strofinio, più semplice negli isolanti che hanno una scarsa attitudine a farsi attraversare dalla corrente (cioè gli elettroni al loro interno rimangono legati ai propri nuclei) e perciò gli ioni creati con lo strofinio rimangono fermi (è per questo che negli isolanti si elettrizza solo la parte sottoposta a strofinio o a qualche altra carica).I conduttori sono sostanze come rame, ottone, ferro, piombo e argento mentre gli isolanti sono sostanze come il quarzo, il vetro, la porcellana e lo zolfo; gli isolanti si suddividono, inoltre, in due categorie: sostanze vetrose (che tendono a cedere elettroni nello strofinio) e sostanze resinose (che invece tendono ad acquistarne). Esistono degli strumenti in grado di rivelare lo stato elettrico dei corpi e di stabilire se questo è positivo o negativo e si chiamano elettroscopi. La resistenza elettrica (che viene rappresentata con una linea segmentata) caratterizza l’attitudine dei materiali a farsi attraversare dalla corrente elettrica ed è data, secondo la legge di Ohm, dal rapporto della d.d.p. e l’intensità di corrente; la sua unità di misura è l’ohm (Ω) ed è dato da volt (V) su ampere (A). Sostanze con una bassa resistenza che hanno quindi attitudine a lasciarsi attraversare dalla corrente si dicono conduttori elettrici mentre sostanze che hanno un’elevata resistenza si dicono isolanti elettrici. La resistenza si misura con l’ohmetro. Secondo la prima legge di ohm la resistenza è uguale al rapporto tra la d.d.p. e l’intensità di corrente: R = ∆V/i.
Da questa legge si ricavano anche le formule ∆V = i × R e i = ∆V/R.
La seconda legge di Ohm è detta anche legge della resistività e dice che:
• La resistenza di un dato elemento è uguale al prodotto tra la sua resistività (che è una grandezza costante) e il rapporto tra la lunghezza e la sezione del filo: R = rho × l/s.
Al raddoppiare della lunghezza del filo del materiale che costituisce la resistenza raddoppia anche la resistenza mentre al quadruplicare della sua sezione la resistenza diventa un quarto. Questo dimostra la legge di ohm poiché afferma che al variare della lunghezza (con sezione costante) varia la resistenza e precisamente al raddoppiare dell’una raddoppia anche l’altra ecc. (esiste perciò tra lunghezza e resistenza un rapporto di proporzionalità diretta); inoltre esiste un rapporto di proporzionalità inversa tra la resistenza e la sezione (al raddoppiare della sezione dimezza la resistenza ecc.).
Da questa legge si ricava la formula inversa per trovare rho: rho = R × s/l.
La legge di Ohm, secondo la quale il rapporto tra d.d.p. e intensità di corrente è costante, si verifica soltanto in alcuni casi dove si ha, quindi, un regime ohmico; vi sono però anche casi dove il regime è non ohmico, dove cioè non si verifica la legge di Ohm, come nel caso di un circuito che ha come resistenza una lampadina: infatti in questo caso notiamo che all’inizio l’aumentare della d.d.p. e dell’intensità era costante, me che la resistenza è aumentata quando la lampadina ha iniziato a produrre luce, cioè quando il filo ha iniziato a riscaldarsi raggiungendo una temperatura molto elevata.
Attraverso un esperimento con un calorimetro elettrico possiamo verificare che la corrente quando passa in un conduttore sviluppa calore che si calcola, per la legge fondamentale della termologia, con la formula Q = Ch20 × (m + me) × Δt (dove con Q si intende il calore, con Ch20 il calore specifico dell’acqua, con m e me la massa dell’acqua e la massa equivalente del calorimetro in acqua e con Δt l’aumento di temperatura che si è verificato).
Per fare quest’esperimento (avendo me noto) è necessario:
• Regolare il generatore in modo da avere una definita d.d.p. e interrompere il circuito dopo l’esperimento;
• Inserire nel calorimetro una massa d’acqua m e misurare la sua temperatura;
• Lasciare l’acqua nel calorimetro per un tempo t pari a 10-15 min facendo in modo che la d.d.p. rimanga costante;
• Al termine del tempo misurare la temperatura finale dell’acqua;
• Calcolare Δt ed eseguire la formula per trovare Q;
• Per una maggiore precisione ripetere l’esperimento altre volte.
Con quest’esperimento possiamo notare che tra Q e i valori delle grandezze elettriche c’è una relazione e precisamente:
• Una dipendenza quadratica tra Q e i (intensità di corrente) e una proporzionalità diretta tra Q e il tempo t di deflusso che portano alla relazione Q = i2 × t;
• Una relazione con R che porta alla formula Q = k × R × i2 × t e quindi a Q = k × ΔV × i × t dove k è la costante che è uguale a 0,24 (mentre 1/k = 4,2; il calcolo di questa costante ha consentito di dare una forma quantitativa al principio di conservazione dell’energia.

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