Relatività

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Categoria:Fisica

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Testo

Relatività ristretta
La luce è un'onda elettromagnetica, cioè una particolare onda che si può propagare anche nel vuoto. La sua velocità, calcolabile per via teorica con le equazioni di Maxwell, ha un valore di
c = 299792,458 km / s.
Questo risultato però è in contraddizione con la meccanica classica, in quanto il valore calcolato di c risulta lo stesso in tutti i sistemi di riferimento, qualunque sia la loro velocità relativa.
Per la meccanica classica tale comportamento è inaccettabile: le equazioni delle trasformazioni di Galileo, infatti, prevedono che un oggetto, la cui velocità in un sistema di riferimento A è , ha velocità
in un altro sistema di riferimento A', che si muove di velocità , rispetto a A.
È evidente quindi che due delle teorie fondamentali della fisica classica, la meccanica e l'elettromagnetismo, risultano in contraddizione tra di loro. Una delle due quindi è in parte errata e va parzialmente modificata, questa sorte toccherà alla meccanica.
Il vento d'etere e l'esperimento di Michelson e Morley
Nell'Ottocento la maggior parte dei fisici erano convinti che l'universo fosse riempito di un particolare fluido, l'etere luminifero, che permetteva alla luce di propagarsi.
Maxwell propose di risolvere il problema della costanza della velocità della luce affermando che le leggi da lui enunciate valessero solo in un sistema di riferimento in cui l'etere fosse in uno stato di quiete. Quindi per capire qual è la reale velocità della luce sulla superficie della Terra, sarà necessario considerare un doppio movimento: quello del Sole rispetto all'etere, e quello della Terra rispetto al Sole. Il fatto che quest'ultimo movimento sia variabile, dato che è dovuto sia alla rotazione della Terra intorno al proprio asse che alla rotazione attorno al Sole, fece presupporre che fosse possibile calcolare il movimento della Terra nell'etere luminifero, il cosiddetto vento d'etere.
Il tentativo di trovare una risposta a questo quesito fu avanzato da Michelson e Morley tra il 1881 e il 1887. Ma l'esperimento mostrò che, entro il limite dell'errore di misura, la velocità del nostro riferimento terrestre era nulla rispetto all'etere, anche ripetendo l'esperimento 6 mesi dopo, con la Terra in moto in direzione opposta.
La possibilità che l'etere fosse trascinato dalla Terra (e quindi si ottenesse per questo velocità nulla) si rivelò dunque in contraddizione con l'esperienza e, quindi, inadatta a descrivere il comportamento della luce.
L'intuizione di Einstein
Ai fisici dell'Ottocento il calcolo che provò la riuscita dell'esperimento di Michelson e Morley sembrava corretto. Ci voleva tuttavia la mente geniale di Albert Einstein per capire che alla base del ragionamento c'era un'ipotesi non considerata, perché data per scontata, ma di fondo errata.
Si trattava dell'ipotesi che esista un tempo assoluto, immutabile che scorra allo stesso modo in tutti i sistemi di riferimento. Ebbene Einstein negò l'esistenza di tale tempo nella sua prima opera sulla relatività pubblicata nel 1905 con il titolo di Zur Elektrodynamik Bewegter Körper (L'elettrodinamica dei corpi in movimento):
«Non vi è infatti dubbio che, se si potesse trasmettere istantaneamente in tutti i punti dello spazio l'informazione dell'avvenuta esplosione di due stelle lontanissime l'una dall'altra, sarebbe chiaro a tutti i possibili sperimentatori, qualunque sia lo stato di moto del loro sistema di riferimento, che cosa si intende con la frase “le due stelle sono esplose nello stesso istante”; avrebbe cioè per tutti un eguale senso il concetto di simultaneità di due eventi che accadono in punti lontani dello spazio. Ma se esistesse la simultaneità assoluta, sarebbe possibile sincronizzare tutti gli orologi dell'universo, per quanto in moto relativo e distanti l'uno dall'altro, e quindi esisterebbe un tempo assoluto che scorrerebbe uguale per tutti gli osservatori, sia fermi che in moto. Poiché la possibilità di trasmettere segnali con velocità infinita non esiste, capovolgendo il ragionamento, si rende plausibile il fatto che il tempo non scorre ugualmente in sistemi di riferimento in moto l'uno rispetto all'altro.»
Assiomi della Teoria della Relatività
Volendo risolvere le contraddizioni tra le leggi della meccanica e quelle dell'elettromagnetismo riguardo la velocità della luce, e l'impossibilità di determinare un tempo assoluto, Einstein propose di riformare la fisica classica partendo da due assiomi:
• Principio di Relatività: tutte le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
• Invarianza della luce: la velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali, indipendentemente dalla velocità dell'osservatore o dalla velocità della sorgente di luce.
Il primo assioma è un'estensione del principio di relatività galileiana, che fino ad allora valeva solo per la meccanica, a tutta la fisica.
Il secondo postulato generalizza l'osservazione che tutte le oscillazioni meccaniche si propagano con una velocità che dipende solamente dalla caratteristiche del mezzo che le supporta e non dalla velocità con cui la sorgente si muove rispetto a tale mezzo. Questo non avviene per la luce in quanto lo spazio, rimosso l'etere, è omogeneo. Il secondo assioma permette di spiegare nel migliore dei modi il risultato negativo dell'esperimento di Michelson – Morley, bisogna però precisare che quando Einstein cominciò a elaborare la propria teoria non era affatto a conoscenza dell'esistenza di tale esperimento.
Punto di partenza e prime conseguenze
Il concetto di etere, quindi, farà la sua scomparsa non solo come mezzo che trasmette la luce (sostituito dal campo elettromagnetico), ma anche come riferimento assoluto: se ogni osservatore inerziale può dire a ragione di essere fermo rispetto all'etere, cade definitivamente il concetto di spazio assoluto.
Ma anche il concetto di simultaneità perde la sua assolutezza; infatti, se la velocità della luce è finita ed è la stessa per ogni osservatore, due eventi simultanei in un sistema inerziale non lo sono più se osservati da un altro sistema.
I fenomeni F1 e F2 (che avvengono in P1 e in P2) sono simultanei se la luce che essi emettono giunge nello stesso istante in un punto O equidistante da P1 e P2.
Ma un osservatore O' in una diversa posizione rispetto ad O vedrà accendersi prima la lampadina a lui più vicina, essendo minore la distanza che la luce deve percorrere; solo dopo, vedrà accendersi l'altra lampadina.
La simultaneità tra eventi viene quindi a dipendere dal sistema inerziale da cui si osserva.
La dilatazione dei tempi
Consideriamo una piattaforma sulla quale sia posto un orologio costituito da una lampada che emette un lampo si luce verso uno specchio sopra di lei a distanza d. Il lampo si riflette sullo specchio e torna indietro. Quando l'orologio rileva l'arrivo del raggio riflesso segna il valore dell'intervallo di tempo t impiegato dalla luce nel percorso di andata e ritorno della luce.
Ammettiamo quindi che la piattaforma su cui si trova l'osservatore O1, si muova con velocità verso destra nel sistema dell'osservatore O2. La traiettoria del raggio di luce descriverà in questo caso una spezzata verso tale direzione e ritornerà sulla piattaforma nel tempo t', dopo aver descritto un triangolo isoscele. Tale triangolo ABC, di base AC, di lati AB e BC e di altezza BH ci permetterà di calcolare il valore di t' in relazione a t. Il teorema di Pitagora fornisce la relazione:
(1)
è la metà della distanza percorsa dalla luce nell'intervallo t'; è la metà dello spostamento della piattaforma, a velocità v, nel tempo t'; è la metà della distanza percorsa dalla luce nel tempo t. Quindi:
(2)
Sostituendo le (2) in (1) otterremo, dopo semplificazioni e raccoglimenti, la relazione fondamentale
(3)
Visto che il denominatore della formula (3) è un numero minore o uguale a 1, l'intervallo di tempo t' è sempre uguale o maggiore di t. La formula (3) dunque esprime la dilatazione dei tempi: la durata di qualunque fenomeno è minima se misurata in un sistema di riferimento solidale con esso, massima se misurata in un sistema di riferimento in moto rispetto al fenomeno.
Intervallo di tempo proprio:
La durata di un fenomeno, misurata in un sistema di riferimento solidale con esso si chiama intervallo di tempo proprio e si indica con .
La formula (3) viene quasi sempre indicata per comodità e semplicità in altro modo.
Verrà indicato con  il rapporto
Inoltre viene definito il coefficiente di dilatazione  come
Usando  la (3) verrà scritta molto più facilmente come

La contrazione delle lunghezze
Immaginiamo che un osservatore pianti sul terreno due paletti nelle posizioni x1 e x2 e che la loro distanza sia x. Consideriamo quindi due sistemi di riferimento: quello di un osservatore a terra, O1, e quello di un osservatore su un treno che passi parallelamente ai paletti, O2.
Se t è l'intervallo di tempo, misurato in O1, impiegato da un punto del treno per percorrere la distanza tra x1 e x2, si ha:
Per misurare la distanza tra i due paletti x', O2 dovrà calcolare la differenza tra le posizioni dei suoi estremi, misurate nello stesso istante di tempo rispetto agli orologi di quel sistema. La relazione tra x' e t' dunque sarà:
t' è il tempo proprio di questa misura nel sistema di riferimento di O2. Per la dilatazione dei tempi, al tempo proprio t' corrisponde un tempo t, più lungo, misurato nel sistema di riferimento di O1, che è in moto rispetto a O2: t =  t' è la durata dello stesso fenomeno misurata nel sistema di riferimento di O1 non solidale col fenomeno stesso.
Sostituendo avremo:
Poiché t = x/v, otterremo la relazione fondamentale
(4)
Avendo già constatato che il coefficiente di dilatazione  è un numero uguale o maggiore di 1, x' sarà uguale o minore di x, la (4) dunque esprime la contrazione delle lunghezze. La lunghezza di un segmento misurata in un sistema di riferimento in cui esso è in movimento sarà quindi minima; sarà invece massima la lunghezza dello stesso segmento misurata in un sistema di riferimento solidale con esso.
Le trasformazioni di Lorentz
Le trasformazioni di Galileo presupponevano l'esistenza di un tempo assoluto, che scorresse allo stesso modo in tutti i sistemi di riferimento. Con la scoperta del fenomeno dell'elettromagnetismo e con la conseguente crisi della meccanica classica, tali leggi si rivelarono inadatte a spiegare i fenomeni finora descritti. Devono essere quindi sostituite con delle nuove leggi di trasformazione che presuppongano l'esistenza di un tempo relativo.
Delle trasformazioni che fossero in grado di spiegare tutte le nuove teorie erano state scritte ben prima che Einstein formulasse la sua relatività dal fisico olandese Hendrik Antoon Lorentz, che le aveva ricavate come le trasformazioni sotto le quali le equazioni dell'elettromagnetismo rimangono invarianti al passare da un sistema di riferimento inerziale a uno in moto. Lorentz fu insignito del premio Nobel per la fisica nel 1902.
Ma quando entrano in gioco le trasformazioni di Galileo e quando invece sono quelle di Lorentz a dover essere applicate?
Le trasformazioni di Galileo vengono usate per calcolare spazio e tempo quando le velocità sono molto più piccole di c, in prossimità di tale valore, invece, dovranno essere applicate quelle di Lorentz. Le previsioni della teoria della relatività ristretta diventano infatti indistinguibili da quelle della meccanica classica quando le velocità in gioco sono molto più piccole di quella della luce.

La definizione di evento
Per poter descrivere qualsiasi fenomeno fisico è necessario partire dal fatto che questo fenomeno è avvenuto in un dato istante e in un preciso punto dello spazio. Una volta introdotto tale concetto l'evento è identificato da quattro numeri (t, x, y, z) che forniscono l'istante t in cui è avvenuto il fenomeno e le tre coordinate spaziali del punto in cui lo stesso ha avuto luogo.
La quaterna ordinata (t, x, y, z) prende dunque il nome di evento.
L'intervallo invariante
Prima di definire l'intervallo invariante bisogna precisare che la descrizione dello spazio con tre assi cartesiani non ha alcun significato fisico, invece ciò che ha esistenza reale e significato fisico è il considerare lo spazio tridimensionale nel suo complesso e le distanze tra due punti qualsiasi, che non variano al variare del sistema di riferimento.
Nella teoria della relatività tale discorso va allargato all'intervallo di tempo t. Infatti anche il valore dello spostamento temporale dipende dal sistema di riferimento scelto, come per gli spostamenti spaziali. Tuttavia dati due eventi esiste una quantità detta intervallo invariante, che dipende solo dagli eventi stessi e non dal sistema di riferimento scelto.
Dati due eventi separati dagli incrementi di coordinate t e x, y, z, si chiama intervallo invariante :
(5)
L'intervallo invariante assume una forma particolarmente semplice in un sistema di riferimento solidale con un fenomeno, dove i due eventi di inizio e fine del fenomeno stesso hanno le stesse coordinate spaziali, mentre la sua durata è uguale all'intervallo di tempo proprio .
In tale caso la (5) diventa
Lo spazio – tempo
Si chiama spazio – tempo lo spazio quadridimensionale identificato con la quaterna ordinata (t, x, y, z), in cui il valore dell'intervallo invariante tra due eventi sia ()2 = (ct)2 – - (x)2 – (y)2 – (z)2
Lo spazio – tempo della relatività ristretta, ha una geometria che si discosta da quella euclidea tradizionale e che fu investigata per la prima volta da un matematico tedesco di nome Hermann Minkowski (1864 – 1909). Per questo motivo lo spazio – tempo si chiama anche spazio di Minkowski.
La composizione delle velocità
Discutendo la discordanza tra le leggi dell'elettromagnetismo e quelle della meccanica avevamo visto che un oggetto, la cui velocità in un sistema di riferimento A è , ha velocità
(6)
in un altro sistema di riferimento A', che si muove di velocità , rispetto a A. Tuttavia abbiamo detto che le formule delle trasformazioni di Galileo non sono valide per la teoria della relatività e devono essere sostituite da quelle di Lorentz, è molto probabile dunque che la formula (6) non sia più vera. È necessario quindi analizzare il problema della composizione delle velocità. Considerando la velocità del sistema di riferimento A che si muova di velocità u nella stessa direzione di x, per definizione abbiamo che
Allo stesso modo nel secondo sistema di riferimento A', che si muove di velocità u' nella stessa direzione di x', avremo che
Applicando le trasformazioni di Lorentz per x' e t' si ha:
Se sostituiamo nell'espressione precedente, l'uguaglianza x2 - x1 = u (t2 – t1) ed eliminiamo il fattore comune (t2 – t1) otteniamo
(7)
La formula u' = u – v che abbiamo appurato non essere valida per la relatività risulta dunque essere modificata dal denominatore, che è praticamente uguale a 1 se il prodotto uv è piccolo rispetto a c2.
Massa ed energia
La conservazione dell'energia e della massa sono due leggi fondamentali della meccanica classica. Tuttavia nella relatività, la grandezza fisica massa non si conserva ma assume un significato particolare, viene infatti vista come una forma di energia da sommare all'energia cinetica e a quella potenziale nella conservazione dell'energia meccanica.
La teoria della relatività infatti afferma che se un corpo assorbe una determinata quantità di energia, la sua massa non si conserva ma aumenta; viceversa se il corpo cede energia la massa diminuisce.
L'aumento o la diminuzione della massa sono dati dalla relazione
La suddetta relazione di solito è scritta in una forma molto più comune chiamata relazione di Einstein:
(8)
Dalla (8) si deduce che un corpo fermo e non soggetto ad alcun tipo di forza comunque possiede una determinata quantità di energia detta energia di quiete del corpo:
(9)
La (9) è confermata dal fatto che nelle particelle elementari è possibile osservare la comparsa di particelle a scapito della scomparsa di energia e, viceversa, l'annichilazione di particelle con un'emissione di energia pari a quella prevista dalla relazione di Einstein.
Nel 1942 lo stesso Enrico Fermi costruì, a Chicago, la prima pila atomica, che permetteva lo sviluppo continuativo e controllato dell'energia emessa nelle reazioni di fissione nucleare. L'energia emessa con la pila atomica deriva dal fatto che la massa dei prodotti è più bassa di quella del materiale fissile presente all'inizio della reazione.
Dinamica relativistica
Energia
Un corpo fermo di massa m0, possiede un'energia di quiete E0 = m0c2. Secondo la fisica classica quando esso si muove di velocità possiede anche un'energia cinetica , quindi l'energia totale del corpo quando è possibile applicare la fisica classica (vale a dire quando v è molto piccolo rispetto a c) equivale a
(10)
Possiamo verificare matematicamente che il valore tra parentesi è approssimabile a e che quindi la (10) non è altro che una approssimazione della formula
Se realizziamo un grafico che rappresenti l'andamento dell'energia in relazione alla velocità, si potrà notare che la funzione presenta un asintoto verticale per v = c, quindi quando la velocità v di un corpo si avvicina indefinitamente a c, la sua energia totale tende all'infinito. È intuibile che non è possibile fornire una quantità infinita di energia a un corpo e quindi che
la velocità c risulta essere una velocità limite: nessun corpo può infatti raggiungere tale velocità né tantomeno superarla.

Relatività generale
Mentre la teoria della relatività ristretta è già pronta per accogliere al suo interno l'elettromagnetismo classico, non lo è affatto per quanto riguarda la gravitazione, infatti un'introduzione della gravità avrebbe richiesto una totale riformulazione della stessa teoria. Parallelamente al problema della gravitazione ne sussisteva un altro, cioè se fosse possibile espandere il primo assioma della relatività ristretta a tutti i sistemi di riferimento. I due problemi si fusero ed andarono a costituire l'ossatura della teoria della relatività generale.
Alcuni esperimenti ideali
Il fatto che tutti i corpi cadano con la stessa accelerazione di gravità porta a un semplice risultato: che tutti i corpi soggetti a tale forza seguono la stessa legge del moto. Immaginiamo di trovarci dentro un ambiente molto ristretto, ad esempio un ascensore. Immaginiamo inoltre che improvvisamente questo ascensore, dopo un guasto, inizi a cadere liberamente. Se prestiamo attenzione, ci accorgiamo che il pavimento dell'ascensore sfugge via dai nostri piedi esattamente con la velocità con cui lo seguiamo, di conseguenza rimaniamo a diretto contatto con il suo pavimento, ma non avvertiamo più alcuna pressione dovuta alla forza-peso sotto le nostre piante dei piedi. Allo stesso modo non avvertiamo il peso della cartella che abbiamo sulle spalle, e se ce la togliamo ci accorgiamo che essa procede con la nostra stessa velocità e la vedremo librarsi a mezz'aria senza muoversi rispetto a noi.
Consideriamo ora un'astronave che si muova di moto rettilineo uniforme nello spazio lontano da ogni corpo massivo, in modo che siano trascurabili le attrazioni gravitazionali. Anche se la situazione è diversa, all'interno dell'astronave noteremo gli stessi fenomeni di assenza di pesi notati nell'ascensore in caduta libera.
Dunque, se lo spazio che abbiamo a disposizione è abbastanza piccolo e se il fenomeno avviene in un tempo relativamente breve, nessun esperimento che si possa compiere in un ambiente chiuso, permette di capire se ci troviamo in un ascensore in caduta libera sotto la forza di gravità, o in un'astronave soggetta a una forza nulla.
Esistono altri esperimenti ideali che ci permettano di capire questo fenomeno, che Einstein riassumerà nel Principio di Equivalenza.
Il Principio di Equivalenza
Il principio di equivalenza stabilisce che se ci troviamo in una zona delimitata dello spazio-tempo è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento, in modo da simulare l'esistenza di un campo gravitazionale uniforme o al contrario in modo da eliminare l'effetto della forza di gravità.
Il Principio di Relatività Generale
Secondo Einstein non vi era alcun motivo valido per considerare i sistemi di riferimento inerziali “superiori” rispetto a tutti gli altri sistemi di riferimento. In fin dei conti, ciò che accade in un sistema di riferimento inerziale (in cui non agiscono forze gravitazionali) avviene allo stesso modo in un altro sistema in caduta libera all'interno di un campo gravitazionale. Sotto queste premesse Einstein formulò il principio di Relatività Generale che non risulta essere altro che un'estensione di quello della relatività ristretta a tutti i sistemi di riferimento.
Le leggi e i principi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento.
La Teoria della Relatività Generale
La teoria della Relatività Generale, che venne pubblicata nel 1916, era basata essenzialmente su due principi fondamentali:
* la presenza di masse incurva lo spazio-tempo
* i corpi soggetti alla forza di gravità devono essere considerati come particelle libere, che si muovono sulle geodetiche dello spazio-tempo
La curvatura dello spazio-tempo
La teoria afferma che lo spazio-tempo viene più o meno curvato dalla presenza di una massa; un'altra massa più piccola si muove allora come effetto di tale curvatura.
Spesso, si raffigura la situazione come una palla che deforma il piano del biliardo con il suo peso, mentre un'altra pallina viene accelerata da questa deformazione del piano ed in pratica attratta dalla prima. Questa è solo una semplificazione alle dimensioni raffigurabili, in quanto ad essere deformato è lo spazio-tempo e non solo le dimensioni spaziali, cosa impossibile da raffigurare e difficile da concepire.
L'unica situazione raffigurabile correttamente è quella di un universo a 1 dimensione spaziale ed una temporale. Un qualunque punto materiale è rappresentato da una linea (linea di universo), non da un punto, che fornisce la sua posizione per ogni istante: il fatto che sia fermo o in moto farà solo cambiare l'inclinazione di questa retta. Ora pensiamo di curvare tale universo usando la terza dimensione: quello che prima era la retta che descriveva un punto, ora è diventata una superficie.
Su una superficie curva non vale la geometria euclidea, in particolare è possibile tracciare un triangolo i cui angoli sommati non forniscono 180° ed è anche possibile procedere sempre nella stessa direzione, ritornando dopo un certo tempo al punto di partenza.
Spazi piatti e spazi curvi
Per diversi millenni qualsiasi persona non avrebbe avuto il minimo dubbio nell'affermare che l'unico tipo di spazio esistente e concepibile fosse quello della geometria di Euclide. In tale tipo di spazio si considera valido il quinto assioma di Euclide, secondo cui esiste una sola ed unica parallela conducibile per un punto esterno ad una retta, con il quale si dimostrano molte altre proprietà.
Tuttavia alla fine dell'Ottocento è stato provato che tale postulato non era totalmente vero, o meglio non valeva per tutti i tipi di spazio.
Si può disegnare uno spazio non euclideo in due dimensioni osservando la superficie di una sfera, dimenticando però che questa figura è inserita in uno spazio tridimensionale euclideo. In uno spazio siffatto possiamo definire una retta come quella circonferenza massima ottenuta intersecando la sfera con un piano passante per il centro della sfera stessa.
Vediamo subito che se segniamo un punto P esterno alla retta r, tutte le rette che passano per P intersecano necessariamente anche r. Possiamo concludere che in uno spazio come quello descritto non è quindi possibile condurre alcuna retta parallela a r passante per P.
Inoltre i triangoli ottenuti intersecando tre rette in modo che la sfera sia divisa in otto parti uguali, contengono tre angoli retti, la somma quindi non è più 180° ma 270°.
Lo spazio appena descritto è un esempio di geometria non euclidea ellittica (analizzato per la prima volta da Riemann).
Un altro tipo di spazio è quello derivato dalla geometria iperbolica, in cui si possono condurre infinite rette parallele ad una data, passanti per un punto esterno ad essa, e in cui la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre minore di 180° (la geometria iperbolica è stata analizzata per la prima volta da Bolyai e Lobačevskij). Lo spazio iperbolico e quello ellittico vengono detti curvi, quello euclideo e di Minkowski, invece, sono i cosiddetti spazi piatti.

Siccome la relatività ristretta non prende in considerazione la gravitazione, lo spazio che tratta è piatto. Nella relatività generale, al contrario, è necessario conoscere la disposizione delle masse nello spazio, dopodiché applicando l'equazione di campo di Einstein sarà possibile calcolare la geometria dello spazio. Tuttavia la geometria così definita non ha un modello fisso valido per tutto lo spazio, ma varia da zona a zona: le parti di spazio-tempo più vicine alle masse hanno curvature più accentuate di quelle che si trovano lontane da esse.
Le geodetiche
In ogni spazio è possibile determinare le curve di minima lunghezza che uniscono i vari punti, tali curve prendono il nome di geodetiche. Nello spazio euclideo corrispondono a segmenti di retta, su una superficie sferica, invece, le linee geodetiche sono archi di circonferenza massima. Siccome la presenza di masse incurva la geometria dello spazio-tempo, queste si muovono liberamente seguendo le geodetiche. In definitiva, dunque, le masse dicono allo spazio-tempo come incurvarsi e lo spazio-tempo dice alle masse come muoversi.
La deflessione della luce e il redshift gravitazionale
Per il principio di equivalenza è possibile affermare che l'effetto di un sistema di riferimento accelerato è praticamente indistinguibile da quello di un campo gravitazionale, ma se è realmente così, la luce può essere interessata dalla curvatura dello spazio-tempo? È utile ricordare, inoltre, che la luce trasporta energia e che secondo la relatività ristretta la massa è strettamente collegata a tale grandezza. Sulla Terra, ovviamente, non sarà mai possibile osservare la deviazione della luce per l'assenza di un campo gravitazionale abbastanza intenso, sarà dunque necessario ricorrere a quello del Sole. Di notte, è possibile osservare la posizione apparente S di una stella nel cielo rispetto ad altre stelle di riferimento. La medesima stella sarà osservabile anche durante un'eclisse, quando il Sole è oscurato dalla massa della Luna. Secondo Einstein la deflessione della luce da parte del Sole è attrattiva, tuttavia ai nostri occhi sembrerà che la luce della stella provenga da un punto S' spostato, rispetto ad S, dalla parte opposta rispetto a quella in cui si trova il Sole.
Se un campo gravitazionale agisce su una massa che risale al suo interno rallentandola, allora tale effetto deve valere anche per la luce, vista la stretta connessione tra le due grandezze. In effetti, la teoria della relatività generale prevede che la luce proveniente da una stella (che è partita dalla stella ed è salita fino a noi) abbia frequenza minore di quella con cui è stata emessa. Visto che il rosso, nell'ambito della luce visibile, corrisponde a una frequenza minore, tale fenomeno prende il nome di redshift gravitazionale, o “spostamento verso il rosso”.
Le onde gravitazionali
Se la geometria dello spazio-tempo è determinata dalla posizione che occupano le masse al suo interno, quando anche una sola delle masse viene spostata, la geometria dello spazio-tempo cambia di conseguenza. Tale cambiamento non è istantaneo, ma si propaga alla velocità della luce. La propagazione della variazione della geometria dello spazio-tempo prende il nome di onda gravitazionale. La distorsione dello spazio-tempo dovuta all'onda gravitazionale, può essere evidenziata in diversi modi: uno di questi è la messa in oscillazione di una massa che prima era ferma, oppure la variazione della distanza tra due masse. Una tale perturbazione, ad esempio, potrebbe essere prodotta dalla supernova di una stella a noi molto vicina, evento abbastanza improbabile.
Il primo a tentare di confermare la presenza di onde gravitazionali fu, nel 1961, Edoardo Amaldi, insigne collaboratore di Fermi nel gruppo dei Ragazzi di Via Panisperna, mediante un'antenna gravitazionale (un cilindro di grande massa che può essere messo in oscillazione dal passaggio di un tale tipo di onda). Il segnale da raccogliere se si vuole utilizzare un'antenna gravitazionale è così debole che occorre eliminare tutti i disturbi esterni, perfino quelli prodotti dalla cosiddetta agitazione termica del materiale dell'apparecchio. È quindi necessario mantenere l'antenna a basse temperature, tuttavia, come si può capire, è molto complesso mantenere un oggetto di 2300 kg circa, a temperature al di sotto di 0,1 K. Molti laboratori sparsi per il mondo posseggono tale tipo di antenna o apparecchi basati sui metodi interferometrici alla Michelson-Morley, con bracci lunghi qualche chilometro per tentare di mettere in evidenza piccole variazioni nelle figure di interferenza.
Fino al 1998 nessun apparecchio aveva ancora individuato il passaggio di un'onda gravitazionale.
Nel 1987 è avvenuta l'esplosione di una supernova abbastanza vicina, ma gli apparecchi ancora non erano stati terminati, non è stato quindi possibile determinare se tale evento abbia provocato una perturbazione dello spazio-tempo.
Conferme sperimentali
A tutt'oggi vengono proposti esperimenti per la conferma o meno di tale teoria e della relatività generale, che al momento attuale ha sempre resistito agli attacchi. La prima conferma, poi rivelatasi impropria, si ebbe nel 1919, quando osservazioni di Arthur Eddington durante un'eclisse di Sole confermarono la visibilità di alcune stelle vicine al bordo solare, che in realtà avrebbero dovuto essere invisibili: i fotoni luminosi venivano deviati dal Sole della quantità prevista dalle equazioni. In realtà, le osservazioni avevano un errore medio dello stesso ordine di grandezza dell'effetto considerato. La prima vera conferma fu la spiegazione del moto di precessione del perielio di Mercurio, inspiegabile con la gravitazione Newtoniana, ma previsto dalla relatività generale.
Un'altra conferma più recente, ma ormai completamente accettata dalla comunità scientifica, è l'effetto lente gravitazionale di cui le osservazioni di Eddington sono un caso particolare. La luce emessa da una sorgente lontana, transitando nelle vicinanze di un oggetto molto massiccio può venire deviata, con un effetto complessivo che può sdoppiare (o meglio trasformare in un anello), l'immagine della sorgente. Illustrazione dell'effetto lente gravitazionale: la sorgente "vera" è nel riquadro in alto a destra. Il percorso della luce è rappresentato dalle frecce bianche, mentre quelle arancioni permettono di ricostruire la posizione apparente della sorgente ovvero la posizione delle sue immagini.
È relativamente recente la scoperta indiretta dell'esistenza dei buchi neri, oggetti pesanti e compatti, dalla cui superficie non può sfuggire (quasi) nulla, essendo la velocità di fuga superiore a quella della luce. Quasi nulla in quanto il fisico Stephen Hawking ha dimostrato come i buchi neri evaporino perdendo particelle, per lo più fotoni, tanto più velocemente quanto più piccola è la massa del buco nero. Questo risultato deriva direttamente dalla conservazione del secondo principio della termodinamica, ed è stata la prima applicazione congiunta di relatività generale e meccanica quantistica.
Sono recentemente in atto alcuni esperimenti per la registrazione di onde gravitazionali (Edoardo Amaldi, collaboratore di Fermi a Via Panisperna, fu il primo a tentare tale esperimento), anch'esse previste dalla teoria: tali onde si svilupperebbero quando due corpi con un enorme campo gravitazionale orbitano a distanza ravvicinata l'uno con l'altro. Uno dei più grandi rilevatori è il progetto VIRGO, situato a Cascina, vicino Pisa.
Un altro risultato che confermerebbe la teoria è il cosiddetto frame dragging, ossia il trascinamento del sistema di riferimento da parte di masse in rotazione: oltre alla sonda Gravity Probe B della NASA, un articolo di ricercatori dell'Università di Lecce e del Maryland hanno utilizzato i dati delle orbite di alcuni satelliti, confermando entro l'errore dell'1% le previsioni della teoria.
Tuttavia il destino della relatività generale è segnato, così come quello della meccanica quantistica: infatti la prima è una teoria classica, in cui non si tiene conto del carattere quantizzato della materia e dell'energia, e quindi va intesa come una media su un numero grande di particelle, le cui previsioni cessano di essere valide quando si raggiungono condizioni tipiche delle interazioni quantistiche, ossia per tempi vicini al tempo di Planck e lunghezze prossime alla lunghezza di Planck; la seconda, invece, non tiene conto degli effetti relativistici, ponendo le particelle in uno spazio-tempo assoluto, e dunque le sue previsioni cessano di essere valide quando gli effetti relativistici diventano significativi.
L'unificazione delle due teorie, la cosiddetta teoria quantistica della gravitazione è uno degli obiettivi più importanti per la fisica del XXI secolo.
Relatività ristretta
La luce è un'onda elettromagnetica, cioè una particolare onda che si può propagare anche nel vuoto. La sua velocità, calcolabile per via teorica con le equazioni di Maxwell, ha un valore di
c = 299792,458 km / s.
Questo risultato però è in contraddizione con la meccanica classica, in quanto il valore calcolato di c risulta lo stesso in tutti i sistemi di riferimento, qualunque sia la loro velocità relativa.
Per la meccanica classica tale comportamento è inaccettabile: le equazioni delle trasformazioni di Galileo, infatti, prevedono che un oggetto, la cui velocità in un sistema di riferimento A è , ha velocità
in un altro sistema di riferimento A', che si muove di velocità , rispetto a A.
È evidente quindi che due delle teorie fondamentali della fisica classica, la meccanica e l'elettromagnetismo, risultano in contraddizione tra di loro. Una delle due quindi è in parte errata e va parzialmente modificata, questa sorte toccherà alla meccanica.
Il vento d'etere e l'esperimento di Michelson e Morley
Nell'Ottocento la maggior parte dei fisici erano convinti che l'universo fosse riempito di un particolare fluido, l'etere luminifero, che permetteva alla luce di propagarsi.
Maxwell propose di risolvere il problema della costanza della velocità della luce affermando che le leggi da lui enunciate valessero solo in un sistema di riferimento in cui l'etere fosse in uno stato di quiete. Quindi per capire qual è la reale velocità della luce sulla superficie della Terra, sarà necessario considerare un doppio movimento: quello del Sole rispetto all'etere, e quello della Terra rispetto al Sole. Il fatto che quest'ultimo movimento sia variabile, dato che è dovuto sia alla rotazione della Terra intorno al proprio asse che alla rotazione attorno al Sole, fece presupporre che fosse possibile calcolare il movimento della Terra nell'etere luminifero, il cosiddetto vento d'etere.
Il tentativo di trovare una risposta a questo quesito fu avanzato da Michelson e Morley tra il 1881 e il 1887. Ma l'esperimento mostrò che, entro il limite dell'errore di misura, la velocità del nostro riferimento terrestre era nulla rispetto all'etere, anche ripetendo l'esperimento 6 mesi dopo, con la Terra in moto in direzione opposta.
La possibilità che l'etere fosse trascinato dalla Terra (e quindi si ottenesse per questo velocità nulla) si rivelò dunque in contraddizione con l'esperienza e, quindi, inadatta a descrivere il comportamento della luce.
L'intuizione di Einstein
Ai fisici dell'Ottocento il calcolo che provò la riuscita dell'esperimento di Michelson e Morley sembrava corretto. Ci voleva tuttavia la mente geniale di Albert Einstein per capire che alla base del ragionamento c'era un'ipotesi non considerata, perché data per scontata, ma di fondo errata.
Si trattava dell'ipotesi che esista un tempo assoluto, immutabile che scorra allo stesso modo in tutti i sistemi di riferimento. Ebbene Einstein negò l'esistenza di tale tempo nella sua prima opera sulla relatività pubblicata nel 1905 con il titolo di Zur Elektrodynamik Bewegter Körper (L'elettrodinamica dei corpi in movimento):
«Non vi è infatti dubbio che, se si potesse trasmettere istantaneamente in tutti i punti dello spazio l'informazione dell'avvenuta esplosione di due stelle lontanissime l'una dall'altra, sarebbe chiaro a tutti i possibili sperimentatori, qualunque sia lo stato di moto del loro sistema di riferimento, che cosa si intende con la frase “le due stelle sono esplose nello stesso istante”; avrebbe cioè per tutti un eguale senso il concetto di simultaneità di due eventi che accadono in punti lontani dello spazio. Ma se esistesse la simultaneità assoluta, sarebbe possibile sincronizzare tutti gli orologi dell'universo, per quanto in moto relativo e distanti l'uno dall'altro, e quindi esisterebbe un tempo assoluto che scorrerebbe uguale per tutti gli osservatori, sia fermi che in moto. Poiché la possibilità di trasmettere segnali con velocità infinita non esiste, capovolgendo il ragionamento, si rende plausibile il fatto che il tempo non scorre ugualmente in sistemi di riferimento in moto l'uno rispetto all'altro.»
Assiomi della Teoria della Relatività
Volendo risolvere le contraddizioni tra le leggi della meccanica e quelle dell'elettromagnetismo riguardo la velocità della luce, e l'impossibilità di determinare un tempo assoluto, Einstein propose di riformare la fisica classica partendo da due assiomi:
• Principio di Relatività: tutte le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
• Invarianza della luce: la velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali, indipendentemente dalla velocità dell'osservatore o dalla velocità della sorgente di luce.
Il primo assioma è un'estensione del principio di relatività galileiana, che fino ad allora valeva solo per la meccanica, a tutta la fisica.
Il secondo postulato generalizza l'osservazione che tutte le oscillazioni meccaniche si propagano con una velocità che dipende solamente dalla caratteristiche del mezzo che le supporta e non dalla velocità con cui la sorgente si muove rispetto a tale mezzo. Questo non avviene per la luce in quanto lo spazio, rimosso l'etere, è omogeneo. Il secondo assioma permette di spiegare nel migliore dei modi il risultato negativo dell'esperimento di Michelson – Morley, bisogna però precisare che quando Einstein cominciò a elaborare la propria teoria non era affatto a conoscenza dell'esistenza di tale esperimento.
Punto di partenza e prime conseguenze
Il concetto di etere, quindi, farà la sua scomparsa non solo come mezzo che trasmette la luce (sostituito dal campo elettromagnetico), ma anche come riferimento assoluto: se ogni osservatore inerziale può dire a ragione di essere fermo rispetto all'etere, cade definitivamente il concetto di spazio assoluto.
Ma anche il concetto di simultaneità perde la sua assolutezza; infatti, se la velocità della luce è finita ed è la stessa per ogni osservatore, due eventi simultanei in un sistema inerziale non lo sono più se osservati da un altro sistema.
I fenomeni F1 e F2 (che avvengono in P1 e in P2) sono simultanei se la luce che essi emettono giunge nello stesso istante in un punto O equidistante da P1 e P2.
Ma un osservatore O' in una diversa posizione rispetto ad O vedrà accendersi prima la lampadina a lui più vicina, essendo minore la distanza che la luce deve percorrere; solo dopo, vedrà accendersi l'altra lampadina.
La simultaneità tra eventi viene quindi a dipendere dal sistema inerziale da cui si osserva.
La dilatazione dei tempi
Consideriamo una piattaforma sulla quale sia posto un orologio costituito da una lampada che emette un lampo si luce verso uno specchio sopra di lei a distanza d. Il lampo si riflette sullo specchio e torna indietro. Quando l'orologio rileva l'arrivo del raggio riflesso segna il valore dell'intervallo di tempo t impiegato dalla luce nel percorso di andata e ritorno della luce.
Ammettiamo quindi che la piattaforma su cui si trova l'osservatore O1, si muova con velocità verso destra nel sistema dell'osservatore O2. La traiettoria del raggio di luce descriverà in questo caso una spezzata verso tale direzione e ritornerà sulla piattaforma nel tempo t', dopo aver descritto un triangolo isoscele. Tale triangolo ABC, di base AC, di lati AB e BC e di altezza BH ci permetterà di calcolare il valore di t' in relazione a t. Il teorema di Pitagora fornisce la relazione:
(1)
è la metà della distanza percorsa dalla luce nell'intervallo t'; è la metà dello spostamento della piattaforma, a velocità v, nel tempo t'; è la metà della distanza percorsa dalla luce nel tempo t. Quindi:
(2)
Sostituendo le (2) in (1) otterremo, dopo semplificazioni e raccoglimenti, la relazione fondamentale
(3)
Visto che il denominatore della formula (3) è un numero minore o uguale a 1, l'intervallo di tempo t' è sempre uguale o maggiore di t. La formula (3) dunque esprime la dilatazione dei tempi: la durata di qualunque fenomeno è minima se misurata in un sistema di riferimento solidale con esso, massima se misurata in un sistema di riferimento in moto rispetto al fenomeno.
Intervallo di tempo proprio:
La durata di un fenomeno, misurata in un sistema di riferimento solidale con esso si chiama intervallo di tempo proprio e si indica con .
La formula (3) viene quasi sempre indicata per comodità e semplicità in altro modo.
Verrà indicato con  il rapporto
Inoltre viene definito il coefficiente di dilatazione  come
Usando  la (3) verrà scritta molto più facilmente come

La contrazione delle lunghezze
Immaginiamo che un osservatore pianti sul terreno due paletti nelle posizioni x1 e x2 e che la loro distanza sia x. Consideriamo quindi due sistemi di riferimento: quello di un osservatore a terra, O1, e quello di un osservatore su un treno che passi parallelamente ai paletti, O2.
Se t è l'intervallo di tempo, misurato in O1, impiegato da un punto del treno per percorrere la distanza tra x1 e x2, si ha:
Per misurare la distanza tra i due paletti x', O2 dovrà calcolare la differenza tra le posizioni dei suoi estremi, misurate nello stesso istante di tempo rispetto agli orologi di quel sistema. La relazione tra x' e t' dunque sarà:
t' è il tempo proprio di questa misura nel sistema di riferimento di O2. Per la dilatazione dei tempi, al tempo proprio t' corrisponde un tempo t, più lungo, misurato nel sistema di riferimento di O1, che è in moto rispetto a O2: t =  t' è la durata dello stesso fenomeno misurata nel sistema di riferimento di O1 non solidale col fenomeno stesso.
Sostituendo avremo:
Poiché t = x/v, otterremo la relazione fondamentale
(4)
Avendo già constatato che il coefficiente di dilatazione  è un numero uguale o maggiore di 1, x' sarà uguale o minore di x, la (4) dunque esprime la contrazione delle lunghezze. La lunghezza di un segmento misurata in un sistema di riferimento in cui esso è in movimento sarà quindi minima; sarà invece massima la lunghezza dello stesso segmento misurata in un sistema di riferimento solidale con esso.
Le trasformazioni di Lorentz
Le trasformazioni di Galileo presupponevano l'esistenza di un tempo assoluto, che scorresse allo stesso modo in tutti i sistemi di riferimento. Con la scoperta del fenomeno dell'elettromagnetismo e con la conseguente crisi della meccanica classica, tali leggi si rivelarono inadatte a spiegare i fenomeni finora descritti. Devono essere quindi sostituite con delle nuove leggi di trasformazione che presuppongano l'esistenza di un tempo relativo.
Delle trasformazioni che fossero in grado di spiegare tutte le nuove teorie erano state scritte ben prima che Einstein formulasse la sua relatività dal fisico olandese Hendrik Antoon Lorentz, che le aveva ricavate come le trasformazioni sotto le quali le equazioni dell'elettromagnetismo rimangono invarianti al passare da un sistema di riferimento inerziale a uno in moto. Lorentz fu insignito del premio Nobel per la fisica nel 1902.
Ma quando entrano in gioco le trasformazioni di Galileo e quando invece sono quelle di Lorentz a dover essere applicate?
Le trasformazioni di Galileo vengono usate per calcolare spazio e tempo quando le velocità sono molto più piccole di c, in prossimità di tale valore, invece, dovranno essere applicate quelle di Lorentz. Le previsioni della teoria della relatività ristretta diventano infatti indistinguibili da quelle della meccanica classica quando le velocità in gioco sono molto più piccole di quella della luce.

La definizione di evento
Per poter descrivere qualsiasi fenomeno fisico è necessario partire dal fatto che questo fenomeno è avvenuto in un dato istante e in un preciso punto dello spazio. Una volta introdotto tale concetto l'evento è identificato da quattro numeri (t, x, y, z) che forniscono l'istante t in cui è avvenuto il fenomeno e le tre coordinate spaziali del punto in cui lo stesso ha avuto luogo.
La quaterna ordinata (t, x, y, z) prende dunque il nome di evento.
L'intervallo invariante
Prima di definire l'intervallo invariante bisogna precisare che la descrizione dello spazio con tre assi cartesiani non ha alcun significato fisico, invece ciò che ha esistenza reale e significato fisico è il considerare lo spazio tridimensionale nel suo complesso e le distanze tra due punti qualsiasi, che non variano al variare del sistema di riferimento.
Nella teoria della relatività tale discorso va allargato all'intervallo di tempo t. Infatti anche il valore dello spostamento temporale dipende dal sistema di riferimento scelto, come per gli spostamenti spaziali. Tuttavia dati due eventi esiste una quantità detta intervallo invariante, che dipende solo dagli eventi stessi e non dal sistema di riferimento scelto.
Dati due eventi separati dagli incrementi di coordinate t e x, y, z, si chiama intervallo invariante :
(5)
L'intervallo invariante assume una forma particolarmente semplice in un sistema di riferimento solidale con un fenomeno, dove i due eventi di inizio e fine del fenomeno stesso hanno le stesse coordinate spaziali, mentre la sua durata è uguale all'intervallo di tempo proprio .
In tale caso la (5) diventa
Lo spazio – tempo
Si chiama spazio – tempo lo spazio quadridimensionale identificato con la quaterna ordinata (t, x, y, z), in cui il valore dell'intervallo invariante tra due eventi sia ()2 = (ct)2 – - (x)2 – (y)2 – (z)2
Lo spazio – tempo della relatività ristretta, ha una geometria che si discosta da quella euclidea tradizionale e che fu investigata per la prima volta da un matematico tedesco di nome Hermann Minkowski (1864 – 1909). Per questo motivo lo spazio – tempo si chiama anche spazio di Minkowski.
La composizione delle velocità
Discutendo la discordanza tra le leggi dell'elettromagnetismo e quelle della meccanica avevamo visto che un oggetto, la cui velocità in un sistema di riferimento A è , ha velocità
(6)
in un altro sistema di riferimento A', che si muove di velocità , rispetto a A. Tuttavia abbiamo detto che le formule delle trasformazioni di Galileo non sono valide per la teoria della relatività e devono essere sostituite da quelle di Lorentz, è molto probabile dunque che la formula (6) non sia più vera. È necessario quindi analizzare il problema della composizione delle velocità. Considerando la velocità del sistema di riferimento A che si muova di velocità u nella stessa direzione di x, per definizione abbiamo che
Allo stesso modo nel secondo sistema di riferimento A', che si muove di velocità u' nella stessa direzione di x', avremo che
Applicando le trasformazioni di Lorentz per x' e t' si ha:
Se sostituiamo nell'espressione precedente, l'uguaglianza x2 - x1 = u (t2 – t1) ed eliminiamo il fattore comune (t2 – t1) otteniamo
(7)
La formula u' = u – v che abbiamo appurato non essere valida per la relatività risulta dunque essere modificata dal denominatore, che è praticamente uguale a 1 se il prodotto uv è piccolo rispetto a c2.
Massa ed energia
La conservazione dell'energia e della massa sono due leggi fondamentali della meccanica classica. Tuttavia nella relatività, la grandezza fisica massa non si conserva ma assume un significato particolare, viene infatti vista come una forma di energia da sommare all'energia cinetica e a quella potenziale nella conservazione dell'energia meccanica.
La teoria della relatività infatti afferma che se un corpo assorbe una determinata quantità di energia, la sua massa non si conserva ma aumenta; viceversa se il corpo cede energia la massa diminuisce.
L'aumento o la diminuzione della massa sono dati dalla relazione
La suddetta relazione di solito è scritta in una forma molto più comune chiamata relazione di Einstein:
(8)
Dalla (8) si deduce che un corpo fermo e non soggetto ad alcun tipo di forza comunque possiede una determinata quantità di energia detta energia di quiete del corpo:
(9)
La (9) è confermata dal fatto che nelle particelle elementari è possibile osservare la comparsa di particelle a scapito della scomparsa di energia e, viceversa, l'annichilazione di particelle con un'emissione di energia pari a quella prevista dalla relazione di Einstein.
Nel 1942 lo stesso Enrico Fermi costruì, a Chicago, la prima pila atomica, che permetteva lo sviluppo continuativo e controllato dell'energia emessa nelle reazioni di fissione nucleare. L'energia emessa con la pila atomica deriva dal fatto che la massa dei prodotti è più bassa di quella del materiale fissile presente all'inizio della reazione.
Dinamica relativistica
Energia
Un corpo fermo di massa m0, possiede un'energia di quiete E0 = m0c2. Secondo la fisica classica quando esso si muove di velocità possiede anche un'energia cinetica , quindi l'energia totale del corpo quando è possibile applicare la fisica classica (vale a dire quando v è molto piccolo rispetto a c) equivale a
(10)
Possiamo verificare matematicamente che il valore tra parentesi è approssimabile a e che quindi la (10) non è altro che una approssimazione della formula
Se realizziamo un grafico che rappresenti l'andamento dell'energia in relazione alla velocità, si potrà notare che la funzione presenta un asintoto verticale per v = c, quindi quando la velocità v di un corpo si avvicina indefinitamente a c, la sua energia totale tende all'infinito. È intuibile che non è possibile fornire una quantità infinita di energia a un corpo e quindi che
la velocità c risulta essere una velocità limite: nessun corpo può infatti raggiungere tale velocità né tantomeno superarla.

Relatività generale
Mentre la teoria della relatività ristretta è già pronta per accogliere al suo interno l'elettromagnetismo classico, non lo è affatto per quanto riguarda la gravitazione, infatti un'introduzione della gravità avrebbe richiesto una totale riformulazione della stessa teoria. Parallelamente al problema della gravitazione ne sussisteva un altro, cioè se fosse possibile espandere il primo assioma della relatività ristretta a tutti i sistemi di riferimento. I due problemi si fusero ed andarono a costituire l'ossatura della teoria della relatività generale.
Alcuni esperimenti ideali
Il fatto che tutti i corpi cadano con la stessa accelerazione di gravità porta a un semplice risultato: che tutti i corpi soggetti a tale forza seguono la stessa legge del moto. Immaginiamo di trovarci dentro un ambiente molto ristretto, ad esempio un ascensore. Immaginiamo inoltre che improvvisamente questo ascensore, dopo un guasto, inizi a cadere liberamente. Se prestiamo attenzione, ci accorgiamo che il pavimento dell'ascensore sfugge via dai nostri piedi esattamente con la velocità con cui lo seguiamo, di conseguenza rimaniamo a diretto contatto con il suo pavimento, ma non avvertiamo più alcuna pressione dovuta alla forza-peso sotto le nostre piante dei piedi. Allo stesso modo non avvertiamo il peso della cartella che abbiamo sulle spalle, e se ce la togliamo ci accorgiamo che essa procede con la nostra stessa velocità e la vedremo librarsi a mezz'aria senza muoversi rispetto a noi.
Consideriamo ora un'astronave che si muova di moto rettilineo uniforme nello spazio lontano da ogni corpo massivo, in modo che siano trascurabili le attrazioni gravitazionali. Anche se la situazione è diversa, all'interno dell'astronave noteremo gli stessi fenomeni di assenza di pesi notati nell'ascensore in caduta libera.
Dunque, se lo spazio che abbiamo a disposizione è abbastanza piccolo e se il fenomeno avviene in un tempo relativamente breve, nessun esperimento che si possa compiere in un ambiente chiuso, permette di capire se ci troviamo in un ascensore in caduta libera sotto la forza di gravità, o in un'astronave soggetta a una forza nulla.
Esistono altri esperimenti ideali che ci permettano di capire questo fenomeno, che Einstein riassumerà nel Principio di Equivalenza.
Il Principio di Equivalenza
Il principio di equivalenza stabilisce che se ci troviamo in una zona delimitata dello spazio-tempo è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento, in modo da simulare l'esistenza di un campo gravitazionale uniforme o al contrario in modo da eliminare l'effetto della forza di gravità.
Il Principio di Relatività Generale
Secondo Einstein non vi era alcun motivo valido per considerare i sistemi di riferimento inerziali “superiori” rispetto a tutti gli altri sistemi di riferimento. In fin dei conti, ciò che accade in un sistema di riferimento inerziale (in cui non agiscono forze gravitazionali) avviene allo stesso modo in un altro sistema in caduta libera all'interno di un campo gravitazionale. Sotto queste premesse Einstein formulò il principio di Relatività Generale che non risulta essere altro che un'estensione di quello della relatività ristretta a tutti i sistemi di riferimento.
Le leggi e i principi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento.
La Teoria della Relatività Generale
La teoria della Relatività Generale, che venne pubblicata nel 1916, era basata essenzialmente su due principi fondamentali:
* la presenza di masse incurva lo spazio-tempo
* i corpi soggetti alla forza di gravità devono essere considerati come particelle libere, che si muovono sulle geodetiche dello spazio-tempo
La curvatura dello spazio-tempo
La teoria afferma che lo spazio-tempo viene più o meno curvato dalla presenza di una massa; un'altra massa più piccola si muove allora come effetto di tale curvatura.
Spesso, si raffigura la situazione come una palla che deforma il piano del biliardo con il suo peso, mentre un'altra pallina viene accelerata da questa deformazione del piano ed in pratica attratta dalla prima. Questa è solo una semplificazione alle dimensioni raffigurabili, in quanto ad essere deformato è lo spazio-tempo e non solo le dimensioni spaziali, cosa impossibile da raffigurare e difficile da concepire.
L'unica situazione raffigurabile correttamente è quella di un universo a 1 dimensione spaziale ed una temporale. Un qualunque punto materiale è rappresentato da una linea (linea di universo), non da un punto, che fornisce la sua posizione per ogni istante: il fatto che sia fermo o in moto farà solo cambiare l'inclinazione di questa retta. Ora pensiamo di curvare tale universo usando la terza dimensione: quello che prima era la retta che descriveva un punto, ora è diventata una superficie.
Su una superficie curva non vale la geometria euclidea, in particolare è possibile tracciare un triangolo i cui angoli sommati non forniscono 180° ed è anche possibile procedere sempre nella stessa direzione, ritornando dopo un certo tempo al punto di partenza.
Spazi piatti e spazi curvi
Per diversi millenni qualsiasi persona non avrebbe avuto il minimo dubbio nell'affermare che l'unico tipo di spazio esistente e concepibile fosse quello della geometria di Euclide. In tale tipo di spazio si considera valido il quinto assioma di Euclide, secondo cui esiste una sola ed unica parallela conducibile per un punto esterno ad una retta, con il quale si dimostrano molte altre proprietà.
Tuttavia alla fine dell'Ottocento è stato provato che tale postulato non era totalmente vero, o meglio non valeva per tutti i tipi di spazio.
Si può disegnare uno spazio non euclideo in due dimensioni osservando la superficie di una sfera, dimenticando però che questa figura è inserita in uno spazio tridimensionale euclideo. In uno spazio siffatto possiamo definire una retta come quella circonferenza massima ottenuta intersecando la sfera con un piano passante per il centro della sfera stessa.
Vediamo subito che se segniamo un punto P esterno alla retta r, tutte le rette che passano per P intersecano necessariamente anche r. Possiamo concludere che in uno spazio come quello descritto non è quindi possibile condurre alcuna retta parallela a r passante per P.
Inoltre i triangoli ottenuti intersecando tre rette in modo che la sfera sia divisa in otto parti uguali, contengono tre angoli retti, la somma quindi non è più 180° ma 270°.
Lo spazio appena descritto è un esempio di geometria non euclidea ellittica (analizzato per la prima volta da Riemann).
Un altro tipo di spazio è quello derivato dalla geometria iperbolica, in cui si possono condurre infinite rette parallele ad una data, passanti per un punto esterno ad essa, e in cui la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre minore di 180° (la geometria iperbolica è stata analizzata per la prima volta da Bolyai e Lobačevskij). Lo spazio iperbolico e quello ellittico vengono detti curvi, quello euclideo e di Minkowski, invece, sono i cosiddetti spazi piatti.

Siccome la relatività ristretta non prende in considerazione la gravitazione, lo spazio che tratta è piatto. Nella relatività generale, al contrario, è necessario conoscere la disposizione delle masse nello spazio, dopodiché applicando l'equazione di campo di Einstein sarà possibile calcolare la geometria dello spazio. Tuttavia la geometria così definita non ha un modello fisso valido per tutto lo spazio, ma varia da zona a zona: le parti di spazio-tempo più vicine alle masse hanno curvature più accentuate di quelle che si trovano lontane da esse.
Le geodetiche
In ogni spazio è possibile determinare le curve di minima lunghezza che uniscono i vari punti, tali curve prendono il nome di geodetiche. Nello spazio euclideo corrispondono a segmenti di retta, su una superficie sferica, invece, le linee geodetiche sono archi di circonferenza massima. Siccome la presenza di masse incurva la geometria dello spazio-tempo, queste si muovono liberamente seguendo le geodetiche. In definitiva, dunque, le masse dicono allo spazio-tempo come incurvarsi e lo spazio-tempo dice alle masse come muoversi.
La deflessione della luce e il redshift gravitazionale
Per il principio di equivalenza è possibile affermare che l'effetto di un sistema di riferimento accelerato è praticamente indistinguibile da quello di un campo gravitazionale, ma se è realmente così, la luce può essere interessata dalla curvatura dello spazio-tempo? È utile ricordare, inoltre, che la luce trasporta energia e che secondo la relatività ristretta la massa è strettamente collegata a tale grandezza. Sulla Terra, ovviamente, non sarà mai possibile osservare la deviazione della luce per l'assenza di un campo gravitazionale abbastanza intenso, sarà dunque necessario ricorrere a quello del Sole. Di notte, è possibile osservare la posizione apparente S di una stella nel cielo rispetto ad altre stelle di riferimento. La medesima stella sarà osservabile anche durante un'eclisse, quando il Sole è oscurato dalla massa della Luna. Secondo Einstein la deflessione della luce da parte del Sole è attrattiva, tuttavia ai nostri occhi sembrerà che la luce della stella provenga da un punto S' spostato, rispetto ad S, dalla parte opposta rispetto a quella in cui si trova il Sole.
Se un campo gravitazionale agisce su una massa che risale al suo interno rallentandola, allora tale effetto deve valere anche per la luce, vista la stretta connessione tra le due grandezze. In effetti, la teoria della relatività generale prevede che la luce proveniente da una stella (che è partita dalla stella ed è salita fino a noi) abbia frequenza minore di quella con cui è stata emessa. Visto che il rosso, nell'ambito della luce visibile, corrisponde a una frequenza minore, tale fenomeno prende il nome di redshift gravitazionale, o “spostamento verso il rosso”.
Le onde gravitazionali
Se la geometria dello spazio-tempo è determinata dalla posizione che occupano le masse al suo interno, quando anche una sola delle masse viene spostata, la geometria dello spazio-tempo cambia di conseguenza. Tale cambiamento non è istantaneo, ma si propaga alla velocità della luce. La propagazione della variazione della geometria dello spazio-tempo prende il nome di onda gravitazionale. La distorsione dello spazio-tempo dovuta all'onda gravitazionale, può essere evidenziata in diversi modi: uno di questi è la messa in oscillazione di una massa che prima era ferma, oppure la variazione della distanza tra due masse. Una tale perturbazione, ad esempio, potrebbe essere prodotta dalla supernova di una stella a noi molto vicina, evento abbastanza improbabile.
Il primo a tentare di confermare la presenza di onde gravitazionali fu, nel 1961, Edoardo Amaldi, insigne collaboratore di Fermi nel gruppo dei Ragazzi di Via Panisperna, mediante un'antenna gravitazionale (un cilindro di grande massa che può essere messo in oscillazione dal passaggio di un tale tipo di onda). Il segnale da raccogliere se si vuole utilizzare un'antenna gravitazionale è così debole che occorre eliminare tutti i disturbi esterni, perfino quelli prodotti dalla cosiddetta agitazione termica del materiale dell'apparecchio. È quindi necessario mantenere l'antenna a basse temperature, tuttavia, come si può capire, è molto complesso mantenere un oggetto di 2300 kg circa, a temperature al di sotto di 0,1 K. Molti laboratori sparsi per il mondo posseggono tale tipo di antenna o apparecchi basati sui metodi interferometrici alla Michelson-Morley, con bracci lunghi qualche chilometro per tentare di mettere in evidenza piccole variazioni nelle figure di interferenza.
Fino al 1998 nessun apparecchio aveva ancora individuato il passaggio di un'onda gravitazionale.
Nel 1987 è avvenuta l'esplosione di una supernova abbastanza vicina, ma gli apparecchi ancora non erano stati terminati, non è stato quindi possibile determinare se tale evento abbia provocato una perturbazione dello spazio-tempo.
Conferme sperimentali
A tutt'oggi vengono proposti esperimenti per la conferma o meno di tale teoria e della relatività generale, che al momento attuale ha sempre resistito agli attacchi. La prima conferma, poi rivelatasi impropria, si ebbe nel 1919, quando osservazioni di Arthur Eddington durante un'eclisse di Sole confermarono la visibilità di alcune stelle vicine al bordo solare, che in realtà avrebbero dovuto essere invisibili: i fotoni luminosi venivano deviati dal Sole della quantità prevista dalle equazioni. In realtà, le osservazioni avevano un errore medio dello stesso ordine di grandezza dell'effetto considerato. La prima vera conferma fu la spiegazione del moto di precessione del perielio di Mercurio, inspiegabile con la gravitazione Newtoniana, ma previsto dalla relatività generale.
Un'altra conferma più recente, ma ormai completamente accettata dalla comunità scientifica, è l'effetto lente gravitazionale di cui le osservazioni di Eddington sono un caso particolare. La luce emessa da una sorgente lontana, transitando nelle vicinanze di un oggetto molto massiccio può venire deviata, con un effetto complessivo che può sdoppiare (o meglio trasformare in un anello), l'immagine della sorgente. Illustrazione dell'effetto lente gravitazionale: la sorgente "vera" è nel riquadro in alto a destra. Il percorso della luce è rappresentato dalle frecce bianche, mentre quelle arancioni permettono di ricostruire la posizione apparente della sorgente ovvero la posizione delle sue immagini.
È relativamente recente la scoperta indiretta dell'esistenza dei buchi neri, oggetti pesanti e compatti, dalla cui superficie non può sfuggire (quasi) nulla, essendo la velocità di fuga superiore a quella della luce. Quasi nulla in quanto il fisico Stephen Hawking ha dimostrato come i buchi neri evaporino perdendo particelle, per lo più fotoni, tanto più velocemente quanto più piccola è la massa del buco nero. Questo risultato deriva direttamente dalla conservazione del secondo principio della termodinamica, ed è stata la prima applicazione congiunta di relatività generale e meccanica quantistica.
Sono recentemente in atto alcuni esperimenti per la registrazione di onde gravitazionali (Edoardo Amaldi, collaboratore di Fermi a Via Panisperna, fu il primo a tentare tale esperimento), anch'esse previste dalla teoria: tali onde si svilupperebbero quando due corpi con un enorme campo gravitazionale orbitano a distanza ravvicinata l'uno con l'altro. Uno dei più grandi rilevatori è il progetto VIRGO, situato a Cascina, vicino Pisa.
Un altro risultato che confermerebbe la teoria è il cosiddetto frame dragging, ossia il trascinamento del sistema di riferimento da parte di masse in rotazione: oltre alla sonda Gravity Probe B della NASA, un articolo di ricercatori dell'Università di Lecce e del Maryland hanno utilizzato i dati delle orbite di alcuni satelliti, confermando entro l'errore dell'1% le previsioni della teoria.
Tuttavia il destino della relatività generale è segnato, così come quello della meccanica quantistica: infatti la prima è una teoria classica, in cui non si tiene conto del carattere quantizzato della materia e dell'energia, e quindi va intesa come una media su un numero grande di particelle, le cui previsioni cessano di essere valide quando si raggiungono condizioni tipiche delle interazioni quantistiche, ossia per tempi vicini al tempo di Planck e lunghezze prossime alla lunghezza di Planck; la seconda, invece, non tiene conto degli effetti relativistici, ponendo le particelle in uno spazio-tempo assoluto, e dunque le sue previsioni cessano di essere valide quando gli effetti relativistici diventano significativi.
L'unificazione delle due teorie, la cosiddetta teoria quantistica della gravitazione è uno degli obiettivi più importanti per la fisica del XXI secolo.

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