Proporzionalità quadratica

Materie:Altro
Categoria:Fisica

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Testo

Titolo: Relazione tra la lunghezza del pendolo e il relativo periodo.
Scopo: Dimostrare che tra l’allungamento del pendolo e il relativo periodo esiste un rapporto di proporzionalità quadratica.
Strumenti: Un pendolo semplice, una morsa da tavolo per fissarlo al tavolo, un contasecondi della sensibilità di un centesimo di secondo per misurare 10 periodi e una riga per meglio traguardare la lunghezza del pendolo da metà della sfera legata alla fine dello spago.
Procedimento: Per prima cosa, dato che il pendolo era già costruito, lo abbiamo allungato fino a 20cm (misurando dall’inizio dello spago fino a metà della sferetta di metallo fissata al suo estremo) e, dopo averlo spostato di 15 gradi, lo abbiamo lasciato andare azionando il contasecondi. Abbiamo contato 10 periodi e abbiamo stoppato il contasecondi. Dopo aver ripetuto queste operazioni per altre due volte abbiamo allungato il pendolo prima fino a 30cm e ripetuto le operazioni effettuate per la lunghezza di 20cm, poi a 40,50,60,70,80,90,100,110 cm (sempre facendo per ogni lunghezza le medesime operazioni).
Fatto questo avevamo una serie di dati di 10 periodi ma, dato che per disegnare il grafico avevamo bisogno di un solo periodo, abbiamo calcolato la media di ciascuna delle terne di 10 periodi e poi divisa per dieci. Anche l’incertezza relativa ai dieci periodi (0,1 secondi: la sensibilità del contasecondi) è stata divisa per 10 (0,01cm).
Per costruire il grafico di controllo inoltre è stato necessario calcolare il quadrato dei periodi e il relativo errore. Quest’ultimo si ottiene facendo:
Incertezza periodo per periodo più incertezza periodo per periodo (incertezza periodo per due)
Ovvero: OT x T + TT x T
Elaborazione dati:

L (cm)
L (cm)
T 10 oscil.
T 10 oscil.
T 10 oscil.
Media oscil.
T 10os.
Periodo T 1 osc.
T 1 oscil.
T2 1 oscil.
T2 1oscil.
20,0
0,5
8,9
8,9
8,8
8,87
0, 1
0,89
0,01
0,79
0,2
30,0
0,5
10,9
10,8
11,1
10,93
0,1
1,09
0,01
1,19
0,2
40,0
0,5
12,51
1,42
12,8
12,57
0,1
1,26
0,01
1,59
0,2
50,0
0,5
14,1
14,2
13,9
14,07
0,1
1,40
0,01
1,96
0,3
60,0
0,5
15,4
15,3
15,6
15,43
0,1
1,54
0,01
2,37
0,3
70,0
0,5
16,6
16,7
16,5
16,60
0,1
1,66
0,01
2,76
0,3
80,0
0,5
17,9
18,2
17,8
12,97
0,1
1,80
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3,24
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90,0
0,5
18,9
19,0
18,9
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1,89
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3,57
0,4
100,0
0,5
19,8
20,2
19,9
19,97
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2,00
0,01
4,00
0,4
110,0
0,5
21,0
20,8
21,2
21,00
0,1
2,10
0,01
4,41
0,4
Conclusioni e commenti: Il pendolo era costruito con un’asta rigida fissata su un treppiedi; sulla cima di questa asta graduata lunga 130cm era fissata orizzontalmente un’altra più piccola al cui estremo era fissato un lungo spago con una sferetta di metallo legata in fondo. Per avere il tempo di un periodo abbiamo diviso per dieci la media di dieci oscillazioni perché in questo modo il tempo che impiega la sfera è maggiore e l’errore dovuto al nostro tempo di reazione per avviare o stoppare il cronometro ha influito di meno. I grafici disegnati, il primo fatto con la lunghezza del pendolo sull’ordinata e con il periodo sull’ascissa e quello di controllo ponendo sull’ordinata sempre la lunghezza del pendolo e sull’ascissa il periodo al quadrato, rappresentano il primo un ramo di parabola e il secondo una retta. La relazione esistente tra l’allungamento del pendolo e il suo periodo è pertanto di proporzionalità quadratica (Y = K x X2) e la costante K, la velocità della sferetta nel compiere le oscillazioni, si ottiene facendo
K = Y / X2.

Lunghezza (y) cm
Periodo (x) sec
Periodo2 (x2) sec2
K cm/sec2
20,0
0,89
0,79
25,32
30,0
1,09
1,19
25,21
40,0
1,26
1,59
25,16
50,0
1,40
1,96
25,51
60,0
1,54
2,37
25,32
70,0
1,66
2,76
25,36
80,0
1,80
3,24
24,70
90,0
1,89
3,57
25,21
100,0
2,00
4,00
25,00
110,0
2,10
4,41
24,94
Nella proporzionalità diretta, utilizzata per l’esperienza della molla, invece Y = K x X e la costante K, l’elasticità della molla, si ottiene facendo K = Y / X e qui non è stato eseguito alcun grafico di controllo dato che già il primo risultava essere una retta passante per l’origine, mentre in quella inversa, trovata nell’esperienza dei contenitori dove avevamo versato in ciascuno 50ml, Y = K / X e la costante K, appunto il liquido versato, è stato ottenuto con K = Y x X; il grafico di riprova, per controllare( se con questo otteniamo una retta) se effettivamente la curva ottenuta nel primo grafico è veramente un’iperbole, si costruisce con la superficie di base sull’ordinata e sull’ascissa 1 / altezza del liquido.

Titolo: Relazione tra la lunghezza del pendolo e il relativo periodo.
Scopo: Dimostrare che tra l’allungamento del pendolo e il relativo periodo esiste un rapporto di proporzionalità quadratica.
Strumenti: Un pendolo semplice, una morsa da tavolo per fissarlo al tavolo, un contasecondi della sensibilità di un centesimo di secondo per misurare 10 periodi e una riga per meglio traguardare la lunghezza del pendolo da metà della sfera legata alla fine dello spago.
Procedimento: Per prima cosa, dato che il pendolo era già costruito, lo abbiamo allungato fino a 20cm (misurando dall’inizio dello spago fino a metà della sferetta di metallo fissata al suo estremo) e, dopo averlo spostato di 15 gradi, lo abbiamo lasciato andare azionando il contasecondi. Abbiamo contato 10 periodi e abbiamo stoppato il contasecondi. Dopo aver ripetuto queste operazioni per altre due volte abbiamo allungato il pendolo prima fino a 30cm e ripetuto le operazioni effettuate per la lunghezza di 20cm, poi a 40,50,60,70,80,90,100,110 cm (sempre facendo per ogni lunghezza le medesime operazioni).
Fatto questo avevamo una serie di dati di 10 periodi ma, dato che per disegnare il grafico avevamo bisogno di un solo periodo, abbiamo calcolato la media di ciascuna delle terne di 10 periodi e poi divisa per dieci. Anche l’incertezza relativa ai dieci periodi (0,1 secondi: la sensibilità del contasecondi) è stata divisa per 10 (0,01cm).
Per costruire il grafico di controllo inoltre è stato necessario calcolare il quadrato dei periodi e il relativo errore. Quest’ultimo si ottiene facendo:
Incertezza periodo per periodo più incertezza periodo per periodo (incertezza periodo per due)
Ovvero: OT x T + TT x T
Elaborazione dati:

L (cm)
L (cm)
T 10 oscil.
T 10 oscil.
T 10 oscil.
Media oscil.
T 10os.
Periodo T 1 osc.
T 1 oscil.
T2 1 oscil.
T2 1oscil.
20,0
0,5
8,9
8,9
8,8
8,87
0, 1
0,89
0,01
0,79
0,2
30,0
0,5
10,9
10,8
11,1
10,93
0,1
1,09
0,01
1,19
0,2
40,0
0,5
12,51
1,42
12,8
12,57
0,1
1,26
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50,0
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14,1
14,2
13,9
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0,3
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15,3
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1,54
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16,7
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1,66
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19,0
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100,0
0,5
19,8
20,2
19,9
19,97
0,1
2,00
0,01
4,00
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110,0
0,5
21,0
20,8
21,2
21,00
0,1
2,10
0,01
4,41
0,4
Conclusioni e commenti: Il pendolo era costruito con un’asta rigida fissata su un treppiedi; sulla cima di questa asta graduata lunga 130cm era fissata orizzontalmente un’altra più piccola al cui estremo era fissato un lungo spago con una sferetta di metallo legata in fondo. Per avere il tempo di un periodo abbiamo diviso per dieci la media di dieci oscillazioni perché in questo modo il tempo che impiega la sfera è maggiore e l’errore dovuto al nostro tempo di reazione per avviare o stoppare il cronometro ha influito di meno. I grafici disegnati, il primo fatto con la lunghezza del pendolo sull’ordinata e con il periodo sull’ascissa e quello di controllo ponendo sull’ordinata sempre la lunghezza del pendolo e sull’ascissa il periodo al quadrato, rappresentano il primo un ramo di parabola e il secondo una retta. La relazione esistente tra l’allungamento del pendolo e il suo periodo è pertanto di proporzionalità quadratica (Y = K x X2) e la costante K, la velocità della sferetta nel compiere le oscillazioni, si ottiene facendo
K = Y / X2.

Lunghezza (y) cm
Periodo (x) sec
Periodo2 (x2) sec2
K cm/sec2
20,0
0,89
0,79
25,32
30,0
1,09
1,19
25,21
40,0
1,26
1,59
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50,0
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1,80
3,24
24,70
90,0
1,89
3,57
25,21
100,0
2,00
4,00
25,00
110,0
2,10
4,41
24,94
Nella proporzionalità diretta, utilizzata per l’esperienza della molla, invece Y = K x X e la costante K, l’elasticità della molla, si ottiene facendo K = Y / X e qui non è stato eseguito alcun grafico di controllo dato che già il primo risultava essere una retta passante per l’origine, mentre in quella inversa, trovata nell’esperienza dei contenitori dove avevamo versato in ciascuno 50ml, Y = K / X e la costante K, appunto il liquido versato, è stato ottenuto con K = Y x X; il grafico di riprova, per controllare( se con questo otteniamo una retta) se effettivamente la curva ottenuta nel primo grafico è veramente un’iperbole, si costruisce con la superficie di base sull’ordinata e sull’ascissa 1 / altezza del liquido.

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