Pendolo semplice

Materie:	Altro
Categoria:	Fisica
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Data:	05.06.2007
Numero di pagine:	19
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

Determinazione della legge oraria
di un pendolo semplice
Scopo: Analizzare il moto di un pendolo semplice per poter conseguire la legge oraria di questo ultimo.
Materiali utilizzati: marcatempo con carta carbone per il marcatempo, pendolo, filo (313cm), adesivo.
Procedimento
• Posizionare il filo in un gancio posto sul soffitto
• Attaccare tramite adesivo la strisciolina di carta carbone alla base del peso.
• Spostare il pendolo di un angolo compreso tra 7 e 10°
• Lasciare il peso accendendo il marcatempo, in modo che il marcatempo segni dei punti sulla strisciolina.

Schema della strumentazione utilizzata:

Lo scopo della prova è di risalire alla legge oraria di un moto di un pendolo semplice.
L’angolo da noi considerato per lo spostamento è di 8,6° , quando il pendolo è stato rilasciato esso ha trainato la strisciolina nella quale sono stati impressi, grazie al marcatempo, dei punti che saranno fondamentali per la formulazione della legge oraria.
Proprio grazie hai punti riscontrati sulla strisciolina abbiamo potuto analizzare il moto del pendolo solo nel primo semi-periodo.
Inoltre siccome l’angolo era inferiore a 10° (questo ci ha permesso di confondere l’arco di circonferenza percorso dal pendolo con la corda sottesa) e la massa era abbastanza elevata possiamo dire l’analisi del moto non è stata molto influenzata o errata.
Il movimento del pendolo è causato dalla forza peso in quanto solo una delle componenti come possiamo notare nel disegno è equilibrata dalla tensione del filo mentre l’altra non essendo annullata provoca lo spostamento.
Nella tabella seguente sono riportati i valori di spostamento misurati sulla strisciolina di carta carbone.
Tabella 1: valori ottenuti durante la prova.
N
t
s
Δs
N
t
s
Δs
s
mm
mm
s
mm
mm

0,00
0,0
0,0
45
0,90
485,5
17,5
1
0,02
1,0
1,0
46
0,92
502,5
17,0
2
0,04
3,0
2,0
47
0,94
518,5
16,0
3
0,06
6,0
3,0
48
0,96
533,5
15,0
4
0,08
9,5
3,5
49
0,98
550,5
17,0
5
0,10
13,0
3,5
50
1,00
566,5
16,0
6
0,12
16,0
3,0
51
1,02
581,5
15,0
7
0,14
18,5
2,5
52
1,04
596,5
15,0
8
0,16
21,5
3,0
53
1,06
613,0
16,5
9
0,18
25,5
4,0
54
1,08
631,0
18,0
10
0,20
30,5
5,0
55
1,10
646,0
15,0
11
0,22
36,5
6,0
56
1,12
661,0
15,0
12
0,24
44,0
7,5
57
1,14
676,0
15,0
13
0,26
53,0
9,0
58
1,16
690,0
14,0
14
0,28
62,0
9,0
59
1,18
702,5
12,5
15
0,30
71,5
9,5
60
1,20
715,0
12,5
16
0,32
80,5
9,0
61
1,22
728,5
13,5
17
0,34
89,0
8,5
62
1,24
741,5
13,0
18
0,36
97,0
8,0
63
1,26
754,5
13,0
19
0,38
105,5
8,5
64
1,28
767,5
13,0
20
0,40
115,5
10,0
65
1,30
781,5
14,0
21
0,42
126,5
11,0
66
1,32
793,5
12,0
22
0,44
138,5
12,0
67
1,34
805,5
12,0
23
0,46
152,0
13,5
68
1,36
815,5
10,0
24
0,48
165,5
13,5
69
1,38
826,5
11,0
25
0,50
179,5
14,0
70
1,40
835,5
9,0
26
0,52
192,5
13,0
71
1,42
844,5
9,0
27
0,54
206,0
13,5
72
1,44
853,5
9,0
28
0,56
218,0
12,0
73
1,46
863,5
10,0
29
0,58
231,5
13,5
74
1,48
872,5
9,0
30
0,60
244,5
13,0
75
1,50
881,5
9,0
31
0,62
259,0
14,5
76
1,52
889,5
8,0
32
0,64
275,5
16,5
77
1,54
897,5
8,0
33
0,66
291,5
16,0
78
1,56
903,5
6,0
34
0,68
307,5
16,0
79
1,58
909,5
6,0
35
0,70
326,0
18,5
80
1,60
914,0
4,5
36
0,72
341,0
15,0
81
1,62
918,5
4,5
37
0,74
358,0
17,0
82
1,64
922,0
3,5
38
0,76
373,0
15,0
83
1,66
926,5
4,5
39
0,78
388,0
15,0
84
1,68
930,5
4,0
40
0,80
402,0
14,0
85
1,70
934,5
4,0
41
0,82
419,0
17,0
86
1,72
937,0
2,5
42
0,84
433,0
14,0
87
1,74
939,0
2,0
43
0,86
450,5
17,5
88
1,76
940,0
1,0
44
0,88
468,0
17,5
Tabella 2: valori calcolati considerando il punto di equilibrio come origine e calcolo della velocità istantanea.
N
t
s
v
N
t
s
v
N
t
s
v
N
t
s
v
s
mm
mm/s
s
mm
mm/s
s
mm
mm/s
s
mm
mm/s
1
-0,88
-468,00
0,00
48
0,06
50,50
800,00
95
1,00
454,00
-225,00
142
1,94
-142,00
-750,00
2
-0,86
-467,00
50,00
49
0,08
65,50
750,00
96
1,02
450,50
-175,00
143
1,96
-160,50
-925,00
3
-0,84
-465,00
100,00
50
0,10
82,50
850,00
97
1,04
446,00
-225,00
144
1,98
-176,50
-800,00
4
-0,82
-462,00
150,00
51
0,12
98,50
800,00
98
1,06
441,50
-225,00
145
2,00
-192,50
-800,00
5
-0,80
-458,50
175,00
52
0,14
113,50
750,00
99
1,08
435,50
-300,00
146
2,02
-209,00
-825,00
6
-0,78
-455,00
175,00
53
0,16
128,50
750,00
100
1,10
429,50
-300,00
147
2,04
-223,50
-725,00
7
-0,76
-452,00
150,00
54
0,18
145,00
825,00
101
1,12
421,50
-400,00
148
2,06
-236,50
-650,00
8
-0,74
-449,50
125,00
55
0,20
163,00
900,00
102
1,14
413,50
-400,00
149
2,08
-250,00
-675,00
9
-0,72
-446,50
150,00
56
0,22
178,00
750,00
103
1,16
404,50
-450,00
150
2,10
-262,00
-600,00
10
-0,70
-442,50
200,00
57
0,24
193,00
750,00
104
1,18
395,50
-450,00
151
2,12
-275,50
-675,00
11
-0,68
-437,50
250,00
58
0,26
208,00
750,00
105
1,20
385,50
-500,00
152
2,14
-288,50
-650,00
12
-0,66
-431,50
300,00
59
0,28
222,00
700,00
106
1,22
376,50
-450,00
153
2,16
-302,50
-700,00
13
-0,64
-424,00
375,00
60
0,30
234,50
625,00
107
1,24
367,50
-450,00
154
2,18
-316,00
-675,00
14
-0,62
-415,00
450,00
61
0,32
247,00
625,00
108
1,26
358,50
-450,00
155
2,20
-329,50
-675,00
15
-0,60
-406,00
450,00
62
0,34
260,50
675,00
109
1,28
347,50
-550,00
156
2,22
-341,50
-600,00
16
-0,58
-396,50
475,00
63
0,36
273,50
650,00
110
1,30
337,50
-500,00
157
2,24
-352,50
-550,00
17
-0,56
-387,50
450,00
64
0,38
286,50
650,00
111
1,32
325,50
-600,00
158
2,26
-362,50
-500,00
18
-0,54
-379,00
425,00
65
0,40
299,50
650,00
112
1,34
313,50
-600,00
159
2,28
-371,00
-425,00
19
-0,52
-371,00
400,00
66
0,42
313,50
700,00
113
1,36
299,50
-700,00
160
2,30
-379,00
-400,00
20
-0,50
-362,50
425,00
67
0,44
325,50
600,00
114
1,38
286,50
-650,00
161
2,32
-387,50
-425,00
21
-0,48
-352,50
500,00
68
0,46
337,50
600,00
115
1,40
273,50
-650,00
162
2,34
-396,50
-450,00
22
-0,46
-341,50
550,00
69
0,48
347,50
500,00
116
1,42
260,50
-650,00
163
2,36
-406,00
-475,00
23
-0,44
-329,50
600,00
70
0,50
358,50
550,00
117
1,44
247,00
-675,00
164
2,38
-415,00
-450,00
24
-0,42
-316,00
675,00
71
0,52
367,50
450,00
118
1,46
234,50
-625,00
165
2,40
-424,00
-450,00
25
-0,40
-302,50
675,00
72
0,54
376,50
450,00
119
1,48
222,00
-625,00
166
2,42
-431,50
-375,00
26
-0,38
-288,50
700,00
73
0,56
385,50
450,00
120
1,50
208,00
-700,00
167
2,44
-437,50
-300,00
27
-0,36
-275,50
650,00
74
0,58
395,50
500,00
121
1,52
193,00
-750,00
168
2,46
-442,50
-250,00
28
-0,34
-262,00
675,00
75
0,60
404,50
450,00
122
1,54
178,00
-750,00
169
2,48
-446,50
-200,00
29
-0,32
-250,00
600,00
76
0,62
413,50
450,00
123
1,56
163,00
-750,00
170
2,50
-449,50
-150,00
30
-0,30
-236,50
675,00
77
0,64
421,50
400,00
124
1,58
145,00
-900,00
171
2,52
-452,00
-125,00
31
-0,28
-223,50
650,00
78
0,66
429,50
400,00
125
1,60
128,50
-825,00
172
2,54
-455,00
-150,00
32
-0,26
-209,00
725,00
79
0,68
435,50
300,00
126
1,62
113,50
-750,00
173
2,56
-458,50
-175,00
33
-0,24
-192,50
825,00
80
0,70
441,50
300,00
127
1,64
98,50
-750,00
174
2,58
-462,00
-175,00
34
-0,22
-176,50
800,00
81
0,72
446,00
225,00
128
1,66
82,50
-800,00
175
2,60
-465,00
-150,00
35
-0,20
-160,50
800,00
82
0,74
450,50
225,00
129
1,68
65,50
-850,00
176
2,62
-467,00
-100,00
36
-0,18
-142,00
925,00
83
0,76
454,00
175,00
130
1,70
50,50
-750,00
177
2,64
-468,00
-50,00
37
-0,16
-127,00
750,00
84
0,78
458,50
225,00
131
1,72
34,50
-800,00
38
-0,14
-110,00
850,00
85
0,80
462,50
200,00
132
1,74
17,50
-850,00
39
-0,12
-95,00
750,00
86
0,82
466,50
200,00
133
1,76
0,00
-875,00
40
-0,10
-80,00
750,00
87
0,84
469,00
125,00
134
1,78
-17,50
-875,00
41
-0,08
-66,00
700,00
88
0,86
471,00
100,00
135
1,80
-35,00
-875,00
42
-0,06
-49,00
850,00
89
0,88
472,00
50,00
136
1,82
-49,00
-700,00
43
-0,04
-35,00
700,00
90
0,90
471,00
-50,00
137
1,84
-66,00
-850,00
44
-0,02
-17,50
875,00
91
0,92
469,00
-100,00
138
1,86
-80,00
-700,00
45
0,00
0,00
875,00
92
0,94
466,50
-125,00
139
1,88
-95,00
-750,00
46
0,02
17,50
875,00
93
0,96
462,50
-200,00
140
1,90
-110,00
-750,00
47
0,04
34,50
850,00
94
0,98
458,50
-200,00
141
1,92
-127,00
-850,00
Con questi valori abbiamo quindi tracciato il primo grafico s= ƒ(t), in cui il tempo è variabile indipendente poiché il marcatempo fa un segno ogni 0,02 s.
Nel grafico risultante dai valori della tabella si viene a creare una curva che però non è sufficiente per capire di che moto stiamo parlando. Quindi siccome supponiamo che il primo semi-periodo del moto sia uguale a quello al secondo semi-periodo tracciamo un secondo grafico con tutti i valori ottenuti in precedenza e con anche tutti i valori di prima ma invertiti per rappresentare la seconda parte del moto.
In questo grafico inoltre i due assi sono stati traslati in modo da poter considerare il punto di equilibrio del pendolo come origine dello spostamento e del tempo. Il punto di equilibrio del pendolo quindi corrisponde all’origine del grafico.
Da questo secondo grafico si può notare che la funzione s= ƒ(t) presenta una periodicità e può essere ricondotta ad una funzione matematica la funzione seno.
Sappiamo quindi che il valore di spostamento è una funzione del seno dell’angolo (espresso in radianti):
Siccome il seno è una misura adimensionale, per ottenere lo spostamento lo si deve moltiplicare per una lunghezza.
La lunghezza in questione è l’ampiezza massima dell’oscillazione.
Cosi facendo nel grafico l’ampiezza può essere modulata dalla funzione seno.
Per determinare il valore di α(t) bisogna trovare una misura che moltiplicata per il tempo ci dia una misura espressa in radianti.
Quindi il valore ricercato è la frequenza ω del pendolo.
Quindi
Successivamente a queste considerazioni abbiamo analizzato anche la velocità del pendolo. Per far questo è stato tracciato un grafico v= ƒ(t) con i dati della tabella 2. Anche questa funzione presenta una periodicità e può essere ricondotta alla funzione matematica coseno.
Quindi si può ricavare l’espressione della velocità in funzione del tempo.
Sappiamo dall’analisi del grafico che
Anche in questo caso il termine α(t) deve essere espresso in radianti e per questo moltiplichiamo per il tempo la frequenza ω del pendolo.
Per ottenere un valore di velocità moltiplichiamo quindi il coseno per la velocità massima, che possiamo ricavare dal grafico 3.
Sappiamo dalle relazioni del moto circolare che la velocità tangenziale è uguale al prodotto della velocità angolare per il raggio. Quindi
L’espressione che lega velocità e tempo quindi è
Conclusioni finali
Siccome nel pendolo c’è un corpo che oscilla periodicamente nel tempo il suo moto viene definito armonico.
Le sue oscillazioni dovrebbero durare all’infinito, in un sistema privo di agenti esterni, con il pendolo che torna esattamente nella posizione iniziale. Naturalmente questo è impossibile a causa dell’azione esterna di altre forze.
Quindi dalla legge oraria ricavata abbiamo capito che un corpo che si muove di moto armonico è soggetto ad una forza che varia linearmente con la distanza dal punto iniziale. Inoltre anche l’accelerazione non è costante e dipende dalla posizione, infatti quando il corpo è fermo ed ha velocità 0 l’accelerazione è massima mentre invece quando il corpo è in stato di massima velocità l’accelerazione è nulla.
Nel pendolo possiamo inoltre notare una continua trasformazione dell’energia cinetica in energia potenziale, in quanto quando il pendolo si trova hai due estremi l’energia potenziale è massima mentre quella cinetica è 0.
Ed è grazie alla trasformazione continua delle energia cinetica in potenziale che la periodicità del pendolo è giustificabile.
Una altra proprietà interessante del pendolo è l’ isocronismo il quale consiste nel dire che il periodo del pendolo è indipendente dalla massa sospesa e dall'ampiezza delle oscillazioni, e dipende soltanto dalla lunghezza del filo che sostiene il corpo e dall'accelerazione di gravità. Questa proprietà, detta isocronismo, fu scoperta da Galileo, che ne intuì le possibili applicazioni nella misurazione e nella scansione precisa del tempo.
4^A st 23/10/2005
1

Determinazione della legge oraria
di un pendolo semplice
Scopo: Analizzare il moto di un pendolo semplice per poter conseguire la legge oraria di questo ultimo.
Materiali utilizzati: marcatempo con carta carbone per il marcatempo, pendolo, filo (313cm), adesivo.
Procedimento
• Posizionare il filo in un gancio posto sul soffitto
• Attaccare tramite adesivo la strisciolina di carta carbone alla base del peso.
• Spostare il pendolo di un angolo compreso tra 7 e 10°
• Lasciare il peso accendendo il marcatempo, in modo che il marcatempo segni dei punti sulla strisciolina.

Schema della strumentazione utilizzata:

Lo scopo della prova è di risalire alla legge oraria di un moto di un pendolo semplice.
L’angolo da noi considerato per lo spostamento è di 8,6° , quando il pendolo è stato rilasciato esso ha trainato la strisciolina nella quale sono stati impressi, grazie al marcatempo, dei punti che saranno fondamentali per la formulazione della legge oraria.
Proprio grazie hai punti riscontrati sulla strisciolina abbiamo potuto analizzare il moto del pendolo solo nel primo semi-periodo.
Inoltre siccome l’angolo era inferiore a 10° (questo ci ha permesso di confondere l’arco di circonferenza percorso dal pendolo con la corda sottesa) e la massa era abbastanza elevata possiamo dire l’analisi del moto non è stata molto influenzata o errata.
Il movimento del pendolo è causato dalla forza peso in quanto solo una delle componenti come possiamo notare nel disegno è equilibrata dalla tensione del filo mentre l’altra non essendo annullata provoca lo spostamento.
Nella tabella seguente sono riportati i valori di spostamento misurati sulla strisciolina di carta carbone.
Tabella 1: valori ottenuti durante la prova.
N
t
s
Δs
N
t
s
Δs
s
mm
mm
s
mm
mm

0,00
0,0
0,0
45
0,90
485,5
17,5
1
0,02
1,0
1,0
46
0,92
502,5
17,0
2
0,04
3,0
2,0
47
0,94
518,5
16,0
3
0,06
6,0
3,0
48
0,96
533,5
15,0
4
0,08
9,5
3,5
49
0,98
550,5
17,0
5
0,10
13,0
3,5
50
1,00
566,5
16,0
6
0,12
16,0
3,0
51
1,02
581,5
15,0
7
0,14
18,5
2,5
52
1,04
596,5
15,0
8
0,16
21,5
3,0
53
1,06
613,0
16,5
9
0,18
25,5
4,0
54
1,08
631,0
18,0
10
0,20
30,5
5,0
55
1,10
646,0
15,0
11
0,22
36,5
6,0
56
1,12
661,0
15,0
12
0,24
44,0
7,5
57
1,14
676,0
15,0
13
0,26
53,0
9,0
58
1,16
690,0
14,0
14
0,28
62,0
9,0
59
1,18
702,5
12,5
15
0,30
71,5
9,5
60
1,20
715,0
12,5
16
0,32
80,5
9,0
61
1,22
728,5
13,5
17
0,34
89,0
8,5
62
1,24
741,5
13,0
18
0,36
97,0
8,0
63
1,26
754,5
13,0
19
0,38
105,5
8,5
64
1,28
767,5
13,0
20
0,40
115,5
10,0
65
1,30
781,5
14,0
21
0,42
126,5
11,0
66
1,32
793,5
12,0
22
0,44
138,5
12,0
67
1,34
805,5
12,0
23
0,46
152,0
13,5
68
1,36
815,5
10,0
24
0,48
165,5
13,5
69
1,38
826,5
11,0
25
0,50
179,5
14,0
70
1,40
835,5
9,0
26
0,52
192,5
13,0
71
1,42
844,5
9,0
27
0,54
206,0
13,5
72
1,44
853,5
9,0
28
0,56
218,0
12,0
73
1,46
863,5
10,0
29
0,58
231,5
13,5
74
1,48
872,5
9,0
30
0,60
244,5
13,0
75
1,50
881,5
9,0
31
0,62
259,0
14,5
76
1,52
889,5
8,0
32
0,64
275,5
16,5
77
1,54
897,5
8,0
33
0,66
291,5
16,0
78
1,56
903,5
6,0
34
0,68
307,5
16,0
79
1,58
909,5
6,0
35
0,70
326,0
18,5
80
1,60
914,0
4,5
36
0,72
341,0
15,0
81
1,62
918,5
4,5
37
0,74
358,0
17,0
82
1,64
922,0
3,5
38
0,76
373,0
15,0
83
1,66
926,5
4,5
39
0,78
388,0
15,0
84
1,68
930,5
4,0
40
0,80
402,0
14,0
85
1,70
934,5
4,0
41
0,82
419,0
17,0
86
1,72
937,0
2,5
42
0,84
433,0
14,0
87
1,74
939,0
2,0
43
0,86
450,5
17,5
88
1,76
940,0
1,0
44
0,88
468,0
17,5
Tabella 2: valori calcolati considerando il punto di equilibrio come origine e calcolo della velocità istantanea.
N
t
s
v
N
t
s
v
N
t
s
v
N
t
s
v
s
mm
mm/s
s
mm
mm/s
s
mm
mm/s
s
mm
mm/s
1
-0,88
-468,00
0,00
48
0,06
50,50
800,00
95
1,00
454,00
-225,00
142
1,94
-142,00
-750,00
2
-0,86
-467,00
50,00
49
0,08
65,50
750,00
96
1,02
450,50
-175,00
143
1,96
-160,50
-925,00
3
-0,84
-465,00
100,00
50
0,10
82,50
850,00
97
1,04
446,00
-225,00
144
1,98
-176,50
-800,00
4
-0,82
-462,00
150,00
51
0,12
98,50
800,00
98
1,06
441,50
-225,00
145
2,00
-192,50
-800,00
5
-0,80
-458,50
175,00
52
0,14
113,50
750,00
99
1,08
435,50
-300,00
146
2,02
-209,00
-825,00
6
-0,78
-455,00
175,00
53
0,16
128,50
750,00
100
1,10
429,50
-300,00
147
2,04
-223,50
-725,00
7
-0,76
-452,00
150,00
54
0,18
145,00
825,00
101
1,12
421,50
-400,00
148
2,06
-236,50
-650,00
8
-0,74
-449,50
125,00
55
0,20
163,00
900,00
102
1,14
413,50
-400,00
149
2,08
-250,00
-675,00
9
-0,72
-446,50
150,00
56
0,22
178,00
750,00
103
1,16
404,50
-450,00
150
2,10
-262,00
-600,00
10
-0,70
-442,50
200,00
57
0,24
193,00
750,00
104
1,18
395,50
-450,00
151
2,12
-275,50
-675,00
11
-0,68
-437,50
250,00
58
0,26
208,00
750,00
105
1,20
385,50
-500,00
152
2,14
-288,50
-650,00
12
-0,66
-431,50
300,00
59
0,28
222,00
700,00
106
1,22
376,50
-450,00
153
2,16
-302,50
-700,00
13
-0,64
-424,00
375,00
60
0,30
234,50
625,00
107
1,24
367,50
-450,00
154
2,18
-316,00
-675,00
14
-0,62
-415,00
450,00
61
0,32
247,00
625,00
108
1,26
358,50
-450,00
155
2,20
-329,50
-675,00
15
-0,60
-406,00
450,00
62
0,34
260,50
675,00
109
1,28
347,50
-550,00
156
2,22
-341,50
-600,00
16
-0,58
-396,50
475,00
63
0,36
273,50
650,00
110
1,30
337,50
-500,00
157
2,24
-352,50
-550,00
17
-0,56
-387,50
450,00
64
0,38
286,50
650,00
111
1,32
325,50
-600,00
158
2,26
-362,50
-500,00
18
-0,54
-379,00
425,00
65
0,40
299,50
650,00
112
1,34
313,50
-600,00
159
2,28
-371,00
-425,00
19
-0,52
-371,00
400,00
66
0,42
313,50
700,00
113
1,36
299,50
-700,00
160
2,30
-379,00
-400,00
20
-0,50
-362,50
425,00
67
0,44
325,50
600,00
114
1,38
286,50
-650,00
161
2,32
-387,50
-425,00
21
-0,48
-352,50
500,00
68
0,46
337,50
600,00
115
1,40
273,50
-650,00
162
2,34
-396,50
-450,00
22
-0,46
-341,50
550,00
69
0,48
347,50
500,00
116
1,42
260,50
-650,00
163
2,36
-406,00
-475,00
23
-0,44
-329,50
600,00
70
0,50
358,50
550,00
117
1,44
247,00
-675,00
164
2,38
-415,00
-450,00
24
-0,42
-316,00
675,00
71
0,52
367,50
450,00
118
1,46
234,50
-625,00
165
2,40
-424,00
-450,00
25
-0,40
-302,50
675,00
72
0,54
376,50
450,00
119
1,48
222,00
-625,00
166
2,42
-431,50
-375,00
26
-0,38
-288,50
700,00
73
0,56
385,50
450,00
120
1,50
208,00
-700,00
167
2,44
-437,50
-300,00
27
-0,36
-275,50
650,00
74
0,58
395,50
500,00
121
1,52
193,00
-750,00
168
2,46
-442,50
-250,00
28
-0,34
-262,00
675,00
75
0,60
404,50
450,00
122
1,54
178,00
-750,00
169
2,48
-446,50
-200,00
29
-0,32
-250,00
600,00
76
0,62
413,50
450,00
123
1,56
163,00
-750,00
170
2,50
-449,50
-150,00
30
-0,30
-236,50
675,00
77
0,64
421,50
400,00
124
1,58
145,00
-900,00
171
2,52
-452,00
-125,00
31
-0,28
-223,50
650,00
78
0,66
429,50
400,00
125
1,60
128,50
-825,00
172
2,54
-455,00
-150,00
32
-0,26
-209,00
725,00
79
0,68
435,50
300,00
126
1,62
113,50
-750,00
173
2,56
-458,50
-175,00
33
-0,24
-192,50
825,00
80
0,70
441,50
300,00
127
1,64
98,50
-750,00
174
2,58
-462,00
-175,00
34
-0,22
-176,50
800,00
81
0,72
446,00
225,00
128
1,66
82,50
-800,00
175
2,60
-465,00
-150,00
35
-0,20
-160,50
800,00
82
0,74
450,50
225,00
129
1,68
65,50
-850,00
176
2,62
-467,00
-100,00
36
-0,18
-142,00
925,00
83
0,76
454,00
175,00
130
1,70
50,50
-750,00
177
2,64
-468,00
-50,00
37
-0,16
-127,00
750,00
84
0,78
458,50
225,00
131
1,72
34,50
-800,00
38
-0,14
-110,00
850,00
85
0,80
462,50
200,00
132
1,74
17,50
-850,00
39
-0,12
-95,00
750,00
86
0,82
466,50
200,00
133
1,76
0,00
-875,00
40
-0,10
-80,00
750,00
87
0,84
469,00
125,00
134
1,78
-17,50
-875,00
41
-0,08
-66,00
700,00
88
0,86
471,00
100,00
135
1,80
-35,00
-875,00
42
-0,06
-49,00
850,00
89
0,88
472,00
50,00
136
1,82
-49,00
-700,00
43
-0,04
-35,00
700,00
90
0,90
471,00
-50,00
137
1,84
-66,00
-850,00
44
-0,02
-17,50
875,00
91
0,92
469,00
-100,00
138
1,86
-80,00
-700,00
45
0,00
0,00
875,00
92
0,94
466,50
-125,00
139
1,88
-95,00
-750,00
46
0,02
17,50
875,00
93
0,96
462,50
-200,00
140
1,90
-110,00
-750,00
47
0,04
34,50
850,00
94
0,98
458,50
-200,00
141
1,92
-127,00
-850,00
Con questi valori abbiamo quindi tracciato il primo grafico s= ƒ(t), in cui il tempo è variabile indipendente poiché il marcatempo fa un segno ogni 0,02 s.
Nel grafico risultante dai valori della tabella si viene a creare una curva che però non è sufficiente per capire di che moto stiamo parlando. Quindi siccome supponiamo che il primo semi-periodo del moto sia uguale a quello al secondo semi-periodo tracciamo un secondo grafico con tutti i valori ottenuti in precedenza e con anche tutti i valori di prima ma invertiti per rappresentare la seconda parte del moto.
In questo grafico inoltre i due assi sono stati traslati in modo da poter considerare il punto di equilibrio del pendolo come origine dello spostamento e del tempo. Il punto di equilibrio del pendolo quindi corrisponde all’origine del grafico.
Da questo secondo grafico si può notare che la funzione s= ƒ(t) presenta una periodicità e può essere ricondotta ad una funzione matematica la funzione seno.
Sappiamo quindi che il valore di spostamento è una funzione del seno dell’angolo (espresso in radianti):
Siccome il seno è una misura adimensionale, per ottenere lo spostamento lo si deve moltiplicare per una lunghezza.
La lunghezza in questione è l’ampiezza massima dell’oscillazione.
Cosi facendo nel grafico l’ampiezza può essere modulata dalla funzione seno.
Per determinare il valore di α(t) bisogna trovare una misura che moltiplicata per il tempo ci dia una misura espressa in radianti.
Quindi il valore ricercato è la frequenza ω del pendolo.
Quindi
Successivamente a queste considerazioni abbiamo analizzato anche la velocità del pendolo. Per far questo è stato tracciato un grafico v= ƒ(t) con i dati della tabella 2. Anche questa funzione presenta una periodicità e può essere ricondotta alla funzione matematica coseno.
Quindi si può ricavare l’espressione della velocità in funzione del tempo.
Sappiamo dall’analisi del grafico che
Anche in questo caso il termine α(t) deve essere espresso in radianti e per questo moltiplichiamo per il tempo la frequenza ω del pendolo.
Per ottenere un valore di velocità moltiplichiamo quindi il coseno per la velocità massima, che possiamo ricavare dal grafico 3.
Sappiamo dalle relazioni del moto circolare che la velocità tangenziale è uguale al prodotto della velocità angolare per il raggio. Quindi
L’espressione che lega velocità e tempo quindi è
Conclusioni finali
Siccome nel pendolo c’è un corpo che oscilla periodicamente nel tempo il suo moto viene definito armonico.
Le sue oscillazioni dovrebbero durare all’infinito, in un sistema privo di agenti esterni, con il pendolo che torna esattamente nella posizione iniziale. Naturalmente questo è impossibile a causa dell’azione esterna di altre forze.
Quindi dalla legge oraria ricavata abbiamo capito che un corpo che si muove di moto armonico è soggetto ad una forza che varia linearmente con la distanza dal punto iniziale. Inoltre anche l’accelerazione non è costante e dipende dalla posizione, infatti quando il corpo è fermo ed ha velocità 0 l’accelerazione è massima mentre invece quando il corpo è in stato di massima velocità l’accelerazione è nulla.
Nel pendolo possiamo inoltre notare una continua trasformazione dell’energia cinetica in energia potenziale, in quanto quando il pendolo si trova hai due estremi l’energia potenziale è massima mentre quella cinetica è 0.
Ed è grazie alla trasformazione continua delle energia cinetica in potenziale che la periodicità del pendolo è giustificabile.
Una altra proprietà interessante del pendolo è l’ isocronismo il quale consiste nel dire che il periodo del pendolo è indipendente dalla massa sospesa e dall'ampiezza delle oscillazioni, e dipende soltanto dalla lunghezza del filo che sostiene il corpo e dall'accelerazione di gravità. Questa proprietà, detta isocronismo, fu scoperta da Galileo, che ne intuì le possibili applicazioni nella misurazione e nella scansione precisa del tempo.
4^A st 23/10/2005
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